I. — Intersections avec une droite. — Théorie des polaires

Nous nous proposons maintenant d'étudier les courbes du second ordre et de la seconde classe, en partant non plus de la manière géométrique de les engendrer qui nous a occupés plus haut, mais de l'équation homogène du second degré, la plus générale en jCf, Xi, X3. Nous trouverons ainsi qu'il n'existe aucune courbe du second ordre proprement dite en dehors de celles qui ont été mentionnées dans nos problèmes préliminaires, à savoir l'ellipse, l'hyperbole et la parabole. Mais on peut avoir lieu de considérer, ainsi que nous l'avons déjà observé par occasion, des courbes improprement dites qui prennent naissance lorsque l'équation du second degré se décompose en deux facteurs linéaires, ce qui conduit aux couples de droites ou aux couples de points.

Nous obtiendrons l'équation la plus générale du second degré

en ajoutant ensemble les carrés et les produits deux à deux des

variables

•Tj, X.j, .T-jf .TjJTj, X\X^, .rjXß,

après les avoir multipliés par des coefficients quelconques indépendants les uns des autres. Nous supposons que ces coeflîcients sont des grandeurs réelles, à moins que le contraire ne soit formellement exprimé. Nous leur affecterons à tous la même lettre, et nous distinguerons les coefficients des différents termes par l'addition d'indices correspondant aux variables dont chaque coefficient est facteur; nous ajouterons, en outre, le facteur 2 toutes les fois que dans un terme deux variables différentes sont mul-

LES COURBES DC SECOND ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. g3

tipliées l'une par l'autre. Nous écrirons, par suite, l'équation d'une courbe du deuxième ordre sous la forme

Les avantages que présente cette manière d'écrire deviendront évidents par eux-mêmes dans le cours de notre exposition. L'addition des facteurs numériques se recommande en particulier par la possibilité qu'elle donne de représenter plus brièvement l'expression (i) sous la forme symbolique

(rt,.r, -f-Oj-rj -f- «3X3)- = 0,

en convenant seulement de remplacer un produit tel que «/«a par le coefficient «/*(= a/si)f d'écrire par suite an au lieu de a^a^, a-a au lieu de ao «3, ....

Au début de cette théorie nous nous proposerons le problème suivant : Déterminer les points de rencontre de la conique (i) avec la droite qui joint deux points donnés j et z. Les coordonnées d'un point de cette dernière droite sont, d'après ce qui a été dit plus haut,

et nous avons à chercher la valeur du paramètre "k pour laquelle les coordonnées X\i x-x, x^ satisfont à l'équation (i), c'est-à-dire que nous devons poser

[(«iJi +«2j2 -i-«3j3) -{-^(ai^i -\- a^z^-'r- a^Zi]f — o,

ou, après développement,

(2) >.«RH-2ÀQ-f-P = o,

P, Q, R étant définis parles relations / P = («ij, + rtjj2 -^ a3:>-3)-,

^3] ' Q =(«lJl +«2j'2 -t-^sJs) («iSj +«S22 +«'3'3)

= Zt(«llJl -+-«12J2 + «18J3)

-^ 3j(«îlJl + «t2j2 -+- «2373)

+ H[^z\y\ -+-«3J.?'2 -HössJs)»

94 TOME I. — CUAPITBE II.

OU, si nous voulons nous servir des notations du Calcul différentiel, \ { dV dV rjP

I (dW. ^R dR \

P et R s'obtiennent donc en mettant dans le premier membre de l'équation ( i ) les coordonnées ^ ou ^ à la place des coordonnées x ; Q au contraire est composé symétriquement avec les j et les z el linéaire par rapport à ces deux, lettres. La résolution de l'équation du second degré (2) par rapport à X donne

. Qzps/Q»-PR

et, par conséquent, les coo/Y/o/znefî5 d'e5 deux points d'intersection sont, en faisant passer le dénominateur commun dans le facteur de proportionnalité p,

px, rrr Rj, - (Q =p v'Q* - PÎ^) Z, ,

px, z= Rjj - (Qq=vQ*-PR)-^»

par, ^ Rj3 - ( Q rn v^Q'- l'R; z, .

Nous avons ainsi sur la droite j'z quatre points, les points donnés dont les coordonnées sont x, elji, et les points de rencontre avec la conique qui viennent d'être trouvés, et dont les coordonnées peuvent être représentées par ji -h Xz/ elji -\- {xzi, 1 et [i étant les racines de l'équation (2). Ces points doivent avoir un rapport anharmonique déterminé. Pour l'obtenir, nous partagerons les quatre points en deux couples, conformément à la nature du problème; et nous aurons, pour le rapport anharmonique dont il s'agit, deux valeurs différentes seulement, savoir

a = - OU bien a = - • Maintenant, comme 1 el (i sont les racines de (2), on a

d'où

, >»-|-a« 4Q« — aPR