CHAPITRE I
Toutes deux sont du second degré, mais la dernière présente un tout autre caractère que l'équation en coordonnées-lignes, fait qui a encore sa raison d'être dans les propriétés métriques du cercle. Il existe semblablement pour chaque courbe deux modes de représentation : 1° son équation en coordonnées-points
2° son équation en coordon
nees-lignes
et ces deux équations sont en général différentes, aussi bien par leur forme, comme cela a lieu dans le cercle, que par leur degré relativement aux variables. On tire de là une double classification des courbes algébriques, l'une d'après le degré de leur équation en coordonnées-points , l'autre d'après le degré de leur équation en coordonnées-lignes, et, pour préciser ;
On appelle la plus haute dimension sous laquelle se présentent les variables .r, jy, dans l'équation en coordonnées - points , l'ordre de la courbe.
Les courbes du premier ordre sont par conséquent des droites; une courbe du premier ordre n'est donc pas représentable au point de vue (le la classe; la droite se représente en coordonnées-points par une seule équalion, en coordonnées-lignes par deux équations.
On appelle la plus haute dimension sous laquelle se présentent les variables «, c, dans l'équation en coordonnées-lignes, la classe de la courbe.
Les courbes de la première classe sont par conséquent des points ; une courbe de la première classe n'est donc pas représentable au point de vue de l'ordre ; le point se représente en coordonnées-lignes par une seule équation, en coordonnéespoints par deux équations.
L'importance fondamentale du principe développé ici apparaîtra immédiatement dans les considérations suivantes, dont la portée est d'autant plus grande qu'elles sont destinées à établir le lien entre la Géométrie synthétique moderne et la Géométrie analytique. Nous rechercherons d'abord les rapports qui existent entre les différents points situés sur une droite, et corrélativement entre les différentes droites qui passent par un point ; nous restreignant
C05SIDÉBAT1058 PRÉLI1UUAIBE8. SÉBIES DE POINTS ET FAISCEICX DE RATONS. 4'
pour ainsi dire à la Géométrie sur une droite, et autour d'un point. Nous résoudrons ainsi la droite en la série des points qu'elle renferme et le point en la totalité des droites qui s'y coupent, et dans cet ordre d'idées nous appellerons l'ensemble des points situés sur une droite série de points, et l'ensemble des droites passant par un point faisceau de rayons. A présent notre tâche est de représenter indi\iduellement chaque point d'une série, c'est-à-dire chacun des points qui se trouve sur la même droite que deux points donnés, et de même chaque rayon d'un faisceau, c'est-à-dire chacun des rayons qui passent par le même point que deux rayons donnés. Nous avons déjà résolu le premier de ces problèmes en représentant les points d'une série parles équations (p. 6)
x^=.x^->r- rcosa, J=ro-!- '•sina,
dans lesquelles, /• désignant un paramètre, la droite base de la série est définie par un point fixe (xo, j)^o) et par sa direction (c'està-dire par un point à distance infinie). D'une manière analogue, nous allons maintenant exprimer généralement chacun des points de la série au moyen de deux points de cette dernière, avec le secours d'un paramètre. L'équation d'une droite passant par les points o et i étant
y Jo Ji i — o.
cette équation sera identiquement satisfaite d'après une proposition connue de la théorie des déterminants si l'on pose (p. 22)
I X^=pXQ -f- 7^,,
le déterminant précédent est le résultat de l'élimination de p, q, i entre ces trois équations. Divisant les deux premières équations
P^ aurons, en supposant qu'on opère d'une manière semblable sur les
par la troisième, et introduisant un paramètre X égal à — j nous
4a TOME I. — CHAPITRE I.
coordonnées-lignes, les résultats suivants :
Ces deux équations présentent les coordonnées d'un point de la série exprimées au moyen des coordonnées de deux points de celle-ci et du paramètre \. C'est la représentation la plus générale de la droite comme base d'une série de points.
"kUx
(^s deux équations présentent les coordonnées d'un rayon du faisceau exprimées au moyen des coordonnées de deux rayons de celui-ci et du paramètre \. C'est la représentation la plus générale du point comme centre d'un faisceau de rayons.
Dans les équations (6), la notion de série de points ou de faisceau de rayons est clairement exprimée : si nous donnons successivement à X toutes les valeurs depuis — ao jusqu'à -f- oo , nous obtiendrons tous les points de la série ou tous les rayons du faisceau.
Mais le nombre X a aussi une signification géométrique simple.
Des équations (5) résulte, en effet.
j— ro
•^0 li Jo
y a — yi
ou, si l'on désigne par /•, s les distances des points [xo, ^o)» (a'i,j^, ) au point (:r,j^), et que l'on considère ces distances comme positives tant que {x, y) est situé entre les points fixes zéro et i,
Par conséquent, X est le quotient des distances du point mobile à deux pointsßxes de la série, interprétation que nous ne pouvons pas transporter immédiatement aux faisceaux de rayons, parce qu'elle repose essentiellement sur des notions métriques. On voit facilement aussi qu'à chaque point de la droite correspond une seule valeur de X, et quelle est sur la droite entière la distribution de ces valeurs. Entre les points fixes, r et s, et par conséquent X, sont positifs; si le point mobile va de zéro à i, X passe de zéro à l'infini et prend la valeur i pour le point milieu (/• = .v)du segment. En dehors des points fixes au contraire, r est négatif si le point
CONSIDÉRATIONS PRÉLIIIINAIRES. — SÉRIES DE POITtTS ET FAISCEACX DE RAT058. 4^
mobile est à gauche du segment, s devient négatif s'il est à droite, et, par suite, X est négatif dans les deux cas {ßg. lo). Lorsque le
Fig. lo.
point va du point zéro à l'infini, X passe de zéro à — i; à l'infini on a }. = — I , et si le point mobile va de l'infini au point i , X passe de — 1 à — 30 , ce qui ferme le cercle des valeurs. Il est spécialement digne de remarque que X à l'infini a la valeur unique — i ; on parle pour cette raison d'un point à l'infini de la droite, ce qui veut dire que toute droite se comporte analytiquement comme si elle avait un seul point à l'infini.
Les équations (6) nous ont servi à représenter les coordonnées d'un élément quelconque d'une série ou d'un faisceau, au moyen de celles de deux éléments fixes. Pour obtenir l'équation d'un élément arbitraire, nous devons substituer ses coordonnées dans l'équation
UX -i- i>jr -\~ i = o,
et nous trouverons ainsi :
Point de la série : j Rayon du faisceau :
[uxo-hvj'o-hi] j («o-r-f-PeJ-^i)
H- X(«Xl -f-PJl -h l) = O. I -h l[UiX -i- VyJ -h i) = o.
On obtient donc l'équation de l'élément mobile en multipliant celle de l'un des éléments ßxes par le paramètre X, et en l'ajoutant à V équation de l'autre élément fixe. Nous avons toutefois supposé que l'équation des éléments fixes avait la forme spéciale dans laquelle le terme constant est égal à l'unité; cela n'est en général pas nécessaire.
Supposons, en effet, les deux éléments de base (points ou rayons) donnés ainsi :
A x-\- B j + C =o, Aix4-B,j + C,= o;
Att-l-B»'-+-C=o, Al« -i- Bi«'-1- Ci= o;
les équations
A« H-Bf H-C H- «(A,M -(- Bic -hCi) = o, Ajt -f- B J -f- C H- ft(Al.r-^B,7•-^Cl) — o
44 TOME I. — CBAPITBE I.
représentent encore un élément quelconque de la série ou du faisceau : seulement la signification du paramètre (x. est différente; car, en posant
on obtient la forme précédente. Le paramètre fx n'est donc plus le rapport des distances mentionné plus haut, mais le produit de ce rapport par une constante indépendante de la situation du point mobile, ce qui ne change en rien le fond des choses.
La dernière interprétation de [x peut être transportée dualistiquement au rayon d'un faisceau. Abaissons, en effet, d'un point du rayon mobile sur les deux rayons fixes des perpendiculaires de
longueur /• et s [fig. ii); le rapport- est le même pour tous les
points du rayon mobile, et nous l'appellerons rapport de distance du rayon mobile aux deux rayons fixes ; le paramètre X n'en diffère que par un facteur constant, ainsi qu'il va être démontré. Soit {x, j) un point quelconque de la droite (m, v) qui appartient au fais-
Fig. II.
(UiJtl,)
ceau défini par les deux droites («o, ^o) et («, , v',) ; on aura, d'après une règle donnée plus haut (p. 89),
tt,.r-f-«j j"-!- 1
et l'équation du rayon lui-même,
ttJT -4- <'J -{- I = 0,
COXSIDÉBATIOXS PRÉLIMINAIBES. — 8ËRIES DE P01!(T8 ET FAISCEACX DE RAtOMS. 4^
se transforme en
on a
donc
La valeur de X varie d'une manière analogue à ce qui arrive quand il s'agit d'une série de points, et à chaque rayon correspond aussi une seule valeur de X. Prenons les segments ;• et s positifs pour un rayon compris dans l'un des angles des rayons de base; tous deux deviennent négatifs dans l'angle opposé par le sommet, tandis qu'ils prennent des signes différents dans les deux angles adjacents. On a ici encore X nul pour l'un des éléments fixes et infini pour l'autre, et, pour les rayons compris entre ces deux limites, À a une valeur comprise entre zéro et H- ao et — oo . Une différence relativement à la distribution des valeurs du paramètre sur la série de points consiste en ce que dans un faisceau il ne peut être question d'un élément infiniment éloigné proprement dit. Comme résultat essentiel de cette considération, on reconnaît que dans un faisceau de rayons, si les deux éléments de base sont donnés sous la forme
le paramètre diffère déjà par un facteur constant du rapport des tiistances, de sorte qu'en passant à la forme générale, intervient
encore un second facteur constant — •
Nous pouvons simplifier beaucoup l'expression de ces relations en introduisant dans l'écriture des équations un système de notations abrégées. Nous désignerons le premier membre d'une équation par une seule lettre, procédé de la fécondité duquel on pourra plusieurs fois se convaincre (*). Nous désignerons donc dans la suite par G, H, ... les expressions linéaires en x, y; par P, Q les
(') Celte méthode a été d'abord appliquée comme principe nouveau, et perfectionnée par PlCcker, Analytisch geometrische Entwickelungen, I" Partie, 1828; elle a aussi été établie dans le même temps par Bobillieb, Annales de Gergonne, X. XVllI, 1827-1828.
expressions semblables en tt, v ; en posant, par exemple,
Gr=Ajr-t-Bj4-C, H— A,x-hB,j -hC„
Alors on aura :
Pour les équations de deux droites,
et pour l'équation d'un rayon passiint par leur point d'intersection,
G-\-txH = o.
P=A«-4-Bcf-C, Q =A,«4-Bi«- ~C,.
Pour les équations de deux points,
et pour l'équation d'un point situé sur leur ligne de jonction,
P-f-|xQ = o.
Dans les deux cas [M est égal au rapport de distance mentionné plus haut, 4, part un facteur constant qui dépend de la forme accidentelle des équations.
