II

f'it «32

Le nouveau système de coordonnées qui vient d'être l'objet de nos recherches se montre spécialement approprié à l'étude des problèmes dans lesquels il n'est pas question de relations métriques, et qui, par conséquent, ont trait exclusivement à des rapports de situation. En conséquence, quand, ainsi que cela doit arriver dans la suite, nous aurons à reprendre brièvement en coordonnées triangulaires nos considérations précédentes sur les points et les rayons, nous nous bornerons à celles qui offrent une corrélation dualistique complète.

Nous avons trouvé comme condition pour la réunion de situation du point et de la droite

u, .V. -f- tt, ar.

c'est aussi la forme la plus générale de l'équation d'un point ou d'une droite, suivant que l'on y regarde les x ou les u comme constants; en coordonnées rectangulaires au contraire, nous avons

C0:«8IDÉR1TI0X8 nELlHIKAIRES.

dû, à côté de l'équation

SÉRIES DE POIRTS BT FAISCEACl DE KATOXf.

que donne la réunion de situation du point et de la droite, étudier encore les équations

Ax + B^ -+-C = o, A«-f- Bt'-i-C = o,

comme étant les plus générales qui puissent représenter une droite ou un point.

Nous traiterons encore les problèmes suivants :

Établir l'équation de la ligne qui

joint deux points donnésy y et z.

Soit X un {K)int de cette ligne ; nous avons

|«i a-, -4- «j .rj -f- tfj arj rrr O, tt, Zj -f- ÜJ Zj -f- «3 «3 r= o.

Établir l'équation du point d'intersection X de deux droites données V et «'.

Soit u \m rayon mené par ce point ; nous avons

«« X, -+- tf , X,

«'jor, -f- WjXj

L'élimination des u ou des x donne :

comme équation de la droite,

J7j JTj X3

(9) Xi y'i n =0;

Zi Zj S3

Les coordonnées de la ligne qui joint deux points r, z sont, par suite,

comme équation du point,

«, u, ÜJ *'i «'» *'3

Les coordonnées du point de rencontre de deux droites sont, par suite,

IJLXi = Pj <r'3 — Wj f,, f*Xj=rl'3«', — a'3fi, X, =: f, H', — «', i',.

ftX3

On peut résoudre les équations (9) en les suivantes, qui représentent les coordonnées d'un point mobile sur la droite, ou d'un rayon mobile autour du point :

Série de points.

! pj^3 =73^-^23;

Faisceau de rayons

pu, = f, -4- ).«'i, p«j = f , -f- ^w,,