AR' - BA

sinv = sm(|3 — p] =

cosv = co8(p' — p) =

v/A' + B'v'A'^-hB'»

AA' -h BB'

v/a--t-bva"-hb'='

Pour la condition du parallélisme de deux lignes (sinv =i o), on en déduit, comme précédemment,

AB' — BA rz= o,

tandis que les deux lignes seront perpendiculaires entre elles

(cosv= o), si l'on a

AA' + BB' = o.

5. Ces remarques nous permettent d'obtenir V équation d'une droite menée par un point {xq , yo ) parallèlement ou perpendiculairement à une droite donnée. — Soit

A.r -t- B^ H- C:= o cette dernière.

Dans le premier cas, les trois équations

A'j-o-hB'^o-HC'^o, AB — B'A = o

doivent avoir lieu simultanément; donc, en éliminant A', B', C, il viendra pour l'équation de la parallèle cherchée

ou

Jo

A(j: — j-„) -f-B(7— Jo)=0.

Pour trouver la normale, il suffit de remplacer, dans la troisième équation de condition, B par A, et A par — B, et l'on obtient ainsi

CONSIDÉRATIONS PBÉUMINAIBES. — SÉRIES DE POINTS ET FAISCEALV DE RAYONS. 35

m. — Coordonnées-lignes ('). — Séries de points et faisceaux de rayons.

Dans les considérations que nous avons présentées jusqu'ici, un point a été constamment défini par deux grandeurs (ses coordonnées) indépendantes l'une de l'autre; on peut faire de même à l'égard de la droite, soit qu'on la regarde comme donnée par les segments qu'elle intercepte sur les axes, soit qu'on la considère comme définie par sa distance à l'origine et par la direction de ses normales.

Lorsque pour un point une seule condition est donnée, ce point peut prendre une infinité de positions ; il décrit dans son mouvement une courbe, et nos recherches précédentes ont reposé sur cette conception du lieu géométrique. De même pour la droite, si une seule équation est donnée entre ses éléments déterminateurs, il existe une infinité de droites qui y satisfont; nous regarderons la courbe touchée par ces droites dans chacune de leurs positions comme leur lieu géométrique. Nous pouvons par conséquent nous figurer une courbe quelconque comme engendrée de deux manières différentes : i° comme décrite par les positions en nombre infini d'un point ; 2° comme en\>eloppée parles positions en nombre infini d'une droite [voir, par exemple, ci-après, ßg. i3i). Deux droites de ce système infiniment voisines [deux tangentes de la courbe) se coupent alors sur la courbe, de sorte que, sous ce dernier aspect, la courbe, en tant que figure ponctuelle, prend naissance par la série successive des points d'intersection des tangentes voisines. A l'inverse, la tangente d'une courbe est définie en coordonnées-points, comme la ligne qui joint deux points infiniment voisins sur la courbe. Pour donner aussi une expression analytique de cette double manière d'engendrer les figures géométriques planes, pour représenter par une équation une 4iourbe considérée comme enveloppe de ses tangentes, nous devons regarder comme variables les deux éléments déterminateurs de la droite, ainsi que nous l'avons fait jusqu'ici pour les coordonnées d'un point ; nous

(') Les coordonnées-lignes sont très-souvent appelées aussi coordonnées-tangentielles. La raison de cette dernière dénomination résulte clairement de ce qui suit.

parlerons donc aussi bien des coordonnées d'une droite que de celles d'un point. Une équation entre ces dernières représente une courbe comme lieu géométrique de ses points ; une équation entre les premières représente une courbe comme enveloppe de ses tangentes. La fixation des éléments déterminateurs à employer pour la droite est indifférente pour commencer, mais des considérations ultérieures montreront que le choix suivant est le plus convenable.

Nous entendons par coordonnées u, v d^une droite les ^valeurs inverses et prises avec le signe négatif des segments qu'elle intercepte sur les axes des coordonnées. On a donc, d'après nos notations précédentes ,

L'introduction de ces éléments déterminateurs de la droite est en corrélation intime avec un des plus importants principes de la Géométrie analytique, le principe de dualité (*), auquel conduit cette double conception des courbes. Première idée fondamentale : il existe dans le plan un nombre doublement infini de points et un nombre doublement infini de droites (-) ; si l'on regarde d'abord les points, puis les droites, comme éléments constitutifs des figures que l'on a à considérer, une certaine similitude apparaît entre ces deux points de vue ; et, en effet, entre ces deux développements de la Géométrie, dont l'un a le point pour base, l'autre la droite, il existe jusque dans les détails non-seulement de l'analogie, mais

(') PONCELET {Annales de 3Iathématiques, t. VIII, 1817-1818. — Traité des propriétés projectives des figures, iSaa. — Journal de Crelle, t. IV) a été primitivement conduit à ce principe, en partant de la théorie des polaires dans les coniques qui sera exposée plus loin. Ce même principe a été établi indépendamment des coniques par Gergomne [voir divers articles des Annales de Malhématiques, et par MÔBiis {Barjrcentrischer Calcul, 1827)]; c'est PlCcker qui a employé le premier les coordonnées do lu droite {Journal de Crelle, t. V, 1839, et Analjrtisch-geometrische Entwicklungen, t. H, i83i). En France les mêmes idées ont été développées à peu près dans le même temps, par Cuasles, Apercu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, 1837. Voir aussi BoOTn : On some geometrical methods.

(•) De semblables manières de s'exprimer signifient que le point et la droite dépendent de deux cléments déterminateurs dont chacun, indépendamment de l'autre, peut prendre toutes les valeurs possibles.

co:«sii>ÉBATiO!(S pmÉunrcÀiBEs . — sÉaiES de ponrrs rr ruHXÀtx dk «atoxs. $7

une réciprocité complète. Cette réciprocité peut être formulée de la manière suivante : si l'on part du point, on obtiendra la droite par la jonction de deux points; si l'on part de la droite, on obtiendra le point par l'intersection de deux droites. Le lieu géométrique le plus simple pour le point est la droite décrite par un point qui la parcourt; pour la droite, c'est le point qu'elle enveloppe en se mouvant autour de lui. Nous ne pouvons d'ailleurs engendrer aucun point par le mouvement d'un point, ni aucune droite par le mouvement d'une droite. L'ensemble de ces relations constitue pour nous le principe de dualité; ce principe signifie que certains théorèmes qui ont lieu pour les ßgures ponctuelles peuvent être transportés aux ßgures dont la ligne est l'élément; cette réciprocité s'applique à la jonction de deux points et à l'intersection de deux droites et s'étend à toutes les constructions qui peuvent résulter d' opérations de cette nature. Elle n'a plus lieu quand d'autres moyens auxiliaires doivent être employés, par exemple lorsqu'une détermination de mesure entre dans le problème ; mais le principe ne doit pas être considéré comme subissant par là une restriction, car nous apprendrons à connaître un moyen de ramener très-simplement les relations métriques aux autres.

Introduisons maintenant les coordonnées de la droite dans son équation; celle-ci devient

(l) ttj: -f- l'J -T- I = O.

Nous sommes actuellement en état de mieux exprimer le sens de cette équation, en disant qu'elle indique la réunion de situation du point et de la droite, c'est-à-dire la situation dans laquelle le point se trouve sur la droite, la droite passe par le point; nous pouvons, du reste, regarder arbitrairement comme variables les coordonnées du point ou les coordonnées de la droite. Dans le premier cas, l'équation (i) est pour nous V équation d'une droite, dans le second elle est V équation d'un point, c'est-à-dire la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées d'une droite pour qu'elle passe par un point donné {x, y). L'équation ne varie pas de forme si l'on échange m, v avec x, y\ donc, par un choix convenable des coordonnées d'une droite, on a obtenu ce résultat, que dans V équation qui exprime la réunion de situation des élément^ fondamentaux appartenant à chacun des deux ordres

d'idées, ces éléments entrent symétriquement ('). f.e point joue ainsi dans la Géométrie de la droite le même rôle que la droite dans la Géométrie du point.

Une équation linéaire en coordonnées-points X, y représente une

ligne droite.

Une équation linéaire en coordonnées-lignes u, {> représente un point.

Dans l'équation (i), les coefficients constants sont en même temps les coordonnées de la figure élémentaire représentée; si, au contraire, nous prenons pour point de départ une équation linéaire générale :

Équation du point,

A« -+- Bi' H- Cr=o,

Pour les coordonnées du point,

Équation de la droite, Ax-i-Bj-f-C = o; nous aurons :

Pour les coordonnées de la droite, A B

réciprocité qui n'aurait pas lieu si nous avions pris directement pour coordonnées de la droite les segments qu'elle détermine sur les axes.

Si maintenant nous essayons de transporter dualistiquement dans la théorie du point les théorèmes trouvés dans la théorie de la ligne droite, nous n'y réussirons qu'à l'égard de l'un des problèmes résolus plus haut.

Étant donnés, en effet :

Deux points Deux droites

(•^0. .?'o). (-pitJi);

on aura :

Pour l'équation de leur droite de jonction,

Pour l'équation de leur point d'intersection,

(') Cela no justîfle pas encore le choix que nous avons fait, pour les coordonnées, des segments inverses négatifs : ce dernier point trouvera son explication seulement dans la Section suivante.

C0!(8tDÉRATI0:(S PRÉLIVITtAIRES. — SÉRIES DE IK>I!(TS BT FAISCBACX DE RAT058. 3g

Le résultat analytique et les opérations qui y conduisent sont les mêmes dans les deux cas ; la signification des variables est seule différente. Nous ne pouvons pas transformer immédiatement les autres formes d'équations de la droite, parce qu'elles dépendent de grandeurs d'angles et de segments. Nous allons toutefois, à l'aide de l'équation (2), formuler analytiquement les problèmes qui s'y rattachent, en faisant dépendre expressément ces problèmes des coordonnées des droites entrant dans chaque question, afin d'avoir ainsi des exemples de l'usage des coordonnées-lignes. Ainsi, la distance d'un point à une droite est

l'angle compris entre deux droites est égal à

Un Ml -4- (•„ f 1

arc COS -^= — ;

la condition du parallélisme est

et la condition de la perpendicularité sera

L'expression de /* nous donne un exemple simple de la représentation d'une courbe comme enveloppe de ses tangentes, si nous y considérons u et v comme variables, et, au contraire, x, y et /• comme constants ; alors l'équation ( 4 ) représente pour une ligne (variable) (u, v) la condition d'être à une distance constante r d'un point fixe (x, y). L'ensemble de ces droites enveloppe, comme on sait, un cercle ayant /' pour rayon et (x, y) pour centre ; si nous donnons à ce dernier point, comme auparavant, a et b pour coordonnées, l'équation du cercle en coordonnées-lignes, c^ est-à-dire la condition à laquelle doivent satisfaire toutes ^es tangentes, deviendra par suite

tandis que l'équation du même cercle en coordonnées-points est