l.ors(pi'on coupe les rayons d 'un faisceau

G -h fxH = o

par une droite («j, t^^) qui n'en fait pas partie, les points d'intersection forment une série projectile relativement au faisceau, si l'on fait correspondre à chaque rayon le point situé sur ce rayon.

Pour le démontrer, il suffit d'établir l'équation du faisceau on de la série ainsi engendrée. Posons

PmrtM-^-ôp-hC,

OU aura alors, pour l'équation de la ligne de jonction avec jtq, Joi

c -+- uy

\\ =:^ K.l 1- Pjr -T- 7;

du point d'intersection avec «0, «ou «0 « H- ua.

V t'o b -\- nP ~. o, I I f -H 1*7

CONSIDCBATIONS PRLLIXINAIRIIS. — SEBIES DE OINTS CT PAISCEVTX DE RAY0Ü8.

OU, par décomposition,

Donc, en fait, à chaque élément ainsi engendré appartient la même valeur de yi que dans la figure donnée, et c'est sur celle identité que repose la projectivlté des séries et des faisceaux. Dans ce cas, où chaque rayon passe par le point qui lui correspond, on dit que les ßgures sont en position perspective.

3. Les séries et les Jaisceaux qui sont projectijs peuvent toujours être mis en position perspective.

Soient, en effet, «, b, c trois points d'une série; a, ß, y les rayons correspondants d'un faisceau; ce dernier peut être déplacé tout en restant conforme à lui-même, de manière que a passe par a, ß par b, y par c. Pour atteindre ce résultat, il suffit de construire sur ab un segment de cercle capable de l'angle aß , sur bc un autre segment capable de l'angle jiy, et de prendre l'intersection de ces deux segments pour sommet d'un faisceau. Ce faisceau détermine alors sur la droite une seconde série de points ; cette série et la série donnée sont toutes deux projectives par rapport au faisceau, et, par conséquent, projectives entre elles. Elles ont d'ailleurs, en vertu de la construction, trois couples d'éléments correspondants communs; donc elles coïncident, d'après un théorème qui vient d'être démontré, et la série donnée est réellement en position perspective avec le faisceau.

On peut donc définir géométriquement les Jigures projectives d'espèces différentes en les considérant comme dérivées de la position perspective ; il en est également ainsi pour les figures projectives de même espèce.

Deux séries projectives sont dites perspectives, lorsque les lignes qui joignent les points correspondants passent par un même point (appelé centre de perspectif). On peut toujours obtenir cette situation ea dé-

Deux faisceaux projectifs sont dits perspectifs, lorsque les intersections des rayons correspondants sont situées sur une même droite ( appelé«' ajte de perspective). On peut toujours obtenir cette situation, en dé-

plaçant l'une des séries, maintenue du reste identique à elle-même, de manière qu'un de ses points se confonde avec le point qui lui correspond dans l'autre se'rie; car, si l'on joint alors respectivement deux points d'une série aux deux points corr(;spondants de l'autre; puis le point d'intersection de ces lignes au point commun aux deux séries, chaque quatrième rayon du faisceau ainsi formé déterminera, avec les trois premiers, un rapport anharmonique égal à celui des quatre points où les quatre rayons rencontrent une des deux séries; par conséquent, tout rayon du faisceau détermine sur les deux séries deux points correspondants.

plaçant l'un des faisceaux, maintenu du reste conforme à lui-même, de manière qu'un de ses rayons se confonde avec le rayon qui lui correspond dans l'autre faisceau; car, si l'on prend alors les intersections respectives de deux rayons de l'un des faisceaux avec les deux rayons correspondants de l'autre, et que l'on coupe leur ligne de jonction par la ligne des centres ou sommets des faisceaux (c'est-à-dire par le rayon commun), chaque quatrième point de la j)remière droite détermine avec les trois premiers un rapport anharmonique égal à celui des quatre rayons qui joignent les sommets à l'un des centres; par conséquent, par chaque point de la droite passent deux rayons correspondants des deux faisceaux.

Ces considérations nous ont conduits de la notion du rapport anharraonique aux principes de la Géométrie synthétique moderne ; car celle-ci se fonde essentiellement, surtout depuis Steiner (*), sur la conception.de la droite comme série de points, du point comme faisceau de rayons, et sur la relation projective de ces figures élémentaires, relation obtenue d'abord par l'intermédiaire de la perspective. Mais par suite de l'introduction des coordonnées-lignes et du principe de dualité, ces idées entrent aussi avec une clarté complète dans les recherches analytiques, et la différence entre la Géométrie analytique et la Géométrie synthétique ne doit plus être considérée comme substantielle ; les deux branches de la Science opèrent exactement avec les mêmes no-

( ' ) Stei!<er, Systematische Ent»'ic/tlung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten i>on einander, Berlin, 1 832. L'exposilion de Vo:« Staldt, Geometrie der Lage, Nürnberg, i8/|7, présente une marche plus logique encore. Le rapport anharmoniquc forme aussi la base des doux Ouvrages de Cuasles, Traité de Géométrie supérieure, i85a, et Traité des sections coniques, première Partie, i865.

CONSIDÉRATIONS PRÉLIMINAIRES. — SÉRIES DE POINTS ET FAI8CEACX DE BAYONS.

lions, et la première donne une forme d'expression précise à la seconde. Nous allons encore parcourir brièvement dans ce qui suit les traits fondamentaux d'une exposition synthétique des courbes du second ordre et de la seconde classe, et nous constaterons là aussi une concordance complète avec les opérations analytiques.

V. — Figures engendrées par les séries et les faisceaux projectifs.

A la théorie des figures projectives se rattache une manière purement géométrique d'engendrer les courbes du second ordre et de la seconde classe, sur laquelle sera basée l'étude plus développée de ces courbes. On a en effet les deux propositions suivantes, qui sont corrélatives :

Deux faisceaux projectifs qui ne sont pas en situation perspective déterminent par les intersections de leurs rayons correspondants un lieu géométrique [une courbe) du second ordre.

Deux séries projectives qui ne sont pas en position perspective déterminent par les lignes de jonction de leurs points correspondants une enveloppe [ou courbe) de la seconde classe.

Le cas le plus simple, lorsqu'il s'agit de la génération d'un lieu géométrique, est celui où les deux faisceaux projectifs ayant pour centres O et O' [fi^. 12) sont égaux; la courbe est alors un cercle^

Fig. 12.

ainsi qu'il résulte de l'égalité des angles inscrits 1O2, iCVa

Voici maintenant la démonstration analytique générale des théorèmes énoncés.

Soient

G -i- uH = o, G'-l-f*H'=o

les deux faisceaux. Pour le point d'intersection de deux rayons auxquels correspond la même valeur de u, les deux équations doivent être simultancincnt satisfaites. Si nous éliminons /x {ßg. i3a), nous obtiendrons une équation indépendante de ft, et qui par consé([uent a lieu j)Our tous les points d'intersection des rayons correspondants, à savoir

=:GH'— lIG'=o.

Fift. i3,.

<! + |lH=

flH'=:0

G, H, G', H' sont ici des fonctions linéaires de x, j.

L'équation i-eprésentc donc i^éellemcnt une courbe du second ordi'c.

Cette courbe passe par les sommets des deux faisceaux, car l'équation (?.) est satisfaite, si l'on a en même temps

G =: o et H = o, ou

G':=o et ir=o.

Soient

P -\- itQ =o,

P'-f-pQ'=o

les deux séries. Pour la ligne de jonction de deux points auxquels correspond la même valeur de fx, les deux équations doivent être simultiUîément satisfaites. Si nous éliminons n [fis- i3^), nous obtiendrons une équation indépendante de /a, et qui par conséquent a lieu pour toutes les lignes de j(mction des points corlespondants, à savoir

PQ' — QP' ^ o.

Pi Qi P'i Q' sont ici des fonctions linéaires de u, v.

L'équation représente donc réellement une courbe de la deuxième classe. Cette courbe touche les droites, bases des deux séries, car l'éciuation (2) est siitisfaite, si l'on a en même temps

P o et Q — o, on

et Q' = o.

Noire inlcnlion élaiil de considérer comme rondamental ie

CONSIDÉSATIONS PRÉLIMINAIKES. — SÉRIES DE POI5TS ET FAISCEArX BB ■ATOTtS. Gl

mode de génération auquel nous sommes parvenus, nous avons à montrer que toute courbe du deuxième ordre ou de la deuxième classe peut être ainsi obtenue. Nous le démontrerons seulement pour les coordonnées-points, et nous écrirons immédiatement en face des résultats trouvés les résultats correspondants pour les coordonnées-lignes. La grande utilité du principe de dualité repose en effet sur ce que chaque opération analytique peut être interprétée géométriquement de deux manières, et qu'ainsi, par un seul développement, on obtient deux théorèmes ('). Nous partirons de la remarque suivante :

Il est toujours possible de faire passer une courbe du deuxième ordre par cinq points donnés, pouivu que parmi ces cinq points if ne s'en tfoui-e pas trois en ligne droite.

Il est toujours possible de construire une courbe de la deuxième classe tangente à cinq droites données y pourvu que parmi ces cinq droites il ne s'en trouve pas trois qui passent par un même point.

On peut, en effet, considérer deux des cinq points comme sommets de deux faisceaux et rendre ces faisceaux projectifs, en faisant correspondre les rayons qui passent par chacun des trois autres points donnés. La projectlvité est ainsi complètement établie, et les deux faisceaux déterminent par les points d'intersection de leurs rayons correspondants une courbe du deuxième ordre qui passe par les cinq points donnés.

Après avoir reconnu la possibilité de faire passer par cinq points donnés une courbe du deuxième ordre, nous pouvons nous demander quelle est l'équation de cette courbe.

L'équation dont il s'agit doit être du second degré en x,y, et, par conséquent, avoir la forme

«X* -f- b.TY -h cj * -h dx -^- ej -- / =zz o ;

elle doit de plus être satisfaite si l'on substitue à x^ jr les coordonnées de l'un des points donnés, ce qui, en distinguant ces dernières par l'addition d'indices, entraîne l'existence des cinq

(') Si jusqu'ici nous avons donné les démonstrations sous forme double, c'était afin de rendre plus familière la conception peu usitée des courbes considérées comme engendrées par leurs tangentes; pour la même raison, nous parcourrons encore souvent les deux ordres de considérations.

»Ja TOME I. — CHAPITBE I.

équations suivantes :

a.i'-, -t- bj:ijri -h CJ7 -+■ rf.r, 4- eJr^ -+-/-. o, arl ■+- bx^Xi -f- cyl -h djr^ 4- ej, -!-/■= o, ax'i -+- 0^3 73 H- cyl -+- rZ-rj -+- ejj -+-/— O,

axl -h bXiXi -+- <^Jg -»- ^^-^5 -^ ^'Jö +/= o.

Nous avons là cinq équations linéaires entre les six inconnues homogènes a, b, c, d, e, f; nous pouvons donc calculer sans ambiguïté ces dernières, et notre problème a une solution unique. Donc :

Une courbe du deuxième ordre est complètement déterminée si l'on donne cinq de ses points.

une courbe de deuxième classe est complètement déterminée si l'on donne cinq de ses tangentes.

Étant maintenant donnée une courbe du second ordre, on peut choisir arbitrairement cinq points de cette courbe, en prendre deux comme sommets de faisceaux, employer les trois autres pour établir la relation projective des deux faisceaux, et construire comme lieu des points d'intersection des rayons correspondants une courbe de deuxième ordre passant par les cinq points choisis, car par cinq points il ne peut passer qu'une seule courbe de cette nature; d'où la conséquence suivante :

Toute courbe du deuxième ordre peut être considérée comme engendive par deux faisceaux projectifs, de la manière qui vient d'être exposée.

Toute courbe de la deuxième classe peut être considérée comme engendrée par deux séries projectu'es, de la maniè}-e qui vient d'être exposée.

Comme on peut choisir tout à fait arbitrairement cinq points sur une courbe du deuxième ordre, pour en faire la base du mode de description dont il s'agit, il s'ensuit que les sommets des faisceaux employés (ou les droites sur lesquelles sont situées les séries) n'offrent rien d'exceptionnel, et de là résultent les théorèmes suivants, qui ne sont, à proprement parler, que des expressions diverses de cette observation :

Les lignes quijoignent deux points Sur deux tmgentes fixes d'une

fixes pris sur une courbe du second courbe de deuxième classe, les autres

ordre aux autres points de cette tangentes de la courbe déterminent

courbe donnent naiss<mce à deux par leurs intersections deux séries

faisceaux projectifs. projectives.

CO<(SIDÉaJlTIO!(S PBÉLIMI!« AIRES. SÉRIES DE POIXT8 ET rAISCEACX DE RAYONS.

Si un point se meut sur une courbe du second ordre, le faisceau des rayons qui joignent ce point aux deux autres points de la courbe reste constamment projectif par rapport à lui-même.

De quelque manière que l'on joigne quatre points ßxes d'une courbe du deuxième ordre à un cinquièihe point de cette courbe, le rapport anharmonique des quatre rayons est toujours le même.

Si une txmgente à une courbe de la deuxième classe se meut autour de cette courbe, la série déterminée sur elle par les autres tangentes reste constamment projective par rapport à elle-même.

De quelque manière que l'on coupe quatre tangentes fixes d'une courbe de deuxième classe par une cinquième tangente, le rapport anharmonique des quatre points d'intersection est toujours le même.

Ces propositions donnent en un sens les fondements d'une Géométrie sur les courbes du second ordre, de même que nous venons d'étudier la Géométrie sur une série de points et dans un faisceau de rayons ; mais elles peuvent servir aussi à obtenir la plupart des relations qui ont lieu pour les courbes de l'espèce considérée. Un exemple de leur fécondité nous sera fourni par les importants théorèmes suivants, qui sont connus sous le nom de théoième de Pascal et de théorème de Brianchon (') :

Les lignes qui joignent les som mets opposés d'un hexagone circonscrit à une courbe de deuxième classe {c'est-à-dire dont les côtés sont tangents à cette courbe] passent par un même point [fig. i^b)-

Les côtés opposés d'un hexagone inscrit à une courbe du second ordre [c'est-à-dire dont les sommets sont situes sur cette courbe) se coupent en trois points d'une même droite

(*) ^ k%Ck\., Essais sur les coniques, i63o, dans l'édition complète de ses OEnTres. BRix.'taio:«, Journal de L'École Polytechnique, XIII* Cahier, 1806.

()/, TOME I. — CBAPITBE I.

Désignons, en effet, les sommets de l'hexagone par des nombres, et considérons comme côtés opposés (l'ordre est du reste indifférent) ceux qui, dans le tableau :