CHAPITRE I

Ici X est encore un paramètre. Multiplions les équations de la colonne de gauche par u,, u^, 113 respectivement, celles de la colonne de droite par Xt, x^, x^ respectivement, et ajoutons des deux côtés; nous obtiendrons ainsi l'équation

P-hXQ = o

d'un point mobile de la série.

G -+- ). H =: o d'un rayon mobile du faisceau.

P et Q sont linéaires par rapport aux u, G et H sont linéaires par rapport aux x, c'est-à-dire que l'on a

FI r-: fV^X^ H- Wj JTj -i- «'3 J?3.

Dans cette représentation, le paramètre X a une signification identique à celle qu'avaient X et ^ lorsque nous faisions usage des coordonnées rectangulaires; il donne encore effectivement, à un facteur constant près, le rapport des distances de l'élément mobile à deux cléments fixes. On s'en convainc facilement en combinant les équations (i i) et (3). On obtient ainsi ( * )

2QJ/ + X^C,z/

2«, «V -T- ).2ö/<iv

Ici les sotnmes qui doivent être prises depuis i =^ i jusqu'à /' = 3 ne renferment que des grandeurs constantes données; par conséquent, l'équation du point mobile {jc,j) ou du rayon mobile (a, i'), en coordonnées rectangulaires, est de la forme

c'est-à-dire comme précédemment linéaire en X, et notre affirmation est par là démontrée. De plus, pour X = o, nous obtenons encore le point j' ou le rayon r, et pour X = 00 le point z ou le rayon w. Toutes les considérations qui se rattachent à la signifi-

(•) Le fuit que nous employons d'abord dans ces équations les lettres /, ♦> comme coordonnées rectangulaires, et ensuite ces mômes lettres (affectées d'indices) comme coordonnées triangulaires, ne peut donner lieu it aucune méprise.

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cation géométrique du paramètre subsistent donc indépendamment du système de coordonnées employé ; en d'autres termes, tous les théorèmes sur les rapports anharmoniques et sur les relations projectiles conservent la même ejrpression analytique. Il en est ainsi en particulier des relations entre les séries et les faisceaux projectifs et de la génération des coniques par ces figures élémentaires. Nous allons maintenant aborder l'étude plus approfondie de ces dernières courbes.

ga TOME I. — CHAPITRE II.