CHAPITRE I

Les tangentes menées à cette courbe d'un point donné par l'équation

iix -f f>j- -h i = o

seront déterminées par l'équation du second degré

Pi + f*îi Pt -^ l>-qi Pi + ."73

Pi-^V-fîi /2-+-FÎ2 Pi-^M\ .r y 1

pour la formation de laquelle on a remplacé P, Q, P', Q' par leurs expressions linéaires en x, y. Ordonnée par rapport à ii, cette équation prend la forme

G H- ptH -)- II? K =: o,

(jr, H, R désignant des expressions linéaires en x, y. Si nous regardons x,j^ comme variables, et^ comme un paramètre, la courbe se trouve ainsi figurée, dans son mode de production par tangentes, sous l'aspect d'un faisceau de la seconde classe. Si les deux lignes passant par un point donné qui appartiennent à la courbe, c'est-à-dire qui lui sont tangentes, coïncident, le point est nécessairement situé sur la courbe ; la condition pour qu'il en soil

ainsi, à savoir

H-— 4GK = o,

donne par suite V équadon de la courbe en coordonnées-points ; or celte équation est du second degré en x, y. Donc toute courbe proprement dite de la deuxième classe est aussi du deuxième ordre.

L'identité des deux natures de courbes nous autorise, dans ce qui suit, à les considérer d'abord uniquement comme figures ponctuelles; nous serons ensuite conduit naturellement à nous en occuper au point de vue dualistique. De plus nous les désignerons, pour abréger, et indépendamment de l'aspect précis sous lequel nous les étudions, par la dénomination de sections coniques ou simplement de coniques. En cflet, elles peuvent être engendrées par l'intersection d'un plan avec un cône circulaire, et déjà dans l'antiquité elles ont été traitées sous ce point de vue.

COMIDteATIOüS PHiLIMIMAIRES. — SÉRIES DE POHm BT MISCIAUX BB KATOXS. 7I