Q^— 2PR

PR

ou

(4) (a-r-l)»PR — 4Qäa = 0,

et la résolution de cette équation donne immédiatement le rapport anharmonique des quatre points. Maintenant, comment doivent être situés ces derniers pour que l'équation ait des propriétés spéciales, pour que, par suite, le rapport anharmonique reçoive des valeurs particulières? Nous pouvons choisir arbitrairement l'un des points donnés, y par exemple ; traçons par ce point tous les rayons possibles, et cherchons les points z qui forment avecj- et les deux points d'intersection de chaque rayon avec la courbe un rapport anharmonique donné a. 'è\ j est constant, l'équation (4) est homogène et du second degré en z \ le point z est donc situé sur une courbe du deuxième ordre; par suite, si l'on fait varier a, à tout point du plan correspondra, par l'intermédiaire de la conique donnée, un système de courbes du deuxième ordre. Parmi elles, il en est une qui se décompose en une droite comptée deux Jois ; cette droite sera pour nous d'une importance toute particulière. Nous nous en occuperons d'abord exclusivement, et ce n'est que plus tard que nous apprendrons à connaître les relations des autres coniques trouvées ici avec la courbe primitive.

Si l'on pose

l'équation (4) se réduit eflfectivement à Q2 = o, c'est-à-dire à la

ligne

Si donc la droite jz doit couper harmoniquement la courbe, z sera nécessairement situé sur la ligne Q = o, qui sera appelée la polaire du point y relativement à la conique, et réciproquement j sera le pôle de la droite Q = o. Nous énoncerons cette relation importante sous forme de théorème, ainsi qu'il suit :

»Si par un point y on mène tous les rayons possibles, et qu'on cherche sur chacun le point quatrième harmonique à y et aux

gÔ TOME I. — CUAPITBE II.

deux intersections de ce rayon avec une conique, tous ces points sont situés sur une droite appelée la polaire du pôle j.

Parmi ces rayons, il y en a qui ne rencontrent pas la courbe ou plutôt qui la rencontrent en deux points imaginaires ; cela arrive lorsque les deux racines de l'équation (2) deviennent imaginaires. Le point quatrième harmonique reste néanmoins réel, car les racines précitées sont toujours imaginaires conjuguées, et les équations des quatre points ont, par suite, la forme déjà mentionnée plus haut (p. 53)

U=:o, U-Hv'— ÏV = 0;

La forme symétrique de l'équation (3)

est d'une importance particulière. Comme cette équation ne varie pas, si l'on y échange j>^ et z, il en résulte immédiatement que :

Sir est sur la polaire de z, la polaire dey passe par z ; donc :

Si z se meut sur la polaire de y, la polaire de z pivote autour dey, et réciproquement

Si une droite tourne autour d'un de ses points, son pôle se meut sur la polaire de ce point.

La polaire coupe la conique en deux points. Si l'on mène une droite joignant un d'entre eux avec le pôle, il doit y avoir sur cette droite un groupe de quatre points harmoniques (i, 2 et 3, 4 étant les couples conjugués), parmi lesquels les deux points 2 et 3 se confondent. Alors aussi (p. 01) 4 coïncide avec eux, c'est-à-dire que les intersections (3, 4) de la droite avec la courbe coïncident, et il s'ensuit que :

La polaire d'un point passe par les points de contact des tangentes menées à la courbe par ce point (que ces tangentes soient toujours au nombre de deux, c'est ce que nous avons vu plus haut, puisque toute courbe générale du deuxième ordre est aussi de la deuxième classe).

Si donc un point se meut sur une tangente, sa polaire passe lou-