LES COCKBES DO SECOND OIDRE ET DE LA SECONDE CLASSE

Jours par le point de coptact; par conséquent, le point de contact est le pôle de la tangente, autrement dit, la polaire d'un point de la courbe est la tangente menée à la courbe en ce point.

Les théorème» énoncés ici conduisent aussi immédiatement à la construction de la polaire, si la conique est supposée tracée et qu'on donne un point extérieur comme pôle. Il suffit de mener par ce dernier deux droites quelconques sur chacune desquelles on construira la quatrième harmonique au point donné et aux points où elle rencontre la courbe, ce qui se fait à l'aide des théorèmes sur le quadrangle complet. Si l'on considère les points d'intersection des deux droites auxiliaires avec la courbe (points i, 2, 3, 4 dans la//^. 20) comme sommets du quadrangle, l'un des faux

Fig. 20.

sommets est le pôle donné j', et la droite qui joint les deux autres faux sommets est sa polaire \>. Cette construction fournit aussi en même temps, d'après ce qui précède, les points de contact des deux tangentes qui passent par le point donné, et, par suite, ces tangentes elles-mêmes.

En particulier, nous avons le moyen de trouver ainsi les tangentes qui peuvent être menées à un cercle par un point donné, et cette construction mérite à notre point de vue la préférence sur la construction connue, qui s'effectue avec le secours d'un autre cercle ; car nous n'avons besoin de tracer que six lignes auxiliaires pour résoudre le problème de la manière la plus générale; cette construction est donc pratiquement aussi simple que l'autre. Dans le cercle, en outre, la polaire d'un point comme ligne joignant les

Clebscu. — Géométrie, I. 7

gS TOME I. — CHAPITRE II.

points de contact des deux tangentes est tpujours perpendiculaire à la ligne qui joint le centre avec le pôle. Si le point est à Tintérieur du cercle, les deux tangentes deviennent imaginaires ; la polaire est donc située entièrement en dehors du cercle, c'est-à-dire ne le rencontre pas en des points réels. Le plan est de même partagé par toute courbe réelle du second ordre en deux parties : dans l'une sont situés les points par lesquels passent des tangentes réelles de la courbe, dans l'autre ceux par lesquels passent des tangentes imaginaires. Les points de la courbe forment le passage entre les deux parties du plan, car pour eux les deux tangentes se confondent en une seule.

Si la conique n'est pas entièrement tracée, mais déterminée seulement par cinq de ses points, on peut néanmoins obtenir encore par construction la polaire d'un point quelconque. Ce problème revient, en effet, au suivant : Trouver le second point d'intersection avec la conique d'une droite passant par l'un des cinq points donnés, dont nous avons déjà précédemment effectué la résolution à l'aide du théorème de Pascal. Nous n'avons à exécuter la construction dont il s'agit que pour deux des lignes qui passent par le pôle et par chacun des points donnés, et nous pourrons comme ci-dessus trouver alors la polaire au moyen des théorèmes sur le quadrangle complet.

Dans toutes ces constructions, on suppose que toute droite du plan est la polaire d'un point. Pour le démontrer, écrivons l'équation de la polaire d'un point 7 (Q = o) sous la forme

•'i -Sj -H ''2 ^2 -\~ ('3 3j n^ 05

^\j ^'2> t'3> coordonnées de cette polaire, sont, à cause de (3), données par

!»•'! =«iirj -H «ur» + ûisJs»

(Tf, = a„ j, -h Ä„7, -h fl„ js ♦

On pourra donc, en résolvant ces équations par rapport à Vi, 72>J>'3> déterminer pour toute droite f un pôle j)' tant que leur déterminant n'est pas nul.

Provisoirement, nous n'aurons pas égard à ce cas, que nous de-

«Il

«lî

"lï

«îj

«ji

LES C00RBE8 DV 8CC0!n> OUtE ET DE LA SCCOMDE CLASSE. 99

vons traiter plus tard, et nous supposerons constamment

Ar=

Ce déterminant de la conique a une importance exceptionnelle ; il est symétrique, c'est-à-dire que les éléments situés symétriquement par rapport à la diagonale sont respectivement égaux et que leurs déterminants mineurs se trouvent être ainsi

An = rt.s «33 — «23 ' Aij = A3, = a,j «,3 — a^^ «„ ,

A« =«33 «11 —«3 1 » A3, = A,3 =rtj,flj3 —«2,0,3,

A33 ^= «11 «sî «12' A,î = A„ 1=: «3, «3, «33 a,, . La résolution des équations (5) donne maintenant, si l'on rem-

place - par p,

/ pj, = A„ f, -H Aj, Vi + A3, P3, (6) I p/» — AuP, -h Ajjt--s-l- A3,r3,

' P J3 = A,î vi + Aî3 i'î H- A33 »'3 ,

ce qui détermine le pôle y d'une droite v. Pour construire également ce point, nous n'avons qu'à chercher de la manière précédente les polaires de deux points de la droite donnée; le pôle de cette dernière est déterminé comme point d'intersection des deux polaires suivant les théorèmes précédemment énoncés. Les équations (6) peuvent nous servir à représenter la conique donnée, comme courbe de seconde classe, c'est-à-dire par une équation en coordonnées lignes. Nous avons vu plus haut qu'un point de la courbe est situé sur sa propre polaire, et que celle-ci devient alors une tangente; les équations (5) nous montrent maintenant que cela ne peut avoir lieu que pour les points de la courbe; car, si l'on ajoute ces équations après les avoir multipliées respectivement par j-,, ji, j'z, on obtient

, A «^(*'iri-+-i'jji-i-r3j3)

I = «11 J7 -^ «îî/a -^- «33 J3 -^ 20-,, J, J, -h 2a,j Ji J3 -\- 2«i,rt Jj-

Si donc on a

»'iJi -H«'îJ2-H«'3j3 = o.

on aura aussi

«lir? H- ««Ja -1- «33 J? -H 2«,, JiJ, + 2«,3jr, J3 -h 20-437*73 = O,

c'esl-à-dire que le pointj^ appartient à la conique.

En formant également, au moyen de l'équation (6), la condition de réunion du pôle et de la polaire, nous obtiendrons une équation entre les coordonnées de cette dernière, et, comme la polaire devient une tangente si la condition est satisfaite, cette équation est l'équation de la courbe du second ordre en coordonnées lignes, à savoir

A,,r7 -f- Aîî«'H -h A33VI -\- 2Ai,<', «'2 H- 2Aj3t', ('3 -+- iAi3Pii'3 = o, ou, si l'on remplace la lettre \^ par la lettre u, ce qui est indifférent,

Al, «? -4- Aîî«)i -+- A33 «5 -\- 2A,2«i "s -+- 2A13 "i «3 -+- 2Aj3«jtt3 = o.

On obtient, par conséquent, l'équation de la conique en coordonnées lignes, en échangeant dans son équation en coordonnées points les xi avec les ui et les coefficients avec les déterminants mineurs du déterminant de la conique.

Nous pouvons représenter cette équation d'une manière plus concise, en égalant à zéro le déterminant (*) de la conique, encadré avec les «/ :

forme d'équation que l'on peut obtenir directement, si l'on considère les équations (3) réunies à l'équation (7) comme un système de quatre équations linéaires homogènes entre les grandeurs a, j^i , Jitjii et qu'on en élimine ces dernières grandeurs.

L'application du théorème aux formes simples d'équations que nous connaissons pour l'ellipse et pour l'hyperbole,

ar« y*

('} Los déterminants eocadrés, qui sont très-importants pour la réalisation symétrique d'un grand nombre de calculs, ont été introduite dans la Géométrie analytique par Hesse.

D£P ARTMEKT OT M ' TMrMATIC^ ^.^àJNlYERSITY OF TORONTO

donne

LES COCMES DC 8EC0!«D OBDBE ET DE LA 8EC0!n>B CLASSE.

d'où

Ai; = Ai3 = A23 = o,

îAî'

par conséquent, après multiplication par a- h-, l'équation de l'ellipse en coordonnées lignes sera

et celle de Yhjperhole sera de même

rt*a- — /y-«'- — I 1;^ O.

D'un autre côté, pour la parabole

J- ip-T. = o,

iJ Vient

cl ou

Au = A33 = A12 = A23 = o, Aj, = —/)-, Aj;, =/);

et l'équation de la parabole en coordonnées lignes est, par suite,

pv- — 2M = o.

II. — Les coniques et la droite de l'infini. Triangles polaires.

Voyons maintenant à quelles questions donnent lieu les recherches que nous venons d'effectuer, si, à la place d'une droite quelconque du plan, nous considérons la droite de l'infini dans ses relations avec une conique (p. 86). En même temps que nous étendrons ainsi le champ de nos études précédentes, nous aurons occasion d'aborder en passant certaines relations plus générales

indépendantes de cette droite exceptionnelle et qui sont d'une importance fondamentale.

Il y a en premier lieu, pour les courbes du deuxième ordre dans lesquelles A est ^o, une classification qui se présente d'elle-même : c'est celle qui consiste à les distinguer suivant qu'elles sont coupées par la droite de l'infini en deux points réels, en deux points imaginaires ou en deux points coïncidents. D'autres cas ne sont pas possibles, et dans ceux que nous venons d'énumérer nous allons reconnaître précisément les types fondamentaux auxquels nous ont amenés nos problèmes préliminaires. A ce point de vue, nous désignons :

Sous le nom à^ ellipse une courbe qui est coupée parla droite de l'infini en deux points imaginaires ;

Sous le nom àliyperbole une courbe qui est coupée parla droite de l'infini en deux points réels ;

Sous le nom de parabole une courbe qui est touchée par la droite de l'infini.

La question de la situation du pôle de la droite de l'infini forme la base d'une autre classification. Traçons par ce pôle une droite quelconque; cette droite sera divisée harmoniquement par la droite de l'infini et par la conique : le pôle mentionné est donc situé au milieu des deux intersections de la droite avec la courbe, c'est-à-dire que le pôle de la droite de Vinßni divise par le milieu toutes les cordes qui passent par ce point. On l'appelle pour cette raison le centre des courbes du deuxième ordre; les cordes qui y passent sont appelées diamètres de la courbe. Si la droite de l'infini est tangente, le pôle est situé sur elle et est, par suite, à distance infinie. Nous distinguons suivant cette idée :

1° Les courbes à centre, ellipse et hyperbole.

a° Les courbes dépoun^ues de centre, parabole.

Nous nous bornerons d'abord dans ce qui suit aux courbes à centre. Pour obtenir ici d'autres relations entre les diamètres, considérons la droite de l'infini comme si elle était située à distance finie, et transportons ensuite le théorème ainsi obtenu. Soienty la droite dont il s'agit {fig. ai) et c son pôle relativement à la courbe. Si maintenant a désigne un point de y, le pôle b de la ligne ac se trouvera aussi sur y, et a sera le pôle de la ligne bc. Nous appellerons un triangle de cette espèce, dans lequel chaque

LES COinUES 00 SECOND ORDBE ET Dt LA SECONDE CLASSE. I03

sommet (a, ô, c) est le pôle du côté opposé (a, ß, y), un triangle polaire. Ce triangle renferme trois paramètres arbitraires; en effet, le choix du premier sommet dépend de la détermination de deux constantes (les coordonnées), et, celles-ci une fois fixées d'une manière quelconque, le deuxième côté peut encore être choisi à volonté sur la polaire du premier; il est donc déterminé par une troisième constante. Nous énoncerons la même chose plus brièvement en disant : Il existe un nombre triplement inßni de triangles polaires par rapport à une conique donnée. Si l'on veut obtenir

Flg. 21.

en fait un triangle polaire, il faut qu'aucun des sommets de ce triangle ne soit situé sur la courbe, et qu'aucun de ses côtés ne la touche. Maintenant de la définition du triangle polaire résulte immédiatement : Que les rayons menés par un sommet du triangle polaire sont divisés liarmoniquement par la conique et par le côté opposé; et comme théorème réciproque au point de vue dualislique : Que si d'un point situé sur l'un des côtés d'un triangle polaire on mène les deux tangentes à la conique, ces tangentes sont situées liarmoniquement par rapport au côté lui-même et à la ligne qui joint le point au sommet opposé. Parmi ces rayons figurent aussi chaque fois les côtés passant par l'un des sommets du triangle et les tangentes menées à la courbe par ce sommet. Deux côtés du triangle sont donc l'un par rapport à l'autre en relation réciproque :

I04 TOME I. — CDAPITRE II.

l'un («) divise harmoniquement les rayons menés par a, l'autre (ß) les rayons menés par b. On appelle deux droites de cette espèce, c'est-à-dire telles que le pôle de Vune se trouve sur l'autre, polaires conjuguées par rapport à la conique.

Prenons maintenant comme côté y d'un triangle polaire la droite de Tinfîni; les deux autres côtés passeront par le centre de la conique : ce sont des diamètres conjugués de cette courbe. On entend par là deux droites telles que le point à l'infini de l'une soit le pôle de l'autre. La division harmonique des cordes est alors remplacée par la division par moitié, l'ensemble des rayons issus de a par l'ensemble des droites parallèles à ß. Nous pouvons donc énoncer ainsi la proposition qui précède : Chacun des deux diamètres conjugués divise par le milieu les cordes parallèles à l'autre, et les tangentes à ses extrémités sont parallèles aux cordes qu'il divise.

Deux polaires conjuguées forment toujours un système harmonique avec les deux tangentes menées à la courbe par leur point d'intersection, caries points de contact de ces derniers sont situés harmoniquement par rapport aux pôles des deux polaires.

On peut, en utilisant cette observation, construire dans tout faisceau la polaire conjuguée d'une droite quelconque. Si, en particulier, le sommet du faisceau est le centre de la courbe, on a cette proposition :

Tous les couples de diamètres conjugués sont situés harmoniquement par rapport aux deux « asymptotes » de la courbe, c'est-àdire aux deux tangentes menées à celle-ci en ses points d' intersection avec la droite de l'infini.

Toute conique à centre possède deux asymptotes qui sont les lignes joignant le centre c aux deux points à l'inCni o et o' {ßg. 21, p. io3). Suivant que ces derniers sont réels ou imaginaires, les asymptotes le sont également; ce n'est donc que dans l'hyperbole que ces lignes peuvent être tracées d'une manière effective (p. 12). Ce n'est pas le cas pour l'ellipse; cependant les théorèmes énoncés continuent d'être vrais, parce que les opérations analytiques sont les mômes. Si, en particulier, nous faisons coïncider l'un des diamètres d'un couple avec une asymptote, d'après les lois de la division harmonique, le diamètre conjugué se

LES COCBBES DC SECOND OBDBE ET DE LÀ SECONDE CLASSE. loS

confondra avec cette même droite; par conséquent : Toute asymptote est un diamètre conjugué à lui-même. Si, au contraire, l'un des diamètres divise par le milieu l'angle compris entre les deux asymptotes, l'autre, comme quatrième harmonique, divise par le milieu l'angle supplémentaire ; en d'autres termes : Toute courbe du deuxième ordre a deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle droit, et que l'on appelle axes de la courbe.

Les développements dans lesquels nous venons d'entrermontrent clairement combien l'introduction de la droite de l'infini est avantageuse au point de vue des considérations géométriques, en tant qu'elle nous a permis de reconnaître dans certaines relations métriques des cas particuliers de relations plus générales. Les avantages de cette manière d'envisager les choses se présenteront aussi à nous dans l'étude analytique des mêmes questions. Pour utiliser les relations trouvées ici, revenons aux coordonnées rectangulaires, dans lesquelles la droite de l'infini s'offre avec un caractère trèsremarquable. Nous poserons donc

X, — .r, X, -rj, .r3:=zi; «j = «, lt^z=z V, «3 r= I ,

Les équations entre pôle et polaire deviennent alors

iP« = «11 ^ - «li J -r- rt,3, (TX = A,, // -^ Ajî V ~ Ai3, pi> =:ana: ~ a^j -i- a^j, cj — Aj, u - A^^ i> - A,^, > p. 1 = «31 j H- «31 j -- «33; C-. I — A31 K -i- A3Î c -f- Aoî ;

ici a,A = ß*ö et l'on suppose que le déterminant des ß/A n'est pas nul.

Les segments interceptés par la droite de l'infini sur les axes de coordonnées sont infiniment grands ; par suite, leurs valeurs inverses négatives s'évanouissent, c'est-à-dire que, pour la droite de l'ipifini, on a

A cause de (i), on en déduit, pour les coordonnées du pôle de lu droite de l'infini, c'est-à-dire du centre de la courbe.

«12«'3î — «SÎ013

ÛI1«Î2 — «?2

An

«'lï^IS — «11 «?•«

"n^îi — «7»

I06 TOME I. — CnAPITRE II.

Si A, s, A23, A33 étalent nuls ensemble, on aurait aussi A =0, ce que nous avons exclu. Le centre est donc toujours déterminé ; seulement, si l'on a

il s'éloigne à l'infini ; c'est la condition qui correspond à la parabole.

On obtient directement cette condition en cherchant la relation de la droite de l'infini avec la courbe; on trouve ainsi les caractères analytiques qui servent à distinguer l'ellipse, l'hyperbole et la parabole. Menons par l'origine une droite quelconque faisant un angle « avec l'axe X. Si cette droite coupe la courbe à une distance r de l'origine, on a, pour les coordonnées des points de rencontre,

a:^= rcosa, ^ r= rsina.

On obtiendra les deux valeurs correspondantes de /• en transformant au moyen de ces équations l'équation de la conique

a^^ ar- -f- a,j j* -(- «33-!- lay^xj 4- 20,3^:4- ia^^y=zo. Il vient ainsi

/•*(«,, cos' a -+- «jïSin'a -f- 2<7,, sin a cos k)

-I- arfrt-is cosa -f- «23 sin a) -f- <733 =: o.

Si à l'inverse on attribue à /• une valeur déterminée, on tire de la même équation l'angle correspondant « qui, d'ailleurs, peut être réel ou imaginaire. Dans les deux cas, la courbe a deux points infiniment éloignés, et nous obtiendrons les rayons passant par ces points, c'est-à-dire les asymptotes de la courbe, si nous posons r = 00 . Par là l'équation (4) devient

rt,i cos'a -1- 2«,, siaacosa 4- a», sin*a = <>; d'où

(5) tnpgcc — ~ ^'* ^ ^"«'' ~ """ """ --. ~ "" ~ ^~ ^"

Les deux asymptotes sont d'après cela réelles, imaginaires ou coïncidentes, suivant que Ass est négatif, positif ou nul. Nous avons donc les marques distinctives suivantes pour les coniques

IM» GOntBBS DO SECnND OBDBE ET DE LA SECOtfDE CLASSE. I07

que nous connaissons :

Aj3>'0 ellipse,

A3J = O parabole,

-^33 "^C o hyperbole.

On voit que la condition donnée ici pour la parabole est identique avec celle trouvée plus haut : on obtient encore enfin cette même condition si l'on part de l'équation de la conique en coordonnées lignes. Cette dernière équation est

Ail «'-4- Aij«^ -^ 2 Au UV -r- 2A,3 U -^ 2Aj3 V -\- A33 :t^ o.

Si la courbe doit être touchée par la droite de l'infini, l'équation

précédente sera satisfaite pour // = o et t^=:o, et nous obtenons

de nouveau la condition

L'équation (5) nous donne seulement la direction des asymptotes ; mais, comme elles passent d'ailleurs par le centre, elles sont ainsi complètement déterminées. Nous pouvons aussi, par suite, établir immédiatement leurs équations. Pour trouver les deux droites menées par l'origine dans la direction en question, il suffit d'annuler le terme le plus élevé de l'équation en coordonnées points, c'est-à-dire de faire

(6) fl!i,a:-4- artijxj-t-rt-äjj* = 0; car il en résulte

(7) - — =tang«,

et ce sont là les équations des deux lignes demandées. Celle détermination revient à rechercher les rapports des coordonnées de leurs points à l'infini. Rendons en effet, pour un instant, l'équation de la courbe de nouveau homogène en posant — > — à la place

de or, jr\ nous obtiendrons les points d'intersection de la conique avec la droite de l'infini en faisant X3 rm o, mais cela donne précisément l'équation (6). On obtient les asymptotes elles-mêmes en cherchant l'équation des droites parallèles aux droites (7) qui passent par le centre ;, n, problème que nous avons déjà résolu précédemment (p. 34). Elles sont immédiatement représentées

loS TOME I. — CBAPITBE II.

par l'équation (7) si le centre coïncide avec l'origine. C'est ce qui arrive dans les formes d'équations de coniques auxquelles nous ont conduits nos problèmes préliminaires, et que nous avons données alors comme appartenant à l'ellipse et à l'hyperbole, c'està-dire

yi

Ici l'on a pour 1

'ellipse

par conséquent

pour l'hyperbole

par conséquent

Donc les courbes qualifiées ellipse et h/yperbole, d'après leurs relations avec la droite de l'infini, comprennent toutes les courbes désignées auparavant sous ce nom (•). L'équation (6) qui représentait le produit des asymptotes se décompose ici immédiatement en deux facteurs linéaires. On obtient ainsi pour les asymptotes de l'ellipse

\a i,sl—\)\a l>\/—ij et pour celles de l'hyperbole

Pour la courbe appelée plus haut parabole,

jr* — 2/).r — o,

nous avons

Asn '-"^ O,

ainsi que cela doit être d'après notre nouvelle définition. Cette courbe n'a point de centre, et, par suite, pas d'asymptotes proprement dites. L'équation (6) ne nous donne que la direction

(') La >uite montrera quo les deux définitions sont également identiques.

LES COCRBES DU SECOND ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. lOQ

d'un point à l'infini comptée deux fois; elle devient en effet

Actuellement nous allons dans le cas général prendre le centre pour origine, et choisir deux diamètres conjugués pour axes des coordonnées. Nous pouvons par avance nous faire une idée de la forme d'équation ainsi obtenue pour la conique, si nous partons d'un triangle polaire placé d'une manière quelconque. (Nous avons défini un tel triangle par la propriété que chacun de ses côtés est la polaire du sommet opposé.)

Or si l'on pose dans l'équation générale

par exemple xs = o, la partie restante

an .^-^ -f- 2«ij .r, .r^ -^ «jj xl — o

donne le produifdes deux droites qui joignent les points d'intersection de la courbe et du côté Xz = o au sommet opposé. Cette équation se décomposera en deux facteurs linéaires de la forme

.ri — Ix^ = 0 et Xj — wjTg ■= o.

Si, déplus, le triangle de base est un triangle polaire, les lignes qui joignent le pôle aux intersections de la courbe et de la polaire seront des tangentes de la conique, et, par conséquent, seront situées harmoniquement par rapport aux côtés du triangle de base qui passent par leur point d'intersection. De là résulte

en sorte que le produit de l'équation des deux rayons est de la

forme

jc^ — P x^ ^^ o.

Si maintenant cette dernière équation doit être identique avec l'équation

le terme lat^XiX^ manque nécessairement dans l'équation de la conique, à cause du système de détermination employé pour les coordonnées. Les mêmes considérations sont encore vraies pour les deux autres sommets du triangle; les termes en XiXz et en

X2X3 doivent également disparaître : l'équation de la conique ne renjerme donc que des carrés. Elle devient ainsi

(8) a,,x; -+-a2fr2 +a38'^3 — o»

et elle peut être mise sous cette forme d'un nombre triplement inOni de manières, puisque le choix du triangle polaire dépend de trois paramètres arbitraires. Cette forme, d'ailleurs, doit rester la même si x^ — - o devient la droite de l'infini, et si, d'après ce qui précède, les deux autres côtés deviennent des diamètres conjugués. Nous avons alors seulement à poser

X^ := Xj Xj =:: JT, X^ =:. I ,

Pour effectuer réellement le passage de l'équation générale à celle que nous venons de mentionner, transportons d'abord l'origine au centre. Alors les axes X et Y seront divisés harmoniquement par la courbe et par la droite de l'infini, les termes en x^ x^ et Xi X3 ou en x elj disparaissent, et l'on n'a plus besoin ensuite que d'effectuer une rotation du système de coordonnées.

Posons donc, pour arriver au but,

relations dans lesquelles | = -^, /> = -— sont les coordonnées

du centre; il viendra, d'après les lois de la théorie des déterminants,

/ «u§ -^-aiJl3 +«18 =0, (q] ] «ïiÇ-'-^"'' + «î3 = o,

/« 5j^ ^.^ — ^81 Aai -f- g,! Ag, H- «33 Aj3 A

( «31 ? + a^\fi -+- «33 — \ = -7—;

on a donc

«81 X -f- rt„^ -f- <i„ = a,j x' -\- «3, y ' -f- - .

Multiplions les premiers membres de ces équations respectivement par x,^, I, les seconds membres par x'-+- $, j'-f-»J, i, et

LES COrRKES DC SECOMD ORDRE ET DE L.i SECONDE CLASSE. 1 1 1

ajoutons : nous obtiendrons, sous le bénéfice des équations (9), deux expressions différentes pour le premier membre de l'équation de la courbe qui devient, pour j:, =zXy x^ =^y, -1:3 = 1,

(10) o = 22a,itx,jr;i. = «,,j-'*-f-a„y*-4-2ai,.r'j'4--

Les termes en x' , y' ont disparu, tandis que les premiers termes n'ont pas été modifiés. Nous devons exclure naturellement ici, comme plus haut, le cas de la parabole (A33 = o), parce que pour cette courbe le dernier terme devient infiniment grand, et que (géométriquement) son centre est situé à distance infinie. L'évanouissement du déterminant A, au contraire, ne nous empêcherait pas de poursuivre de la même manière les opérations analytiques, seulement leur sens géométrique serait différent. Nous reviendrons plus tard là-dessus.

Les diamètres conjugués fournissent, conformément à leur nature, des systèmes de coordonnées obliques propres à simplifier nos équations. Nous allons d'abord établir la condition analytique qui répond à un couple de diamètres de cette espèce. L'équation de la courbe étant prise sous la forme réduite

(10) a,,ar*-»- 2«,jj-j--ha„j^* -t- ;^— = 0,

la condition pour qu'un point (x, j') se trouve sur la polaire d'un point (x', }') est exprimée par

Q ^ ^,1 x£ -\- a^^yy -h a,î [xf -\-yx'] -\- — = o.

Si ces points doivent être situés à distance infinie et donner ainsi les directions de deux diamètres conjugués, /* et /•' deviendront infiniment grands, en admettant qu'on ait posé

X=rrcOSa, ar' rrr rCOS«',

j' = rsina, j' = rsina'.

L'équation Q = o pour r = /' = 00 se transforme par là en o = ÄJ, cosa CCS«' -h aj2(cosa sin a' -h sina cosa') + «jj sinasin«'; donc, entre les angles de direction a, a' de deux diamètres conju-

CnAPITRC II.

gués existe réquation

«M -+-«i,tanga

(il) tanga' = —

«,, -f- «„ tanga

Pour a = a', on obtient de nouveau la condition (5) trouvée pour Tangle d'une asymptote avec l'axe X, et nous avons vu, en effet, qu'une asymptote peut être considérée comme un diamètre conjugué à. lui-même.

Ici revient au premier rang la question effleurée précédemment de savoir si, parmi les couples de diamètres conjugués, il en existe un dans lequel l'un des diamètres fasse avec l'autre un angle droit. Nous avons déjà vu plus haut la possibilité de ce cas, mais nous devons démontrer aussi qu'il n'existe qu'un système réel de cette espèce.

Comme alors a' doit être égal à 90° -+- a, l'équation (11) devient

12) tanff2a= —

"11— «îî Les valeurs de a qui s'en déduisent

W S =: arc tane —- )

ne diffèrent que d'angles droits; elles donnent donc toujours le même système, seulement considéré autrement, c'est-à-dire qu'j/ existe un système unique de diamètres conjugués rectangulaires. Nous les désignerons sous le nom rf'axes (principaux) de la conique. Le seul cas d'exception possible se présente si l'on a à la fois

«1, — rtj2 r^ O et rt,j = 0.

L'équation (10) de la conique a alors la forme X* -h X* = const.;

elle représente, par conséquent, un cercle. Pour cette courbe, 1 angle « est indéterminé, et par suite il existe un nombre infini de diamètres conjugués rectangulaires, ce qui a, en effet, toujours lieu dans le cercle.

Maintenant, afin de prendre réellement pour axes de coordon-

LES COCRBES DC SECOXD OBDBE ET DE LA SECONDE CLASSE. Il3

nées les diamètres conjugués définis par (12), posons (p. yj) x = jc' cosa — y sina.

( x=: a:' CO I jr =zx' sii

Sin a -t- j' cosa.

Par cette substitution, Téquation de la courbe doit, d'après nos observations précédentes, prendre la forme (8) si l'on y pose Xi = X, X2 = y, X3 = I ; donc, dans la forme réduite

(10) «,,x»H-«äjj*+ 2<7„jy-H- — - =0,

le terme en xy doit également disparaître, et c'est, en effet, ce quia lieu; car, si nous effectuons la substitution (i3), le coefficient de 2x'y' dans la nouvelle équation devient

cosa[a^^ sina 4- a,, cosa) — sina(a(iCOSa -j- «u sina),

et ce coefficient s'évanouit à cause de (11) si, dans cette dernière

équation, on fait a' = a -H 90". jNous pouvons, en conséquence,

poser

, ,, «,, cosa H- a,, sina «u cosa -f- «„ sina

* ' cosa sina

ou

(a,, — À) cosa + «,j sina = o,

Au cosa -+- («j, — ).) sina = o.

Si entre ces équations nous éliminons sina et cosa, nous serons conduits à une équation du second degré en X qui a une grande importance, et dont les racines représentent immédiatement les coefficients de x'- et àe j'- dans l'équation transformée. L'élimination dont il vient d'être question donne en effet

1 «lï

ou, après développement,

Soient X, (i les racines de cette équation; à chacune d'elles correspond, d'après (i4), une valeur de a, et ces valeurs ne peuvent différer que de 90 degrés, si le terme en x'j' doit disparaître. Nous

Clebsch. — Géométrie, I. o

Il4 TONB I. — CHAPITBE II.

avons par suite, pour (jl, les relations

a,tsina — ai, cos« = /xsina, Oit sina — a« cosa = — fi cos«.

Ces équations donnent, conjointement avec les équations (i4)>

011 cosa + 011 sin « = ^ cosa, 01, cosa + â„ sina = "k sina,

le moyen auxiliaire nécessaire à l'achèvement de la transformation. Multipliant la première et la seconde respectivement para: ely, et ajoutant, nous aurons, à cause de (i3),

(«11 sina — «11 cosaja: 4- («i, sina — «„ cosa)j = — jx^';

et, si l'on procède de même à l'égard de la troisième et de la quatrième équation, on obtient

(«Tu cosa -H 01, sina)x -i- («ucosa -i- a,j sinajjr = î^x'.

Si maintenant nous multiplions la première des deux équations écrites en dernier lieu par

— J7 sin a -f- j cos «=y, et la seconde par

xcosa -(- jsina = x',

nous trouverons, en les retranchant l'une de l'autre,

01, x'-f- 201, a:j -4- 0„j' =lx*-{- u^'*,

et, par suite, l'équation delà conique sous forme transformée est

Donc les racines de l'équation (i5) nous donnent eßectivement les coefficients de la nouvelle équation. La détermination de ces coefficients ne cesse pas d'avoir lieu dans le cas exceptionnel mentionné plus haut, où »1 1 = »33 et a^^ = o.

Les deux racines X, p doivent, en outre, être toujours réelles ; car nous avons vu précédemment que, tant que l'on n'a pas A = o ou A33 = o, il existe toujours un couple d'axes réels. Nous pouvons aussi démontrer simplement la môme chose ainsi qu'il suit :

LES COCRBES DC SECOKD ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. Il5

La résolution de Téquation (i5) donne

et sous le radical figure la somme de deux carrés, c'est-à-dire une expression constamment positive, tant que les coefficients de l'équation de la conique sont supposés être des grandeurs réelles. Recherchons maintenant de plus près quelles sont les courbes comprises dans la forme d'équation (16). Nous pouvons écrire cette dernière de la manière suivante :

XA„ ftAjj

et nous obtenons immédiatement une classification des courbes en question qui s'accorde au fond avec notre classification précédente (p. 108). Le produit des dénominateurs

a, en effet, toujours le même signe que le produit Xpi, Or ce dernier est identique avec A33, car A, [x. sont les racines de l'équation ( i5), c'est-à-dire que l'on a

).a=: oiirtîî— a-^^ = A33.

Si donc nous classons les courbes suivant le signe du produit des coefficients de x* gIj^, c'est la même chose que de les classer comme nous l'avons fait précédemment d'après le signe de A3 3. Les cas qui sont ici possibles sont réunis dans le tableau suivant :

L A33 ^ o ; X et ^ sont de même signe : (i) -^= «'. --4-= b'- -Ellipse.

(i) — r— ; — = — a', — = — i* : Ellipse imaginaire.

^Ajj ^A33

IL A33 <] o ; ?. et a sont de signes différents :

, . A j A - j I Hyperbole rencontrée par l'axe

XA33 ' f*Ajj \ X en des points réels.

, . A j A I Hyperbole rencontrée par l'axe

iA,3 ' tiAjj ( Y en des points réels.

Il6 TOME I. — CHAPITRE II.

Les deux dernières courbes ne diffèrent l'une de l'autre que par la désignation des axes de coordonnées. Nous avons donc à distinguer seulement trois cas dont deux (ceux des courbes réelles) nous étaient déjà connus, et il n^existe pas d'autres coniques possédant un centre. Nous n'insisterons pas davantage dans ce qui suit sur l'ellipse imaginaire; on peut seulement observer que son centre et ses axes sont réels, et que les polaires par lesquelles elle est en relation avec des points réels sont toujours réelles.

Les axes sur lesquels s'est concentré notre intérêt dans nos dernières recherches ne sont qu'un couple particulier remarquable de diamètres conjugués ; on est donc porté naturellement à généraliser le problème traité ainsi qu'il suit : Introduire av^ec le secours des diamètres conjugués des coordonnées obliques [non hotno gènes), de telle sorte que l'équation de la courbe soit aussi simple que possible. Comme point de départ, nous nous servirons de la forme simple d'équation précédemment obtenue

qui ne représente positivement qu'une ellipse réelle. Mais il suffira de donner seulement pour cette courbe les explications qui suivent ; les résultats correspondants relatifs à l'hyperbole s'obtiennent en remplaçant b par b\J — i.

Gomme un couple de diamètres conjugués forme toujours conjointement avec la droite de l'infini un triangle polaire relativement à la conique, la forme de l'équatiOn (i) ne sera pas niodifiée si l'on choisit ces diamètres pour axes d'un système de coordonnées obliques. Nous introduirons les nouvelles coordonnées, d'après les développements donnés plus haut (p. 78), au moyen des équations

I X = a*' cos a -f- j' cosjS, \ y=ix' sina -{- /' sinjS, Dans ces formules

est égal à Tangle compris entre les deux diamètres conjugués. L'équation (i) se transforme par cette substitution en

LES COOBBES DO SEC05D OBDBE ET DE LA SBCOmE CLAMB. II7

car, d'après une observation précédemment faite, le coefficient de jf y doit s'annuler, c'est-à-dire que l'on a

cos a cos Ö sinasinS (5) — ^ + -Ä5— =<>•

D'autre part, les grandeurs /? et q dans (4) sont définies par les

équations

il cos* a sin* a

^ ' I cos*^ sin*j3

Leur signification géométrique apparaît immédiatement : p et q sont les longueurs des deux diamètres conjugués (mesurés à partir de l'origine jusqu'à un de leurs points de rencontre avec laconique). Posons, en efiet, a/ =o; il vient

et de même, pourj^' =: o,

Les équations (5) et (6) nous permettent donc de calculer ces longueurs au moyen de celles des axes principaux; d'autre part, l'équation (5) est la forme que prend dans le système de coordonnées choisi la relation entre deux diamètres conjugués [éq. (ii), p. 1 12]. Les angles a, ß sont liés par (3) à l'angle compris entre les diamètres conjugués; pour les calculer directement, u étant donné, nous procéderons de la manière suivante. Nous avons les équations

cos« cos]3 -h sin a sin J3 :=: cosu, cos a cos|3 sin « sin S

a* --—6^=°' lesquelles donnent

cos«cosp = -- — -—cos«, smasm3:=-- -cos«;

d'où, par soustraction,

(7) COS(a4-l3) = -j— -^COS«.

Cette équation fournit deux valeurs égales et de signe contraire ± V pour 3c -h ß; et de là résultent, à cause de (3), les relations

— «zhi' ^ u±v u= , p =

ii8 Tom I. — cBAriTSB n.

Nous obtenons ainsi, comme on pouvait s'y attendre eu égard à la symétrie de la courbe par rapport aux axes, deux systèmes de diamètres conjugués dont l'un est vis-à-vis des axes la reproduction de l'autre ; car la seconde valeur de ß est égale à la première de oc, la seconde de a à la première de ß et inversement.

Dans y ellipse, ces solutions ne sont réelles qu'autant que

cos«

< fl« -i- 6« '

nous obtenons donc une limite pour l'angle m, et le plus petit angle que puissent former les diamètres conjugués est ainsi déterminé par

cosu=z — — ,

d'où l'on tire

« b tang - " - .

Les deux diamètres conjugués sont dans ce cas les diagonales du rectangle circonscrit à l'ellipse parallèlement aux axes ; l'angle de ces diagonales est divisé en deux parties égales par les axes. On a d'ailleurs ici

cos («H- P) = I

et, par suite,

c'est-à-dire que les deux diamètres ainsi déterminés sont symétriques entre eux par rapport aux axes.

Il n'existe pas de cas limite semblable relativement à Vhjperbole. On a pour cette courbe

COS a -4- S =-T j^ cos«.

^ ' or -i- b'

Aucune sorte de restriction ne peut donc se présenter, car on a constamment b^<^a^. Nous savons même que u peut recevoir la valeur zéro, car toute asymptote est un diamètre conjugué à luimême.

Un second procédé élégant pour résoudre le problème traité, procédé analogue à celui qui a été employé pour les axes, consiste dans la recherche directe des valeurs de p^ et (/^ au moyen d'une équation du second degré formée exprès. Nous avons obtenu

LES COCBBES DC SCCOÜV ORDRE ET DE LA SECOltDB CLASSE. II9

entre p, ^, a, ß les équations (5) et (6) *

I cos' a sin' a y*~ a* "^ 6» '

cosacosiS sinasinS " = —^+-45-'

I COS* 3 sin' S

^rz L ^ L.

Multiplions la première et la deuxième équation une fois par sinß et — sin a respectivement, puis une seconde fois par — cosjS, cosa, et ajoutons séparément; nous obtiendrons

sinS cosa . cosS sin a .

— = r-Sin«, r^=— rr-Sm«.

De même, on tire de la deuxième et de la troisième équation, en les multipliant respectivement par sinß, — sinor, puis par — cos|3, cosa et ajoutant comme précédemment,

sin a cos S . cosa sin 3 .

^r = — . - sm «, — ~ — -— - sm «.

q* ar if^ o*

Si l'on forme ensuite le produit de la première et de la quatrième de ces quatre dernières équations, puis le produit de la deuxième et de la troisième, et qu'on retranche ces produits l'un de l'autre, on trouve

(8) p'^'sin'« =: a'i*.

Nous pouvons donner à cette formule une interprétation géométrique simple. En effet, ^ah est égal à l'aire du rectangle circonscrit à l'ellipse parallèlement aux axes; l^pq sin m, d'autre part, est l'aire du parallélogramme circonscrit à la courbe parallèlement aux diamètres p, q.

D'après cela, l'équation (8) signifie que :

Un parallélogramme circonscrit à la conique et dont les côtés sont parallèles à deux diamètres conjugués a une aire constante.

Écrivant maintenant les équations déduites de (5) et (6) sous la forme

a' sinjS = />* cosa sinw , i* cos|3 = — /»' sin a sin h, fl'sinar= — y' cos ;3 sin«, 6' cos a = 7' sin ^ sin«,

Cl multipliant celles de gauche par cosar, — cosß respectivement, puis celles de droite respectivement par — sina, sinß, nous obtenons par addition

!fl* =/)* cos* a -+- 9' cos*p,

Et de là résulte immédiatement

c'est-à-dire que la somme des can-es des longueurs de deux diamètres conjugues est constante. Les équations (8) et (10) nous permettent de reconnaître que p^ et q^ sont les racines d'une équation du second degré, et, pour préciser, de la suivante :

^ ' ^ ' sm*ö

Si donc on connaît les axes de la courbe, cette équation donne pour chaque valeur de u les carrés des diamètres correspondants. Il vient, en effet,

^ flî + z,î /"/a-'-hb^y 7^

2 \ \ -2 j siu''«

,a»H-Ä» //fl«4-J^\* a*b*

2 V V ^ / sin*«

Ces expressions sont, sous cette forme, tout à fait semblables à celles que nous avons obtenues au moyen de l'équation

pour les carrés des valeurs inverses des axes. Lorsque p^ et q- ont été déterminés par cette voie, les angles a et ß s'obtiennent au moyen de (6); on trouve ainsi

cos» S = i-

un* a = —

Sin* S = i-