CHAPITRE I

harmonique à deux sommets et au faux sommet qui se trouve sur leur ligne de jonction est situé sur la ligne de jonction des deux autres faux sommets.

Ou bien :

Dans un quadrangle complet^ les lignes qui joignent deux faux sommets sont divisées harmoniquement par deux côtés du quadrangle,

De là résulte pour ainsi dire d'elle-même la construction d'un élément harmonique à trois autres donnés. Soient, en effet, sur une droite trois points i, 2, 3, et supposons qu'on demande de construire un point 4 situé harmoniquement par rapport aux trois premiers et devant former avec 2 le couple conjugué au couple 1,3; oh mènera par i et 3 deux droites quelconques, on joindra leui" point d'intersection avec 2, et l'on tracera par i et 3 deux autres droites se coupant sur cette ligne de jonction. Ces nouvelles droites rencontreront les lignes primitivement tracées en deux points, et la ligne joignant ces derniers déterminera sur la droite donnée le point 4 cherché. L'exactitude de la construction résulte immédiatement de la propriété fondamentale du quadrilatère complet formé ici des quatre rayons menés par 1 et 3. On trouve de même le rayon quatrième harmonique à trois autres donnés; il suffit pour cela de couper ces derniers par une quatrième droite, et de chercher de la manière indiquée le point quatrième harmonique aux intersections ainsi déterminées, ce à quoi on peut de suite employer les rayons eux-mêmes.

Le principal intérêt qu'offre cette construction, c'est qu'elle permet d'arriver au but uniquement par le tracé de lignes droites et sans l'emploi du cercle.

Tout problème qui n'a qu'une solution doit pouvoir se résoudre de cette manière, et ce n'est que quand on y a réussi qu'il doit être considéré comme complètement résolu. Tout emploi de moyens auxiliaires autres que la jonction des points et l'intersection des droites doit être évité, de même que tout usage de grandeurs de segments et d'angles, lorsqu'il s'agit uniquement

GOXSIDEKATIOXS PRÉLIIIINAUIES. — SÉ«ICS DE POIXTS ET FAISCEACX DE lATOXS. 7'>

de relations de situation. Ces procédés introduisent dans la solution des éléments qui ne correspondent pas à la nature du problème.