LES COCRBES DC SCCOXD ORDBE ET DE LA SECONDE CLASSE

L'équation (ii) nous apprend que dans l'ellipse/?' et y', tant qu'il 9ont réels (c'est-à-dire tant que u ne dépasse pas la limite inférieure donnée), ont des valeurs constamment positives. A l'inverse, dans l'hyperbole ( — b- au lieu de b^), l'une des valeurs est toujours négative, l'autre positive ; l'un des diamètres conjugués coupe donc toujours l'hyperbole en deux points imaginaires, l'autre en deux points réels. Leurs directions, au contraire (c'est-à-dire les angles a, ß), sont constamment réelles, parce que u n'est ici soumis à aucune restriction. L'équation de l'hyperbole rapportée à un couple de diamètres conjugués a par conséquent la forme

De là résulte en général le théorème suivant :

L'équation de la courbe rapportée à ses diamètres conjugués a la même forme que l' équation de la courbe rapportée à ses axes, c'est-à-dire que les signes des coefficients de x- etj ^ sont les mêmes dans les deux formes d'équation.

Pour Vhyperbole, il existe un autre système de coordonnées réelles très-voisin du précédent, et par l'introduction duquel son équation acquiert un haut degré de simplicité : c'est le système des asymptotes. Pour l'ellipse, l'application de ce système a moins d'importance, parce que dans cette courbe les asymptotes sont imaginaires et que nous aurions, par suite, à attribuer aux variables des valeurs complexes pour représenter des points réels.

Soient a, ß les angles des deux asymptotes avec l'axe X, ce qui entraîne ß=:i8o" — a, et soit l'hyperbole donnée par l'équation

les formules de transformation que l'on doit employer sont

a: = x* cosa -h J^ COSjS,

j = jr' sin a 4- j"' sinS.

Or on a

tanga = -

et, par suite.

cosk =: — ms^ := T sina = sinS;i=

laa TOME I. — CBAPITBE II.

nous devons donc poser

Par cette substitution, l'équation de la courbe prend la forme simple

relation qui établit le théorème suivant :

Si l'on mène par un point de l'hyperbole des parallèles aux deux asymptotes , le parallélogramme formé par ces parallèles et par les asymptotes a une aire constante.

Il nous reste à traiter d'une manière semblable les coniques pour lesquelles A33 est égal à zéro, c'est-à-dire celles qui sont dépourvues de centre, les paraboles. Prenons leur équation sous la forme générale

«,,x*-f- 2a,jj-j-f-ö„j'-4- 2«,3.rH- 2fl„ j -I- a,, =: o,

A33 = rt| , «22 — «?2 ctant égal à zéro.

Si nous ne prenons en considération que des éléments réels, «i, et «22 doivent avoir le même signe, condition nécessaire pour que leur produit soit égal à un carré, et nous pouvons poser

rtj, r— m sin' a, a,, = m cos* a, Al, = — m sin a cos a,

relations par lesquelles la condition A33 =-- o est identiquement satisfaite; a est défini à un multiple près de tt par

tanga = 1

et m s'obtient alors au moyen des équations de substitution. Par l'emploi de ces dernières l'équation de la parabole se transforme en

(12) m(x8ina —/CCS«)* -»- aa,,x -+-2a,s j -h a„ =: o.

Dans cette équation les termes de la plus haute dimension