IV. — Les principes de la Géométrie synthétique

La Géométrie synthétique moderne repose sur l'étude des séries de points et des faisceaux de rayons; ces figures, les plus simples de toutes, lui fournissent en particulier les bases d'une génération purement géométrique des courbes algébriques, soit qu'on les considère comme décrites par leurs points ou comme enveloppées par leurs tangentes. Nous reconnaîtrons ces choses même dans notre représentation analytique, si nous introduisons une fonction du paramètre (J. déjà employé, qui soit indépendante du facteur constant qu'il renferme, et qui ait, par conséquent, un sens purement géométrique. Une telle fonction s'obtient immédiatement, si, outre les deux éléments fondamentaux de la série de points ou du faisceau de rayons, on considère simultanément deux autres éléments; en effet, le quotient des deux valeurs du paramètre [x qui leur correspondent est indépendant de la valeur de la constante dont il a été parlé. ,

Soient donnés deux points

(') foir, pour l'exposition de ce qui suit : Clebsch, Theorie der binären algebraischen Formen; Leipzig, 1873, p. 58 et suiv.

C05SIDÉBATI0NS PRÉLIMINAiaES. — SÉRIES DE P0I5TS ET FAISCEACX DE BAT058. 4?

et prenons sur leur ligne de jonction deux autres points P-i-fcQ = o, P-hfA'Q = o;

on a, d'après ce qui précède, pour les rapports de leurs distances

aux points de base,

C désignant une constante, et de là résulte indépendamment de C

Ce rapport est une quantité purement géométrique que nous désignerons par le nom de rapport anharmonique des quatre points choisis ( ' ). De ce rapport on peut encore en déduire d'autres, car dans notre exposition tous les quatre points n'ont pas été employés de la même manière ; nous en avons, au contraire, distingué deux comme points de base de la série, et encore ceux-ci entraient d'une façon différente dans le calcul, puisque nous aurions pu aussi bien supposer les points donnés sous la forme

Q 4- a, P z= G, Q -i- tx', P =: O,

et prendre ' ,- pourrapportanharmonique. liest d'ailleurs possible

de déterminer le rapport anharmonique de quatre points d'une série sans avoir égard aux points de base. Supposons, en effet, que les quatre points soient déterminés par les équations

P-FfijQ = o, P-i-a^Q = o;

on peut ramener le problème au cas précédent, en faisant dans un certain- sens de deux des quatre points donnés de nouveaux points

(') Les rapports anharmoniques se trouvent déjà occasionnellement, comme théorie liée aux relations projcctives, dans l'Ouvrage de Poxcelet, Traité des propriétés projectives des figures (p. ex. p. 1 1 ). C'est Mönics qui a introduit le rapport anharmonique considéré en lui-même {Calcul barjrcentrique, 1827), ainsi que l'a fait Chasles en France, dans son j4percu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, 1837.

de base, c'est-à-dire en posant pour l'instant

On en déduit

Par suite les quatre points sont ainsi représentés :

R+^'-^^S:^0, R-f-^HH^Srr-.O.

ce qui est encore la forme précédente si nous considérons les grandeurs qui multiplient S comme des valeurs d'un nouveau paramètre. On a donc pour le rapport anliarmonujue des quatre points

fonction des quatre paramètres complètement indépendante des points de base.

Nous serions arrivés exactement à la même expression si nous étions partis des quatre raj'ons d'un faisceau

G-f-f*iH:=0, GH-fX2H = 0,

GH-ft3H = o, G-h.«4H = o;

ici encore le rapport anliarnionique des quatre rayons est indépendant de la situation des rayons de base, et indépendant des constantes renfermées dans le paramètre; c'est également une grandeur purement géométrique.

Dans la valeur de a, les paramètres des quatre éléments (points ou rayons) sont employés d'une manière différente. Si nous changeons leur ordre, a changera également, et nous obtiendrons toutes les valeurs possibles de a. en permutant les quatre indices de toutes les manières possibles. Les vingt-quatre permutations qui prennent ainsi naissance devraient conduire à vingt-quatre valeurs différentes du rapport formé par les quatre mômes éléments, tandis qu'en fait, ainsi que le montre un examen plus attentif, ces valeurs se réduisent à six.

C0Mn>éllAT10:<S PIÉUMINAIBES. — SÉBIES de PUIMS et FAISC.EAIX DE HATOM. ^9

Supposons d'abord que, pour parvenir à la valeur précédente

les indices aient été employés dans l'ordre i , 2, 3, 4 î on voit que a reste le même pour les arrangements

c'est-à-dire que le rapport enharmonique ne varie pas si l'on échange entre eux les indices du premier et du second couple, et si l'on intervertit les deux couples. Cela a lieu de quelque valeur que l'on puisse partir : il y a toujours quatre permutations qui donnent le même rapport enharmonique; il ne reste donc plus que six valeurs différentes de ce rapport, et toutes s' expriment d'une manière simple au moyen de l'une d'entre elles. Nous les obtiendrons toutes, en laissant un des indices, 4 P^r exemple, invariable et en permutant entre eux les trois autres restants. On trouve alors, par un calcul facile :

- ( £t. tto ) ( It- f*j]

Pour I arrangement 1234 a. = )^-^ ' ^ , ' * ^;

(Pi-

Ici a! est formé de a par l'échange de ^^ avec f^j, a" est formé de a par l'échange de y.^ avec /ytj. Si, ensuite, on permute, dans a', yn et fxs, dans a", fi, et /^t,, dans 0^", [i^ et fAj, on obtient respectivement les valeurs cl", ot.^^ et a7.

Les six valeurs correspondantes d'un rapport anharmonique sont donc, si a. désigne l'une d'entre elles,

I la — la

Clebscb. — Géométrie, I,

5o TOME I. — CBAPITRE I.

Quoique ces valeurs soient, en général, différentes les unes des autres, il peut cependant arriver que. à raison de la situation particulière des quatre éléments, quelques-unes deviennent identiques. Le rapport anharmonique a alors des valeurs exceptionnelles qui correspondent à ces situations. Ici peuvent se présenter les cas

suivants :

(/} — « -f- I rr- O,

ty. «.■=z u7 = OU K- — 2 a :-^ o,

c'est-à-dire

a = o ou a =:: 2.

Mais ces six cas ne sont qu'en partie différents. Remarquons

d'abord que les cas 3 et 4 sont identiques, car l'une des conditions

est la conséquence de l'autre. Les autres cas donnent encore lieu

à deux groupements exceptionnels des quatre éléments. Si nous

posons en effet « = r, les six valeurs du rapport anharmonique

seront

I , I, o, ce , o, CO ;

on a donc ici a." égal à a'^, égal à l'une des valeurs de a dans le cinquième cas, et de fait, en partant de ce dernier, nous obtenons les six mêmes valeurs du rapport anharmonique, seulement dans un autre ordre, à savoir :

o, GO, I, 1, 00, o;

les deux cas donnent donc géométriquement le même résultat.

Supposant ensuite a = — i, nous obtiendrons pour les six valeurs du rapport anharmonique

On obtient encore la mémo série, seulement rangée autrement si l'on part du cas 2 ou de la seconde valeur de a dans le cas 5 ;

COXSIDÉIATIONS PBÉLIIIINAIRE«. — SÉRIES DE POINTS ET FAUCEACX BE RATOTIS. 6l

donc il y a encore au fond identité de résultat. Nous avons donc à distinguer seulement trois dispositions exceptionnelles des quatre points ou rayons; leur signification géométrique s'énonce de la manière suivante :

Le quotient des dislances de deux éléments aux deux autres est le même; autrement dit, ces éléments coïncident entre eux.

Les rapports de distance de deux éléments aux deux autres sont égaux et de signes contraires; il y a alors situation harmonique des quatre éléments : c'est le cas le plus important; nous serons conduits dans la suite à cette relation de situation par les recherches les plus diverses, de sorte que quelques éclaircissements peuvent avec avantage trouver leur place ici. Parmi les divisions possibles des quatre éléments en couples, on doit distinguer celle qui, dans la formation du rapport anharmonique, fournit la valeur — i; les points des deux couples s'appellent éléments conjugués, et le signe négatif devant a montre que, si un élément d'un couple est situé entre les deux éléments de l'autre couple, le second doit être situé en dehors; les éléments conjugués de chaque couple sont ainsi séparés respectivement les uns des autres. Cette disposition des éléments est encore caractérisée par la circonstance que l'échange des éléments d'un couple laisse la valeur de a invariable.

Au cas spécial où, dans une série, le troisième point se trouve au milieu des deux premiers, le quatrième est situé à Finfini, et nous pouvons ainsi considérer la division par moitié d'un segment comme une simple relation anharmonique. Si le troisième point s'approche indéfiniment de l'un des deux premiers, il en est de même du quatrième. La même chose a lieu pour les faisceaux de rayons; seulement le théorème métrique sur le point milieu des segments déterminés par un couple est modifié, car on démontrr facilement que, si le troisième rayon divise par le milieu l'angle compris entre les deux premiers, le quatrième divise l'angle supplémentaire en deux parties égales; les deux rayons sont alors perpendiculaires.

3° a- — a 4- I = o ou K = ^ j

5a TOME I. — CnAPIT«E 1.

d'où

ai? ■■= — I .

Dans ce cas a est une racine cubique imaginaire de — i, et les trois autres valeurs du rapport anharmonique sont égales à la racine cubique imaginaire conjuguée. Ici, par conséquent, nous avons deux systèmes de trois valeurs égales du rapport anharmonique, tandis que dans les cas précédents nous avions trois systèmes de deux valeurs égales. On a coutume d'appeler, d'après Cremona ( * ), êquianharmonique la situation des quatre points que ce cas caractérise. Toutefois, à cause des grandeurs imaginaires qui interviennent, l'interprétation géométrique est ici moins évidente, car on ne peut pas avoir quatre éléments à coordonnées réelles satisfaisant à la condition posée, et conséquemment il n'est pas possible de déterminer par construction sur une droite quatre points de cette nature. Nous sommes ainsi amenés pour la première fois à considérer dans nos recherches même les valeurs imaginaires des variables et des coefficients, et, en fait, on s'est vu forcé dans les temps modernes de les introduire pleinement, aussi bien que les valeurs réelles, sur le terrain des considérations géométriques. Bien qu'elles échappent à l'intuition immédiate, on peut cependani effectuer analytiquement sur elles toutes les opérations, comme si l'on avait affaire à des points ou à des droites réelles, et même par la réunion d'éléments imaginaires différents peuvent être engendrés des éléments réels dont le sens nous resterait caché sans la considération des premiers. Parmi les quatre points d'un système équianharmonique, trois au plus peuvent être réels, de sorte que le quatrième seul est alors imaginaire; car, en supposant que les

équations

représentent deux points réels, ces points forment, avec les points

P -+- fxQ := o, P -f- f*'Q = G,

un système équianharmonique si

(') Voir son Ouvrage intitulé : IiHroduzione ad una teoria geometrica délie cun-e piaiie, ou la traduction allcniaiidc pur Curtze; GrciTswald, i8G5.

C0^SIDÈKATI05S PRÉLIVUtAIMES. - SÉXIES DE POITTS ET FAISCEACX DE lATOM. 53

Cl de là résulte toujours pour ^x' une valeur imaginaire lorsque [â. est réel. On conclut aussi du double signe qu il existe deux points placés équianharmoniquement par rapport à trois points donnes ('). Si, au contraire, deux des trois points sont imaginaires conjugués, les deux autres peuvent être réels. Si en effet l'on a

P-r-c^ — |Q = 0, P — cy — lQ=0, P-t.aQ = 0, PH-fi'Q = 0,

IL étant réel, la valeur de u! se détermine au moyen de l'équation

(r \/— I — f*) (ft' -4- c ^f^x) I ± v'— 3

{..^cf-x){cyl~i-.')~ ^

On en déduit

quantité réelle lorsque /x est réel, et alors seulement.

Si quatre éléments sont situés harmoniquement (et qu'ils ne soient pas tous réels), ou bien deux seront imaginaires, ou bien tous les quatre le seront simultanément, et dans le premier cas l'un des deux couples associés est formé des éléments réels, l'autre des éléments imaginaires. On peut alors représenter les quatre points par les équations

La théorie du rapport anharmonique, que nous venons de parcourir, conduit d'elle-même à l'étude de certaines figures qui sont pour la Géométrie d'une importance capitale. Considérons simultanément deux groupes d'éléments donnés par les équations

P-f-.;/Q — o, P'-4-aQ' = o, ou

G4-aH = 0, G'-î-aH'=:0,

suivant que nous partons des séries de points ou des faisceaux de

C* ) Voir la Théorie des formes binaires cubiques dans la troisième Partie de ces Leçons.

rayons; un des éléments est déterminé dans les deux figures par une même valeur de ix. Appelons ces deux éléments éléments correspondants : les deux ligures auront alors entre elles une relation à détermination unique ; à chaque point ou rayon de l'une est associé un point ou un rayon de l'autre, et inversement. On dit alors (jue les deux ligures sont en relation projective, ou que l'une des séries est projectile par rapport à l'autre, que le premier faisceau est projectif par rapport au second. Maintenant, comme le rapport anharmonique de quatre éléments d'une figure dépend uniquement du paramètre //, on déduit immédiatement de cette «léfinition de la projectivité la proposition principale de la matière :

Si deux figures sont projecti^^es, quatre des éléments de l'une et les quatre éléments correspondaïits de l'autre ont le même rajyport anharmonique (en supposant que dans la formation de ce rapport les éléments correspondants ont été employés dans le même ordre; sinon on obtiendrait des rapports anharmoniques différents, quoique appartenant au même système de six valeurs).

Il est à peine nécessaire d'indiquer que des séries ou des faisceaux en nombre supérieur à deux peuvent être projectifs les uns par rapport aux autres, ou que deux figures sont projectives entre elles lorsqu'elles le sont par rapport à une troisième. On dit aussi

qu'une série

P-f- tAQ = o

est projective par rapport à un faisceau

en tant que l'on fait correspondre à un point de la série le rayon du faisceau pour lequel la valeur du paramètre // est la même : le théorème sur l'égalité des rapports anharmoniques reçoit encore ici son application.

C'est précisément celle dernière relation entre les formes géométriques linéaires ainsi opposées qui va surtout nous servir à la construction des figures projectives. Il nous sufßra pour cet objet de démontrer les théorèmes suivants :

i . On peutjaire correspondre trois éléments d'une figure [série ou faisceau) à trois éléments d'une autre figure; alors, à

CONSIDÉRATIONS PBÉUMINAIRES. — SÉRIES DE POIMS ET FAISCEiCX DR RATOKS. 5J

chaque quatrième élément de la première, correspond un quatrième élément de la seconde, autrement dit la projeclivité est établie.

Prenons, en effet, dans une figure deux éléments

el faisons-leur correspondre dans l'autre figure les deux éléments

Dans l'équation d'un élément correspondant à un élément mobile

M -4- uN = o

de la première figure, y. doit également entrer linéairement : cette équation a donc nécessairement la forme

(a -+- pu) M' -t- (7 + Su.) N' = O,

a, ß, y, 5 étant des constantes. Mais comme, pour ^ = o, l'élément de la première figure devient M = o, et que d'autre part l'élément corrélatif qui, dans la seconde figure, répond à la même valeur de {j. est nécessairement M'= o, il faut prendre 7 = 0, et de même, puisque N = o, N' =: o se correspondent pour |ut=co, on doit avoir ß = o. Pour les éléments de la seconde figure, reste donc la

forme

«M' -+- otiN' = o.

Maintenant, supposons qu'à un troisième élément

M H- /N = o corresponde un élément choisi arbitrairement, mais déterminé,

on doit avoir, pour (i = l,

et, par suite, - = - . N' apparaît donc, dans la seconde figure, raulu l * *

tiplié par la constante —y ce qui n'affecte en rien le sens de l'équation