LES COORBES DD SECOND ORDRE ET DE LA SECO!(DE CLASSE
forment le carré parfait d'une expression linéaire, et ce fait est caractéristique pour la parabole.
Afin de reconnaître le sens géométrique de la direction a, faisons tourner le système de coordonnées de manière que cette direction devienne parallèle à l'un des axes. On se sert pour cela des formules de transformation qui suivent :
ar = 3/ CCS a — y' sin a,
y ^n x' sin a.-~- jr' cos a.
L'équation de la courbe se transforme alors en (i3) my*-f-2/7x'-4- a^/H-^jj = o,
avec
p =r a,, cos a + 0}} sin a,
q-= — a,j sin a -4- fljs ces a.
L'équation (i3) peut aussi s'écrire sous la forme
\ 2/? imp
Si donc on pose
m ip imp
on obtient Y équation de la parabole sous la forme connue
( i4) my"^ -h iipx" = o,
que nous avons déjà considérée dans les problèmes préliminaires. La nouvelle origine se trouve sur la courbe, et la courbe elle-même est située symétriquement par rapport à l'axe j" = o. La direction a est celle de cet axe, c'est-à-dire la direction d'un point à l'infini de la parabole. Nous voyons, par conséquent, que toute conique qui touche la droite de V infini est une parabole dans le sens employé plus haut.
Il existe un système de coordonnées obliques dont la relation avec le système rectangulaire que nous venons d'employer est la même que la relation du système composé d'un couple de diamètres conjugués avec le système des axes dans -les coniques à centre. Nous pouvons considérer le point à l'infini de la parabole comme
ia4 TOME I. — CHAPITRE H.
son centre, et désigner en conséquence par diamètres de la courbe toutes les droites qui passent par ce point, c'est-à-dire toutes les parallèles à l'axe de la parabole. Si maintenant nous fixons un autre point de la droite de l'infini et que nous tracions toutes les parallèles issues de ce point, toutes ces lignes seront divisées harmoniquement par la polaire du point choisi à l'infini et par la parabole. Or nous pouvons définir en général la polaire comme la ligne qui joint les deux points de contact des tangentes menées à la courbe par le pôle. Dans notre cas, l'une des tangentes est la droite de l'infini elle-même, et l'autre court parallèlement au système des cordes que nous avons menées par le point choisi à l'infini. La polaire de ce dernier point est donc la ligne menée par le point de contact de la tangente mentionnée en dernier lieu, parallèlement à l'axe de la courbe (c'est-à-dire dans la direction du point à l'infini de la parabole), et le théorème sur la division harmonique se transforme dans le suivant :
Chaque système de cordes parallèles est divisé eji parties égales par une droite passant par le point de contact des tangentes parallèles à ces cordes, et dirigée parallèlement à l'axe de la parabole.
Sont naturellement exceptées les cordes parallèles à l'axe. Si, en particulier, la direction du système de cordes parallèles est perpendiculaire à l'axe de la courbe, cet axe est lui-même la droite de division.
Introduisons maintenant un nouveau système de coordonnées formé d'une tangente de la courbe et d'une parallèle à l'axe menée par le point de contact (et appelons ß l'angle compris entre les deux lignes) ; la forme d'équation de la parabole ne sera pas par là modifiée plus que ne l'est celle des courbes à centre lorsqu'on prend pour axes de coordonnées deux diamètres conjugués. Partons, en effet, de l'équation
j* = 7.px,
et soit {tty b) un point de la parabole, les équations qui font de ce point la nouvelle origine sont
X=z x' + y cosp -Je- rt,
y=iy%\np -h b.
LES COCBBES DU 8EC0ND OHDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. laS
Cette substitution effectuée, l'équation de la courbe à cause de
se transforme en
j'* sin'|3 -i- 2}''^sinp — 7.p.r' — 2/?r'cos|3 = o.
Cette équation ne doit cependant renfermer y' qu'au carré, car toute parallèle à l'axe Y' est nécessairement divisée par moitié par l'axe X' et par la courbe; nous avons donc à choisir ß de telle sorte que
If sin^ = p cosp ou tang S = ~ • Mais l'équation de la parabole devient alors
•^ "sin^iS'
elle est donc, en fait, de la même forme que l'équation normale donnée pour cette courbe.
m. — Système de deux droites.
La transformation au moyen de laquelle nous avons ramené l'équation de la parabole à la forme (i4) i^'ä de sens dans sa teneur qu'autant que
p = fljj CCS a -f aj3 sin a
est différent de zéro. Si, au contraire,
p = o, nous obtiendrons
(i) mj'* + 2^j>'-f-a33 = o,
c'est-à-dire que la courbe se compose des deux lignes droites
r et s sont ici les racines de (i), et les droites sont parallèles à l'axe X'. Si, en particulier, /■ = s, la courbe est représentée par une droite comptant double. Maintenant le cas de /3=o correspond à la condition de l'évanouissement du déterminant de la conique.
,a(J TOME I. — CHAPITRE II.
L'équation de ce dernier est en effet ici
m(xsina — /cosa)*4- 2013 J^ + 2«23j •+- «33 = o;
par conséquent on a
m sin* a — msinacosa 0,3
— msinacosa m cos* a 0,3
et ce déterminant est effectivement nul ; car, si nous multi plions la première ligne horizontale par cosa, et que nous lui ajoutions la seconde multipliée par sina, tous les termes de la nouvelle ligne ainsi formée s'évanouiront. Nous nous proposons maintenant de montrer qu'en général une conique dont le déterminant est nul se décompose en un couple de lignes droites {*). Le point d'intersection des deux droites du couple sera d'ailleurs généralement situé à distance finie; si dans l'exemple cité plus haut le point en question était un point de la droite de l'infini, cela tenait à ce que nous étions partis de la parabole et que nous supposions, par conséquent, A33 = o. Pour voir qu'il en est ainsi, partons d'abord de l'équation centrale de la conique générale, équation que nous avons trouvée être
«1, X* -r- «îï J* -!- 2«ii xj -4- -— = o.
Faisons
et supposons que A33 ne soit pas nul; l'équation «11 X* -\- «j, j* H- 201, j:j = o
se décomposera en deux facteurs linéaires. Posons en effet
/ et soient À', À" les racines de l'équation du second degré (2) «11 ^* + 2^1, ). 4- «jj = o;
(') Nous désignerons souvent les coniques qui dégénèrent ainsi en un couple de droites par le nom de co/iiques évanouissantes, et nous emploierons plus tard la même expression ii l'égard de celles qui dégénèrent en un couple de points.
