III
sont en face l'un de l'autre, 12 désignant la ligne de jonction des points I et 2, ..., et I, II, III étant les trois intersections en question. Sur les lignes 34 et 35 par exemple, les deux faisceaux projectifs ayant pour sommets 6 et 2 déterminent respectivement deux séries projectives, qui sont en position perspective, parce qu'elles ont en commun le point correspondant 4; par suite, les lignes qui joignent des points correspondants, c'est-à-dire les lignes I, m, 28, 56, se coupent en un point II. c. q. f. d.
A l'aide du théorème de Pascal, il est facile de construire autant de points que l'on veut d'une courbe du deuxième ordre, dont cinq points (i, 2, 3, 4> ^) sont donnés. Menons par l'un des points donnés (5 par exemple) une droite quelconque (telle que 5 11); la construction du second point d'intersection (6) de celle-ci avec la courbe s'aperçoit immédiatement sur Xdißg. i4a- Le théorème de Brianchon donne également un moyen de trouver un nombre quelconque de tangentes à une courbe de la deuxième classe donnée par cinq de ses tangentes.
Cette manière géométrique d'engendrer les courbes du second ordre et de la seconde classe fournit encore la solution du problème suivant : Construire les deux points d' intersection d'une droite a\>ec une courbe du second ordre donnée par cin(j de ses points.
Désignons, en effet, les cinq points donnés par i, 2, 3, 4> 5», et menons par deux d'entre eux, i, 2 par exemple, des rayons dirigés sur les trois autres 3, 4, 5', nous déterminons par là deux faisceaux projectifs ayant pour sommet i et 2 et engendrant la courbe de la manière connue. Les deux faisceaux coupent la droite donnée en deux séries de points qui sont projectives. Un point de la droite sera situé en même temps sur la courbe du second ordre, si en ce point se coupent deux rayons correspondants des deux faisceaux, c'est-à-dire si deux points correspondants des deux se-
CONSIDÉRATIONS PRÉLIMINAIRES. — SÉRIES DE POINTS ET FAISCEACX DE RATONS. 65
ries s'y confondent. Comme il doit toujours y avoir deux points d'intersection réels ou imaginaires (ne se confondant que dans le cas d'une tangente), on a incidemment ce théorème :
Dans deiijc séries projectives de même base, il existe toujours deux points qui coïncident avec leurs points correspondants : ces points sont appelés points doubles des deux séries ('). Notre problème se trouve par conséquent ramené à cet autre : Construire les points doubles de deux séries projectives de même base.
Supposons maintenant les deux séries données par trois de leurs points : A, B, C et a, b, c, qui se correspondent respectivement {Jig' i5). Admettons ensuite qu'une courbe du second ordre
soit donnée toute tracée, et, pour plus de simplicité, supposons que ce soit un cercle. Joignons un point M de ce cercle aux points A, B, C, a, b, c respectivement par des droites qui rencontreront encore la circonférence aux points A', B', G', a', b', c'. Considérons maintenant successivement le point M, puis l'un des trois points mentionnés en dernier lieu, A' par exemple, chacun comme sommet d'un faisceau de rayons. Alors
le faisceau M (A', B', C) sera projectif par rapport au faisceau a'(A', B', C),
et il en sera de même du faisceau M(^a',b', c') à l'égard de A'(a', b', c').
Comme maintenant, conformément à l'hypothèse, M(A', B', C)
C) Cette proposition peut du reste se démontrer sans difficulté directement ^voir sur ce sujet le troisième Chapitre de ce Volume).
Clebsch. — Géométrie, I. 5
et M (a', b', c') sont projecllfs, on a aussi
a'(A', B', C) projectif relativement à A.' [a', b', c').
Mais les deux faisceaux sont en position perspective, parce qu'ils ont le rayon Aa' correspondant commun; ils engendrent donc comme axe de perspective de leurs intersections une droite qui coupe le cercle aux points P et P'. Les rayons MP, MP' sont les rayons doubles des deux faisceaux projectifs
M{A', B', C) et M{a',b',c'),
ou, ce qui est la même chose, des faisceaux
M(A,B, C) et U{a,b,c].
Leurs intersections O et O' avec la droite donnée déterminent les deux points cherchés des deux séries projectives sur cette droite, et, par conséquent, notre problème est résolu ( * ).
Nous avons expressément supposé, pour la légitimité de nos dernières considérations, que les figures employées pour engendrer les courbes, n'étaient pas en position perspective. Dans le cas contraire les figures engendrées ne sont pas, à proprement parler, des courbes de la nature cherchée. En effet, si les deux faisceaux de rayons sont en position perspective, la courbe du second ordre engendrée par eux se compose de deux droites, l'axe de perspective sur lequel se trouvent leurs intersections et la ligne qui jomt leurs sommets. De même pour la courbe de deuxième classe : lorsque les séries employées pour lui donner naissance sont en perspective, elle se réduit à deux points qui sont le centre de perspective et l'intersection des deux droites. Cela est également évident analytiquement; car les figures projectives qui sont en perspective ont un élément correspondant commun, et en conséquence nous pouvons écrire sous la forme suivante les équations
des deux faisceaux :
G + fxH — o,
des deux séries :
PH-ftQ = o, P-t-pQ'=o,
(') On peut de inéme résoudre par construction toutes les équations du second degré h l'nidc d'un cercle tracé une fois pour toutes (voir Stuneb» Die geometrischen Constructionen, lierlin, i833).
COSSIDélLi'nO:<S PRÉLIMIXAIBES. — SÉSIBS de POITTS et faisceaux de KAT0!<S. IT}
et l'éliminalion de [x donne alors
c'est-à-dire que la courbe se décompose, ainsi que cela doit être :
en deux droites
et
I en deux points
P = o et
D'une manière analogue, une courbe d'ordre n peut se décom- . poser en n droites, une courbe de classe n peut se décomposer en n points; et inversement nous pouvons considérer l'ensemble de n droites comme une courbe d'ordre n, l'ensemble de // points comme une courbe de classe n. Nous apprendrons plus tard à connaître la condition générale moyennant laquelle dégénère ainsi une courbe de deuxième ordre ou de deuxième classe.
Nous avons vu plus haut qu'on ne peut pas représenter une droite comme enveloppe de droites, ni un point comme lieu de points, tandis qu'en général toute courbe peut être envisagée de deux manières différentes. Les figures qui prennent naissance dans la décomposition des courbes présentent ainsi un caractère essentiellement différent suivant que la courbe a été considérée originairement comme figure ponctuelle ou comme figure tangentielle, et cela est ici d'autant plus digne d'attention que, d'ailleurs, les courbes du deuxième ordre sont identiques avec les courbes de la deuxième classe, comme nous allons de suite en donner la démonstration. Celte démonstration se rattache à une définition de l'ordre et de la classe des courbes qui est celle qu'on a coutume de donner dans la Géométrie synthétique :
Une courbe d'ordre n est coupée ' ^ une courbe de classe n on peut par une droite en n points ( réels ou [ mener d'un point n tangentes ( réelles imaginaires). j ou imaginaires).
Cela s'accorde avec la définition précédemment donnée. Soient, en effet, la courbe
et la droite
ax -+- i j H- c z= o.
et le point
on obtiendra une équation de degré n
pour j-, si dans/(x, j) on pose hy -\- c
pour v^ si dans/(«, v] on pose
hv -\- i
Sous le bénéfice de ces observations, nous allons, pour démontrer notre proposition, établir d'une manière effective en coordonnées-lignes l'équation d'une courbe du deuxième ordre donnée en coordonnées-points, et nous parviendrons bien à une équation du second degré en ii^ u.
Supposons une courbe du second ordre donnée par les deux
faisceaux
et ayant par conséquent pour équation
GH— G'H = o,
et soit
u.r -\- vj -\- i = o
l'équation d'une droite.
Nous nous proposons de déterminer la valeur de [i qui appartient aux rayons menés dans les deux faisceaux par les points où la droite précédente rencontre la courbe. Les équations des deux faisceaux peuvent s'écrire tout au long sous la forme
u/fi ] j:
yfi%)j
[Si + f^'''< ) ^" + (^2 -i- .«^4) J + {^3 + .'^'''3) = O-
Aux points d'intersection cherchés, elles seront satisfaites en même temps que celle de la droite donnée, c'est-à-dire que l'on
aura
uft.
gl -h ft//, èj -r t^"i ö3 -r- «•"3
équation du second degré en p et linéaire en u, v. Si on l'ordonne suivant les puissances croissantes de fx, elle prend la forme
P, Q, R étant des fonctions linéaires de u et de v, et c'est là uni-
CO!(SIDÉHATI05S PRÉUHt5AIRE8. — SÉRIES BE P0I5TS ET FA18CEACX DB RAT05S. 69
quement ce qui importe pour nous. Si nous considérons m et f comme des constantes, la résolution de l'équation précédente donne les deux valeurs cherchées ' de fx; si au contraire nous prenons (x. constant et u, v variables, nous aurons l'équation du point d'intersection des rayons qui dans les deux faisceaux répondent à la valeur choisie de [x, c'est-à-dire l'équation d'un point d'une courbe du deuxième ordre. En faisant parcourir successivement à /x toutes les valeurs possibles, nous obtiendrons tous les points de la courbe; celle-ci apparaît donc, dans un semblable système de représentation, comme résolue en l'ensemble des points qui la composent ; elle est ainsi en un sens, puisque fi entre au second degré, figurée comme série ponctuelle du second ordre, de même (juela droite, dans l'équation
PH- !zQ = o,
est représentée comme série linéaire.
En ajoutant encore la condition que la ligne u, v soit tangente à la courbe, nous obtiendrons l'équation cherchée de celle-ci en coordonnées-lignes. La courbe doit, dans ce cas, être coupée parla droite en deux points coïncidents, c'est-à-dire que les deux racines de l'équation du second degré en fx doivent être égales. Or ces racines sont
et la condition de leur égalité est
Q« — 4PR=o;
c'est Véi/uation de la courbe en coordonnées-lignes. Ici P, Q, R sont linéaires en u, v; l'équation est donc du second degré {*) par rapport à ces variables. En conséquence, toute courbe proprement dite du deuxième ordre est aussi de la deuxième classe.
Le théorème réciproque se démontre par des considérations tout à fait analogues. Soit une courbe de deuxième classe définie par les deux séries projectives
P + ^.Q = o, P'-htiQ'=o.
(') Nous reviendrons plus tard sur les propriétés des courbes décomposables ( évanouissantes).
