VI. — Division harmonique

Parmi les valeurs exceptionnelles que peut prendre un rapport anharmontque,-BOii5 avons déjà attiré l'attention sur celle qui correspond à la situation harmonique. La considération des rapports les plus simples entre quatre points ou quatre droites quelconques conduit déjà à cette relation de situation, et, comme suite du même sujet, vient une construction simple de l'élément quatrième harmonique à trois éléments donnés. Désignons sous le nom de quadrilatère complet la combinaison de quatre droites quelconques {fig. lÖ«); une teUe figure a six sommets (ou points

d'intersection de deux côtés) qui sont opposés par couples (les points d'un même couple sont dans laßg. 16« désignés par des nombres égaux) et trois Jaujc côtés (désignés dans la ^^» 1 6a par I, II, III), et qui sont les lignes joignant les points de chaque couple. On a relativement à ces dernières droites le théorème suivant :

Chaque Jaiuc côté d'un quadrilatère complet est divisé harmoniquement par les deux autres faux côtés et par les deux sommets qu'il réunit.

Quelque chose d'analogue a lieu pour le quadrangle complet {fig- 160) : cette dernière figure a six côtés qui se correspondent par couples et Irois faux sommets, désignés dans \dißg. 16^ par les chiffres I, II, III.

Les lignes qui joignent l'un des faux sommets du quadrangle complet aux deux autres form.ent un système harmonique avec les deux côtés dont ce faux sommet est l'intersection.

Non-seulement ce théorème correspond dualistiquement au précédent, mais encore il en est une conséquence immédiate, et réci-

proquement, de même que du reste la figure du quadrangle est complètement identique avec celle du quadrilatère ; toutes deux sont seulement considérées d'une manière différente ; dans un cas on part de quatre des six sommets, dans l'autre de quatre des six côtés.

La démonstration du théorème énoncé est simple si l'on emploie les notations abrégées. Soient

les équations des côtés d'un quadrilatère complet. On suppose d'ailleurs les identités :

K = X, j; -f- k^y -H X-, L = /, .r 4- /j jr -f- /.

Maintenant on peut toujours déterminer quatre grandeurs a, |3, y, ^ telles que les équations

«.g +pii -hyk -h SI =o

C0USIDÉKA1I058 PKÉLUnjCAIIES. — SÉRIES DE rOinTS ET FAtSCEAni DE HATONS. -3

soient satisfaites ; car par ces trois équations les rapports de a, ß, y, $ sont complètement déterminés ; multiplions donc les équations dont il s'agit respectivement par x, y^ i et ajoutons; il viendra identiquement

aG -f-.3H-f-7K-4- JL = o,

ou, si nous écrivons G au lieu de a G, H au lieu de ßH, K au lieu de yK, L au lieu de 5L, ce qui ne modifie en rien le sens géométrique de ces expressions,

G-rHH-K-f-L = o.

La même chose a lieu pour quatre fonctions linéaires de u, v '. P = o, Q = o, R=:o, S=o;

par conséquent, entre quatre droites ou entre quatre points existe toujours une identité, c'est-à-dire une équation — x qui est satisfaite par les coordonnées de tous les points ou de toutes les droites ; nous pouvons, si les quatre droites n'appartiennent pas au même faisceau, si les quatre points n'appartiennent pas à la même série, lui donner la forme :

G-HH-4-K-i-L = o, I P-i-Q + R-f-S = o,

(quadrilatère complet). ! (quadrangle complet).

Les trois faux côtés sont alors ' Les trois faux sommets sont alors donnés par donnés par

G-t-H=— fRH-L) = o, '' P-4-Q= — (Rh-S:=o, G-hKi-— 'H-hL) = o, P-t-R=— (Q-hS) =0,

car le premier d'entre eux, par { car le premier d'entre eux, par exemple, passe, à cause de ses deux j exemple, est situé, à cause de ses formes d'équation, à la fois par l'in- deux formes d'équation, à la fois sur tersection de G = o, H = o, et par ; la ligne de jonction de P =r o, Q =: o, celle de K = o, L =: o. j et sur celle de R = o, S = o.

Le rayon quatrième harmonique j Le point quatrième harmonique à àG = o, H = oetG-+-H = o est, j P = o, Q==o etP-f-Q = o est, par conséquent, ! par conséquent,

G-H=(G4-K)-(H-+-K)=o, P Q = (P-+-R)(Q-hR)=.o,

c'est-à-dire que le rayon quatrième [ c'est-à-dire que le point quatrième

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harmonique à deux côtés et au faux côté qui passe par leur point d'intersection passe par le point de rencontre des deux autres faux côtés.

Ou bien :

Dans un quadrilatère complet fleux points d'intersection des faux côtés sont situés harmoniquement par rapport à deux sommets du quadrilatère, c. Q. F. D,