VII. ~ Nature du système de coordonnées
Le système de coordonnées cartésien est un instrument arbitrairement choisi pour l'étude des problèmes; le choix de ce système, c'est-à-dire la position des axes de coordonnées, est en lui-même indifférent et les propriétés géométriques des figures étudiées doivent subsister indépendamment de sa fixation. En fait, nous avons trouvé dans les notations abrégées un moyen d'effectuer nos recherches sans égard à la situation du système de coordonnées. Néanmoins, il arrivera souvent dans la suite que l'examen des questions se trouvera extrêmement facilité par le choix judicieux de ce dernier, et alors se pose le problème de rechercher comment on peut passer d'une position du système à une autre, comment les équations posées se modifient par l'introduction de nouveaux axes : nous serons ainsi conduits à l'algorithme que l'on appelle transformation des coordonnées. En même temps nous donnerons de notre système une importante généralisation dont nous ferons presque exclusivement usage par la suite.
Déplaçons d'abord les axes parallèlement à eux-mêmes, et désignons par x', y' les coordonnées d'un point [x,j) relativement aux nouveaux axes; l'introduction de ces nouvelles variables se fera immédiatement au moven des équations
ou, en résolvant,
jc' =: X — a,
a, b sont ici les coordonnées de la nouvelle origine relativement à l'ancien système.
Si l'on fait, au contraire, tourner les axes autour de l'origine, et qu'on désigne par a l'angle du nouvel axe X avec l'ancien , on aura (y?-. 17)
X z=L x' cosa. — j'sina, J- = ar* an a H- ^ CCS a,
OU, en résolvant,
jTCOSa jrsina
■ jsin«,
■ jrcos«.
Enfin, si l'on réunit ensemble les deux mouvements, la combinaison des équations (i) et (2) donnera .
ou inversement
l x=: a -+- .r cosa — y sm«, I y z=z b -h x' sin a. -\- y cosa,
a;'= (.r — a]cosa. -\- [jr — Ä]sin«, y=^ — ( X — « ) sin « -r [x — ^ ) cos K.
Ces équations ont en commun leur caractère linéaire, et c'est là un point essentiel pour nous ; les anciennes coordonnées s'expriment/me«i/emen£ et sans dénominateur au moyen des nouvelles, et il en est de même de celles-ci par rapport aux anciennes. Le prin-
Fig. 17.
cipe de dualité exigerait un caractère semblable pour les équations de transformation des coordonnées-lignes. Cependant, en fait, celles-ci apparaissent d'abord sous une forme différente, et, cette circonstance devant nous faire regarder le système cartésien comme insuffisant relativement à nos conditions, nous le remplacerons par un système plus général.
Si l'on continue à appeler coordonnées-lignes les coefficients de jr, y dans l'expression
«.r-i- vj- -\- I,
cl que celle-ci, transformée au moyen des équations (1), (2) ou (3), «levicnne
COMSIDiR&TIOXS PRÉUMISAIRES. — SÉBISS DB rOUITS ET PAISCBACX DE RATONS.
les grandeurs
seront les nouvelles coordonnées. Si nous faisons d'abord usage des équations (i), il vient
iix -+- y y -f- 1 = ux ■+• vy' + («a -f- if -f- i ) ;
donc les équations de transformation pour une translation parallèle du système seront
an -{- bv -\- i
au -\- bi' -^ i
La substitution inverse donne
u' x' -+- »V + I = u'x + (•' r -f- '— au' — bv -m).
d'où
ou
— au' — bv -i- I
— au — w + I
Pour une rotation des axes de coordonnées [équation (a)], nous obtenons
ux ■+• vy H- I =:: («cos« -\- »' sina)ar'4- ( — u sina -+- »»cosa] y'-H i, et par suite
( «'= tt cosa -f- c sina,
V = — « sm a -t- rcosa, OU, en résolvant,
u:=. u' cos a — «'' sin a,
i» = tt' sin a + t^ cos a.
La réunion des deux transformations donne enfin
« j: 4- pj -f- 1 = (« CCS a 4- p sin a) j'-j- ( — « sin a -j- f cosv)y' ■+- [au -\-bv-i-i), d'où
, ucosa -t- fSina u
au -t- 6i' H- I — u sina -+- vcosa au -i- bv -\- i '
OU, après résolution,
«' COS a — «' sin a
— (acosa -+- bs\au]u' -\- (asiiia — b cosa)i''-+- i
//' sin« 4- «''cos a
— (acosa -+- b sina)«' -+- (asin« — bcosa)v' -\- i
Les formules ainsi établies pour la transformation des coordonnées-lignes portent un autre caractère que celles trouvées pour les coordonnées-points; car dans le second membre des premières entre un dénominateur qui, égalé à zéro, donne l'équation de la nouvelle origine, tandis que pour les secondes il n'en est pas ainsi. Il n'y a donc pas correspondance entre ces formules et le principe de dualité qui exige une transformation symétrique pour les coordonnées-points et pour les coordonnées-lignes, et la raison en est que le système de coordonnées cartésien est un cas particularisé sans égard au principe de dualité d'un système plus général.
Le premier essai pour lui donner de l'extension a consisté dans l'introduction des coordonnées obliques, c'est-à-dire mesurées pa-
rallèlement à des axes qui se coupent sous un angle quelconque. On y arrive immédiatement {ßg- i8), en partant des coordonnées rectangulaires x, y, au moyen des équations
x=^ or'cosa -hjr'cosp, y ^=x' sin a -h- x' sin p ,
dans lesquelles ß — a est l'angle compris entre les nouveaux axes. Toutes les formules conservent néanmoins entièrement, après l'introduction de ces coordonnées, le même type qu'en coordonnées rectangulaires, et par suite nous n'avons rien gagné de nouveau au point de vue où nous nous sommes placé. La généralisation qui doit nous conduire au but consiste au contraire plutôt en ce qui suit. Fixons trois droites qui ne passent pas par le même point, et
C0!(8IDUATI0!(S HÉLIlflXAlKES. — SÉRIES DE POIÜTS ET FAISCEACX DE RATOXS. 7g
Imaginons qu'un point soit défini par ses distances pi, p^, p^ aux trois droites ainsi choisies. Ces trois éléments de détermination ne sont pas indépendants les uns des autres, puisque deux d'entre eux suffisent déjà pour fixer la position d'un point. Mais les trois grandeurs dont il s'agit sont équivalentes à deux seulement, si nous faisons usage, non des distances elles-mêmes, mais seulement de leurs rapports ; en fait, les trois droites de base seront alors employées symétriquement, et nous pourrons, si nous le voulons, déterminer sans ambiguïté les distances elles-mêmes. Cela n'est pourtant jamais nécessaire dans l'emploi des coordonnées de cette espèce; nous n'avons même pas besoin de prendre les dislances perpendiculaires, et nous pouvons au contraire les mesurer dans une direction quelconque à partir du point qu'il s'agit de déterminer, c'esl-à-dire multiplier les distances perpendiculaires par des constantes quelconques. Nous donnerons donc de ces coordonnées triangulaires la définition suivante :
Les coordonnées d'un point sont trois nombres ayant entre eux les mêmes rapports que les distances du point aux côtés d'un triangle, chaque distance étant multipliée par une constante arbitraire, mais fixe.
En désignant les trois coordonnées du point par Xi, Xi, Xj, nous aurons, d'après cette définition,
Zi, Zo? y-z sont les constantes d'abord arbitraires. Quant au facteur de proportionnalité p, il reste entièrement indéterminé : il signifie seulement que les valeurs absolues des trois coordonnées sont complètement indifférentes; nous pourrons, pour cette dernière raison, écrire aussi les équations sous la forme
jr, : jr, : j-j = /?, X, :pi zj : p^ /.j.
En particulier, les coordonnées des trois sommets du triangle de base sont respectivement données par
X, = 0, xj = 0, Xj =0, Xi = o, Xj = o, Xj = o,
8o TOMB I. — CHAPITRE I.
tandis que dans ces trois cas x^, x^, Xz respectivement ont des valeurs complètement indéterminées et assujetties seulement à n'être pas nulles. Les points situés sur l'un des trois côtés satisfont respectivement aux conditions
ce sont donc là les équations des trois cotés en coordonnées triangulaires.
Nous introduirons d'une manière tout à fait analogues les coordonnées-lignes homogènes, au moyen de la défînition suivante :
Les coordonnées d'une droite sont trois nombres qui sont entre eux dans le même rapport que les distances de cette droite aux sommets du triangle des coordonnées, chaque distance étant multipliée par une constante arbitraire, mais ßxe.
Les équations qui répondent à la définition des coordonnéeslignes sont, par conséquent, en désignant par «7, , q^, qs les distances dont il a été parlé, et par X,, X2, X3 les constantes arbitraires,
O-Wj = </,>,,
a étant le facteur arbitraire.de proportionnalité. Nous choisirons les grandeurs X de manière qu'elles soient dans une certaine dépendance des grandeurs x, ou, pour préciser, de manière que la réunion du point et de la droite soit exprimée par l'équation
Nous reconnaîtrons immédiatement la nature de cette dépendance, si nous cherchons la liaison des coordonnées triangulaires avec les coordonnées rectangulaires, la condition mentionnée devant alors se présenter sous la forme
ux -\- vj -4-1 = 0.
Soient, en coordonnées rectangulaires, les équations des trois
COSSIDÉHATIOXS PRÉUWTIAIRES. — SËUES DE POINTS ET FJÜSCBACX DE HATOM. 8l
côtés ou des trois sommets du trianîrle de base :
ifl, j- H- bif -4- c, = G, A, B, C étant ici les déterminants mineurs du déterminant
A, tt -h B| i» -+- C, = o, A, tt -h B, p -f- C, = o, A, « 4- Bj f 4- Cj = o ,
de telle sorte que, par exemple,
A, =:6jC3 — c, *3, B, =Cja3 — öjCj, Cl ^ a» ^3 — ^j «j,
et les quantités a, ^, c étant au contraire complètement arbitraires; seulement, le cas de ; ==: o ne peut pas se présenter, parce qu'alors les trois droites passeraient par un même point, ce que nous avons exclu. D'après des explications précédentes, les équations (i) donnent, pour les distances d'un point x, j aux trois côtés, ou pour celles d'une droite m, v aux trois sommets, les expressions que voici (p. 3i) :
Pi
Pz
btr -^ Ci
slài
^bi
fî
hr + c.
Qi =
qt =
«-f-Bi
tt-4-B,
r-t-Cj
<'-+-Cs
Nous devons maintenant multiplier les quantités p par des constantes quelconques /., , /.o, y-z pour obtenir les coordonnées triangulaires du point dont il s'agit. Mais nous pouvons, sans faire d'hypothèse spéciale, poser
*i = V'«« -+-^f. X, = ^05 + 65, Z3 = >Jai -t- b'I ;
car une modification des constantes rt|, ^1, c, consistant dans la multiplication par un facteur commun resterait sans influence sur le sens des équations (i). Afin d'obtenir les coordonnées d'une droite sous une forme simple, posons aussi
Clebscb. — Géométrie, I. O
ce qui satisfait à la condition exigée plus haut de la dépendance des X par rapport aux z, et faisons entrer le dénominateur commun \Ju^ -h v^ dans le facteur de proportionnalité a. De là résulte
ff«, ■= Al u -hBi^ -4- C,,
<TW3 — A3 « 4- B3 f -I- C3.
pxi == fl!,a: -f- ùiy 4- Cl, px, =: 0, X 4- ^3 j -+- Cj,
ISJTj = fl-jX -h ^»3 J -1- C3 ;
Aussi bien pour le point que pour la droite, on peut donc passer des coordonnées rectangulaires aux coordonnées triangulaires, en posant que ces dernières sont proportionnelles à des expressions formées linéairement par rapport aux premières awec des coefficients arbitraires dont le déterminant est assujetti seulement à ne pas être nul. Pour passer à l'inverse des coordonnées triangulaires aux coordonnées rectangulaires, nous avons à résoudre les équations (2) par rapporta x, j, i et par rapport à u, u, i. On trouve ainsi
r Ai^i -i- AjXj -4- A
Bi Xi 4- Bj .Tj, 4- B3 -Ta (jj Xj 4- C2 Xj 4- V.3 X3
rt,«, 4- «î«, 4- «3 «3
Cl Ui 4- Cj ttj 4- €3 «3
Cl«, 4- c,«î 4- Cj«,
Dans ces formules n'existe aucune trace d'atteinte au principe de dualité; pour le point comme pour la droite, les coordonnées rectangulaires sont égales en coordonnées triangulaires à des expressions linéaires à dénominateur commun. Maintenant des équations (2) résulte
(ä(r(«iXi 4- «î .»Tj 4- «3 X3 ) z=l[aiX-hbijr-{-Ci) (A,u 4- B/v 4- C/),
la somme devant être prise depuis la valeur i de l'indice i jusqu'à la valeur 3, ou à cause des neuf équations
lbiAi = o, 1 bi B, = r, 1 bi C, = o, 2 Ci A/ = o, 2 Ci B, := 0, 2 Ci Ci =■ r,
p<r(wiXi 4- /ij x, 4- tf 3 jTj ) = r(«x4-»'j 4- l).
La condition pour qu'il y ait réunion de situation du point et de la droite est donc en fait exprimée par
(4) «, Xj 4-«,Xj 4- «j-Tj =0,
C0!($ID&BATI0X8 PKEUMIXAIRES. — SÉKICS DB POIÜTS ET FilSCBACX DB BATOÜS.
et c'est là une conséquence de la détermination que nous avons faite plus haut des constantes X|, Xj^ X3; si nous les avions choisies autrement, il existerait en outre dans la dernière équation des coefficients; donc, tandis que par la variation des valeurs absolues de a, b, c les grandeurs Z|, Xj, X3 peuvent être déterminées d'une façon tout à fait arbitraire, la valeur des quantités X se trouve complètement fixée, cette détermination une fois faite, car nous avons posé
I )., r= rt, Ä, — Äj fl, = C„
(5) < >, -- /r, 6, — A3 a, = Ci,
' Xj = a, 6j — by a, r= Cj.
Pour comprendre le système rectangulaire comme cas particulier du système plus général introduit ici, supposons, ce qui est toujours permis et peut être obtenu par une transformation simple, que deux des côtés du triangle de base soient rectangulaires. Soient maintenant x, y les dislances respectives d'un point
Fig- '9-
à ces deux côtés (x, = o), [x^ = o), et p sa distance au troisième côté [ßg- 19); nous avons
ou, SI nous posons
t/ désignant la distance du côté j:'3 = o au point X| = o, Xa = o.
px, = X, px, =jr,
Supposons maintenant que le troisième côté aille en s'éloignant
jusqu'à l'infini tout en restant parallèle à lui-même, — converge
vers l'unité, car p ne diffère de q croissant sans limite que d'une grandeur finie, tant que le point considéré n'est pas lui-même situé à l'infini. On a par suite
c'est-à-dire que l'on déduit les équations en coordonnées rectangulaires de celles en coordonnées triangulaires, en prenant l'une de ces dernières coordonnées égale à l'unité et en remplaçant les deux autres parxetjy^, ainsi qu'il résulte au surplus des équations (2) si l'on y fait «i = èo r= c^, et qu'on annule les autres coefficients.
L'expression
se transforme alors, à un facteur près, en
c'est-à-dire que, si nous supposons aussi M3 = 1 ( et cela est en général permis lorsqu'il ne s'agit que de simples rapports numériques), U(, Mo deviennent les coordonnées lignes rectangulaires. Cette dernière proposition peut aussi être démontrée géométriquement ainsi qu'il suit. Disposons des coefficients de la manière indiquée, et nous aurons, à cause de (5),
>,i : ),. : >3 = — I : — I : oc , d'où
«1 : f/, : «3 = — — : ; qo .
Désignant ensuite parpi, p^ les distances des points de rencontre de la droite considérée avec les côtés rectangulaires Xi = o, j?3 = o aux sommets U| = o, u^ = o du triangle de base; par a, b les distances de ces points au sommet ^^3 =0, on aura
Si maintenant le troisième côté 0*3 =0 passe de nouveau à l'infini, on pourra supposer à la limite
Pi =/>» = »>
Pi
COXSIDÉB&TIOÏIS FtÉUHIXAIRES. — SÉSIES DE POINTS ET FAISCEACX DF. RATOMS. 85
et de là résulte, comme dans les coordonnées rectangulaires,
Donc, par un choix particulier des constantes arbitraires, nous pouvons passer d'une manière simple des coordonnées triangulaires aux coordonnées rectangulaires ( ' ). La nature de cette détermination fait voir maintenant pourquoi les distances inverses négatives ont été prises comme coordonnées d'une droite, car c'est seulement ainsi que l'équation (4), si l'on y pose
X, = .r, ui = u, xj=r, «, = «',
se transforme immédiatement en
Le passage inverse se ferait au moyen des équations (3). Comme les x,y et les u, v deviennent alors des fonctions linéaires homogènes ayant un dénominateur commun, le degré d'une équation relativement aux variables n'est jamais élevé ni jamais abaissé par l'introduction de nouvelles coordonnées, mais le caractère de l'équation est modifié d'une manière essentielle ; car, si on la multiplie par une puissance convenable du dénominateur commun, elle se transforme en une équation homogène entre trois variables (-). Les équations à trois variables peuvent avoir un sens géométrique effectif, à la condition d'être homogènes, parce qu'alors les rapports des quantités x sont seuls nécessaires à déterminer.
En particulier, l'équation linéaire homogène
mi X, -r- /Wj .Tj -f- tn^ Xj =:: o
(') On peut passer aussi d'une manière simple des coordonnées triangulaires aux coordonnées obliques dont nous avons dit quelques mots plus haut. 11 faut alors poser
A, = ^, = sin tv, Â,=z -f
tv étant l'angle compris entre les axes.
(') Les coordonnées homogènes se trouvent pour la première fois dans Môbics, ftarycentriscÀer Calcul, 1837; mais leur importance fondamentale en Géométrie date de Plccker, Journal de C relie, t. V, 1819, qui a développé leur application dans le sens de la théorie des fonctions homogènes.
86 TOME I. — CHAPJIBE I.
est l'équalion d'une droite ayant pour coordonnées //?, , Wo, /n, ; et
/W, H, -f Wj «2 -f- W3 «3 := 0,
celle d'un point ayant pour coordonnées m^, ///a, w^s, et l'équation de toute droite ou de tout point est de la même forme.
Parmi les équations du premier degré, on doit particulièrement remarquer la suivante :
Cj J"i -f- Cj Xg -H Ci3 JTj nrz o,
dont le premier membre forme le dénominateur commun des formules (3*) qui servent à passer aux coordonnées cartésiennes.
Pour tous les points de la droite qui a cette équation et seulement pour ceux-là, on a j* ^^ 00 , ^r^: 00 ; elle renferme donc tous les points du plan qui sont à distance infinie.
Comme l'ensemble de ces points est représenté par une équation linéaire, nous parlerons constamment dans ce qui suit d'une droite à distance infinie (* ) (droite de l'infini) ; par là nous exprimerons le fait analytique dont nous parlons, mais nullement une conception métaphysique.
L'introduction de cette dénomination nous permet de démontrer et d'énoncer plus simplement un grand nombre de théorèmes, en opérant sur la droite de l'infini comme sur une droite qu'on aurait réellement sous les yeux. De là, par exemple, résulte le théorème sur lequel nous avons déjà attiré l'attention, qu'une ligne droite n'a qu'un seul point à l'inßni (p. 4^), car une droite n'est coupée par une autre droite qu'en un seul point. De même, nous parlerons de deux points à l'infini d'une courbe du deuxième ordre et en général de Ji points à l'infini d'une courbe du «'*'"•' ordre.
Nous avons vu que les formules de transformation obtenues plus haut étaient toutes linéaires par rapport aux anciennes et aux nouvelles variables, et que c'était là pour elles une propriété caractéristique. Maintenant, comme déjà le passage du système rectangulaire de coordonnées au système triangulaire conduit à des fonctions linéaires quelconques, nous ne pouvons rien obtenir de plus général, en rapportant dans les expressions (2) les coordon-
(') Cette manière de s'exprimer si féconde a été introduite par Po:(celet, Traité des propriétés projectives des figures, Paris, 1822, p. 49 c* 53.
CONSIDälATlOllS PRÉLIlli:«AIKE8. — SÉRIES DE I>OI!«TS ET FAIMXACX 9C MATONS. 87
nées rectangulaires, au moyen d'équations de la forme (3), à un second système triangulaire, et en effectuant ainsi le passage d'un système triangulaire à un système triangulaire différent. Soient donc X,, x-i, Xii M,, Uiy 1/3 les coordonnées points et les coordonnées lignes dans l'un des systèmes, ytyjiyj'a', ^i, ^2, ^3 celles de l'autre système : les premières seront proportionnelles à des fonctions linéaires homogènes des secondes, fonctions dont le déterminant, par analogie avec ce qui précède, ne doit pas être nul. D'ailleurs
«j Xi H- «j J*j -r- Mj JTj
doit se transformer, à un facteur près, en
Donc le système des équations de transformation est :
Pour les coordonnées points,
Pour les coordonnées lignes,
(TU, = «,, «', -h- ft., ('i -!- ff,, r.
(le déterminant des «/a étant assujetti à ne pas être nul). Ici les équations qui expriment les nouvelles coordonnées points [y) au moyen des anciennes (x) renferment les mêmes coefficients que les équations qui représentent les anciennes coordonnées lignes [u) au moyen des nouvelles (v) ; seulement transposés, c'est-à-dire que l'on forme le déterminant de l'équation écrite à droite avec celui de l'équation écrite à gauche, en échangeant les lignes horizontales avec les lignes verticales; les deux déterminants sont alors identiques. La résolution du système (6) donne :
Pour les coordonnées points,
( P-^i = A,, j,-i-A2,jj4-A3, Va,
(7) \ f*-=«^« = A,îjr,-hAj,jî-f-A3,j3, I /*-r3 = Ai3^i+Aj3j-j-hA33^'3;
Pour les coordonnées lignes, vcj = Al, «j + A,î u^ -H A,3 «3,
VVi = Aï, «, H- Aj, «j + Aî3 «3,
vi'3 = Aj, tf, -+■ A3Ï «i ^- A33 «3.
Les A/A sont les déterminants mineurs binaires du déterminant de la substitution
Au moyen de ces deux systèmes d'équations, on reconnaît immédiatement le sens géométrique des coefficients de la substitution. Comme, en effet,
Ji = o, fl =o,
Xi = o»
fj =o,
sont respectivement les équations des côtés et des sommets du nouveau triangle de base, on a respectivement pour les coordonnées
des nouveaux côtés
des nouveaux sommets :
Al, As, A3,
A12 Ajj A32
Al;j Aî3 A33
et l'on obtient de même par rapport au nouveau triangle les coordonnées
(les anciens côtés :
Aji A, 2 A, 3
Aj, Aj* "î:)
des anciens sommets :
