LES COORBES 00 SECOND ORDBE ET DB LA 8EC0!<DE CLASSE

on a

«11 el l'équation de la conique devient

(x-yj)(x-rjr) = o;

la courbe se décompose donc en deux droites passant par l'origine. Suivant le signe de A33, nous pouvons partager les systèmes de droites en deux groupes, de même que nous avons divisé les courbes à centre en ellipses et hyperboles.

1** A33 <^o. Couple de droites réel, et ayant, par conséquent, deux points réels à distance infinie comme l'hyperbole ;

2° A33 ]> o. Couple imaginaire de droites, rencontré par la droite de l'infini en deux points imaginaires comme l'ellipse. L'intersection des deux lignes est seule réelle, comme cela a toujours lieu dans les droites imaginaires conjuguées.

Le cas intermédiaire A33 = o donne deux lignes parallèles, rencontrées par la droite de l'infini en deux points coïncidents comme la parabole. Après cette orientation provisoire, nous allons traiter le cas de A = o d'une manière encore plus générale, et sans aucune hypothèse particulière sur la position du système de coordonnées.

Nous avons vu que les équations qui lient un point a: à sa polaire u, relativement à la conique

H.an.x,xi = 0, étaient

;■ 0 «, = «1, .r, -J- ou JTj -f- rt,3 J-j,

(3) - p «ï =r rtj, X, -h «jî Xj 4- «23 JTj,

( pU^^Z «31 X, -h «3, Xj -H «33 .^3.

Ces équations continuent encore d'exister lorsque A devient nul. Dans ce cas, toutefois, elles ne sont plus résolubles, c'est-à-dire qu'à chaque point continue decorrespondre une polaire déterminée, mais à celle polaire ne correspond plus inversement un pôle déterminé. Nous pouvons d'ailleurs déterminer un point \ dont les

ia8 TOME I. — CHAPITRE II.

coordonnées satisfont simultanément aux trois équations

car la condition unique pour que ces trois équations aient lieu ensemble est précisément

La polaire du point ^ est par conséquent indéterminée (c'est-àdire que, dans un certain sens, nous pouvons considérer toute droite du plan comme sa polaire), tandis que, d'autre part, la polaire de tout autre point passe par ce même point ^ ; car si nous multiplions les équations (3) respectivement par ^), ^2, ta et que nous ajoutions, nous voyons que la condition

est satisfaite indépendamment des valeurs de x, c'est-à-dire pour les polaires 4e tous les points du plan (le facteur p qui intervient dans la dernière équation ne sera nul que si les aijf sont tous nuls ensemble, circonstance que nous excluons).

Donc, réciproquement, on ne peut considérer comme polaires de points que les droites qui passent par \, si l'on ne veut pas considérer toutes les autres droites comme polaires du point \ luimême. Mais à chacune de ces droites u appartiennent une infinité de points comme pôles; car, x étant un point satisfaisant aux équations (3), ces équations seront aussi satisfaites, en vertu de (4)> par tout point \ H- \x de la ligne qui joint x et ^.

Pour reconnaître la forme de la courbe elle-même, considérons la ligne qui joint \ avec un point quelconque x de cette courbe. Substituons ^ H- Xx à a: dans l'équation de la courbe, et nous obtiendrons une équation

P-t- 2XQ-h)i«R = o, dont les coefficients sont tous nuls ; car on a, d'après (4 ),

donc \ est situé sur la courbe. On a d'ailleurs, d'après l'hypothèse, R =r 22 aiifX(Xif =z o

LKS COCIBES DO 8CC0XD OMDBE ET DE L.V SECONDE CLASSE. 1 29

et aussi, en vertu de (4),

Q = 22 an^liXi = o.

La ligne ^-r-Xx appartient donc tout entière à la courbe et cette dernière ne peut par conséquent consister qu'en deux droites se coupant en \, et précisément en deux, à cause du degré de l'équation de la conique. Les coordonnées du point \ doivent être déterminées au moyen de deux des équations (4); nous pouvons donc écrire son équation sous les trois formes

l A„tt, -t-A,itt,-4- A,3«3 = o,

(5) < A,i«, -t- Ajjtt2-+- Aj3aj = o,

( A„«,-f-A„«, + A,aä, = o,

dont chacune a le même sens que l'équation

£,«,-+- Ç,tfa-T- 5jtt3 = 0.

Nous pouvons pour cette raison poser

iAii = «1?, A,5 := U-li li, Aïî — t*?2, A,3 = t*;, ;3, » —S A X ^

Donc les déterminants mineurs du déterminant d'une coni(/ue é\'anouissante sont proportionnels aux carrés et aux produits de trois grandeurs qui sont les coordonnées de son point double (^).

, Nous serons conduits par une autre voie à l'équation de ce point double, si nous formons l'équation de la conique en coordonnées lignes. Celte dernière est, en efifet, dans le cas général,

A,,«^ -h Asî«2 -^ ^ii"l + 2A,jttittj-f- dAijWittj-r- 2Aî3«iaj = o.

Nous en avons tiré déjà auparavant la condition à laquelle doit satisfaire une droite u pour rencontrer la courbe en deux points coïncidents. Cette dernière circonstance n'est possible dans un couple de lignes, tant que ce couple ne dégénère pas en une ligne double, que si la droite u passe par le point double du couple, et, en fait, l'équation en coordonnées lignes se transforme à cause de

(6) en

(c,a,-i-;jai-+- Ç3O3)- = 0;

c'est-à-dire qu'elle donne l'équation du point double compté deuxjois.

Clebsch. — Géométrie, I. 9

l3o TOME I. — CHAPITRE II.

Les coordonnées (a,- et ß/) des deux droites, en lesquelles dégénère la conique, se déterminent au moyen des équations

(7) j«t^î = «M» «lPï+ «jPi= 2«12. ( «3P3 = «38. «ïPs -+- «3^1 = ^««.

qui s'obtiennent elles-mêmes en identifiant les coefficients des produits égaux dans l'équation de condition

Les équations (7) ne varient pas si l'on multiplie en même temps «o 0^2, «3 par une certaine grandeur k, et qu'on divise ßi, ßa» ßs par cette même grandeur, et, comme nous n'avons aflaire qu'à des rapports de quantités, une opération semblable est indifférente pour leur interprétation. Nous pouvons donc supposer l'une des six inconnues «,, «2» ^3, ß,, ßa, ßs égale à l'unité et nous avons alors six équations à cinq inconnues. Elles ne sont pas en général résolubles, et, pour qu'elles le soient, il faut qu'il existe une équation de condition entre les coefficients a/;t. Mais, dans notre hypothèse, cette condition est donnée par l'équation

et nous verrons plus tard que l'évanouissement de A est la seule condition possible entre les a/Ä qui conduise au but. Pour calculer les inconnues elles-mêmes, on peut, par exemple, diviser par «4 ßt dans «2 ßj et «i ßa -f- ßi «a î on obtient ainsi la somme et le produit

de -^ï ^ et ces quantités sont, par conséquent, déterminées par une

équation du second degré : on trouve ensuite les autres linéairement.

La méthode suivante est d'ailleurs plus symétrique et plus élégante. Le point $ est l'intersection des lignes a et ß ; on a donc les équations

«lÇl+««Çt+ «3^3 = 0,

|3iÇt4-P.Ç.-M33Ç» = o, et par conséquent aussi

2pÇi = «îP3— Pt«8>

(8) \ 2pÇ, = a,|3, — p,«i,

apÇ5 = «,p,— ^t«i«

LES C0CRBE8 DC SECOIO) ORDRE ET DR LÀ SECOMDB CLASSE. l3l

On a donc en vertu de (7), si Ton imagine que les ^ soient déterminés par (4), les neuf équations suivantes pour le calcul des a et des ß,

1 «1^1 = 011» «ïPi = «ii— o?3. «api^'^ai-t-pÇ».

«i^i = «i|-+-pÇ3> «t.ôj = «»«. «3^j = «3i — pli.

. «1^3 = «13— P S«» «J^3 = «î3-f-pÇl' «3^3 = «33-

D'après cela, les rapports actl xî'. as et ßi ! ßa I ßs sont immédiatement donnés dès que p est connu. Cette quantité p a d'abord été introduite comme facteur de proportionnalité, et serait en cette qualité complètement arbitraire. Ici, néanmoins, elle dépend, à cause des équations (ö), du facteur de proportionnalité /ut. Nous pouvons, en effet, en vertu de (7), exprimer les déterminants mineurs A/A au moyen des a et des ß, et nous devons arriver alors à des expressions identiques à celles qui dérivent de l'équation (8) pour les carrés et les produits des Ç. On a, par exemple,

4Aii = - («,^3- p,«,)' = - 4p«i=,

et par conséquent, à cause de (6),

ce qui détermine p de manière qu'il n'y ail plus dans les seconds membres de (9) que les a/A entrant linéairement. Nous avons pour p deux valeurs

mais toutes deux donnent le même résultat, car on reconnaît facilement que les valeurs des a et des ß ne font que s'échanger si l'on remplace 0 d'abord par + ^ — pi, puis par — y/ — /ut, et notre problème est par conséquent résolu. Les coordonnées des deux lignes de la conique évanouissante sont données par

Pl'Pi'-P3 = «11

Ajalaji :«23-+-V^— Au,

A,, : a^^—sj— Ail ' «3S.

: a,i — ^— A,3 : rtji -+- V — A«'

= «ij+v'^

•A,3:«,, laj,— v''— An,

l3a TOME I. — CHAPITBE II.

La proposition réciproque, à savoir que A est nécessairement nul lorsque la conique dégénère en un système de droites, est également vraie ; alors, en effet, les équations (6) se transforment, par suite de l'existence des relations (7), en

p' «î — Pi^<Xi-ri + ctilßiXi,

et ces trois expressions s'évanouissent identiquement pour a. = ^,

parce que

2a,Ç,= o et iPili^o,

c'est-à-dire que les équations desquelles résulte

A = o ont encore lieu.

Le point de départ de nos considérations sur les coniques évanouissantes a été l'indétermination de la relation polaire qui se présentait ici sous un aspect particulier. D'autre part, cette face de la théorie des polaires se comprend d'elle-même géométriquement d'après nos études générales ; car il résulte immédiatement de la théorie du quadrilatère complet que tous les rayons d'un faisceau rencontrent les deux droites de manière que le point quatrième harmonique soit situé constamment sur une droite passant par le point double. Et inversement il est clair que tous les points de la droite quatrième harmonique à une droite passant par le point double et au système des deux droites données présentent avec la droite que nous venons de désigner comme passant par le point double la relation de pôle à polaire. On construit par suite la polaire d'un point en joignant ce point au point double, et en cherchant la droite quatrième harmonique à cette ligne de jonction et aux droites dont se compose la conique. Ces couples de lignes harmoniques aux deux lignes primitives correspondent aux couples de diamètres conjugués dans les coniques non décomposables, en tant que le point double peut être considéré comme un centre.

On suppose dans toutes ces considérations que les équations (4) déterminent d'une manière effective le point double. Or il n'en est plus ainsi lorsque ces équations se réduisent à l'équation unique

LES COCBBES DC SECOND OBDEE ET DE LA SECOXDE CLASSE. l33

dont elles ne différent alors que par des facteurs constants (m,). Nous pouvons, dans ce cas, poser

Mais, comme a/^ = ^ao nous avons aussi

m, : mj : m, =3 y, : y. : 73,

et, par conséquent, /e5 coefficients de V équation de la conique deviennent proportionnels aux carrés et aux produits de trois grandeurs ; autrement dit, il vient, en désignant par [t. un facteur de proportionnalité,

«îî = .^72» «31 =.=^73 71'

Il résulte aussi de là que le premier membre de l'équation de la courbe devient le carré parfait d'une expression linéaire

11 ai^.Xi.T,, = (71X1 H- yj Xj -h 73^-3 )',

et la conique consiste en une ligne double : tout point de cette dernière doit alors être considéré comme un point double.

Les équations (10) entraînent visiblement l'existence simultanée des relations suivantes :

A,i = o, Aij = o, A„ = o, A3, = 0, A33 = o, Al, = 0.

D'un autre côté, de l'évanouissement de ces déterminants mineurs résultent de nouveau les équations (10); par conséquent:

»Si non-seulement le déterminant d'une conique, mais encore tous ses déterminants mineurs sont nuls, la conique se compose d'une ligne double.

En effet, l'équation en coordonnées lignes

llAitUiUi. = o

est alors satisfaite par toute droite u, ainsi que cela^doit être.

l3:j TOME I. — CUAPITRE 11.

puisque toute droite rencontre en deux points coïncidents une droite qui compte doublement.

La considération de ces dégénérations (couple de lignes et ligne double) pourra nous être, suivant les cas, d'une très-grande utilité pour l'étude des coniques générales. Ici s'offre, en effet, le problème de déterminer le produit de deux tangentes menées d'un point à la courbe, problème que nous nous proposons de traiter comme une application des développements qui précèdent. Menons par un point j tous les rayons possibles et déterminons sur eux des points z, tels qu'avec j' et les deux points d'intersection du rayon avec la courbe ces points forment un rapport anharmoniquc donné «; les points z, ainsi que nous l'avons trouvé en abordant la théorie générale des coniques, sont situés sur une courbe du deuxième ordre répondant à l'équation

(a+ i)«PR — 4aQ2 = o,

P, Q, R ayant la signification que nous allons rappeler. Nous avions, en employant la notation symbolique,

P =: (a,J, +«-27, -^«373)*'.= llui^YiXky

Q = ( «1 Zj -h fl-, Zj -H «3 Z3 ) ( «1 j i -\- «j jj -h «3 J3 ) — 11 ai^Zifk'

Pour la valeur particulière a-~ — i, nous avons obtenu une ligne double

la polaire du point^^ Si, au contraire, on doit avoir a. = ~{-i, en vertu des considérations générales présentées sur le rapport anharmoniquc, deux des quatre points coïncideront nécessairement l'un avec l'autre. La ligne jz rencontrera donc la courbe en deux points coïncidents, autrement dit elle lui sera tangente; et l'équation obtenue pour a ::^ -f- 1 nous représente le produit des deux tangentes menées de y à la courbe; cette équation est

(11) ^ PR — Q*=o.

Pour la décomposer effectivement en ses facteurs linéaires, nous procéderons de la manière suivante : vi étant les coordonnées de la polaire du point ^ relativement à la conique donnée

LB8 COCBBES DO SECOND ORDSE ET DE LA SECONDE CLASSE. l35

les coefficients des z dans Q seront

(12) OT,- = anx^ + «.î Vî -l- «/ara ( ' = i » 2j 3 ).

Il suffit alors de substituer dans (9) aux quantités a/^ les coefficients de ZiZk dans (ii), c'est-à-dire les grandeurs

Les coordonnées a/ et ß, des deux tangentes se déterminent donc au moyen des équations

«,P,=a,,P — <r-»7, «î^i = «îiP — <r'fî«'i — PJ3. a3t3i=<73iP — ^**'3^'i + PJ2>

Ici lesj^ sont immédiatement donnés, et nous n'avons plus qu'à déterminer encore p pour pouvoir indiquer de suite les rapports des or et des ß. Cette détermination est fournie de nouveau par les équations (6) ; car, en vertu de (6), nous avons

les A^;t dérivant des A/^, si dans ces derniers on substitue aux a/^ les grandeurs a/;^ P — a^ ç,^. ^^

Formons maintenant les neuf équations (i3), multiplions chacune par '7^ViVk, et additionnons-les toutes; nous obtiendrons, à cause de (12),

Nous pouvons encore transformer d'une manière convenable l'expression qui figure dans le premier membre, en prenant pour base l'équation de la conique en coordonnées lignes sous la forme de déterminant, telle que nous l'avons donnée (p. 100),

Appliquons cette représentation à notre cas, et écrivons de nouveau au lieu des a/^ les grandeurs a/^P — o^ViW/s', l'équation (i4)

i36 devient

TOm I. — CHAPITRE II.

«1, P— d'c; a,jP — T*«'ii'j «ijP — «r'f, «'3 «'t

a„ P — T'fj f, a,j P — T-i'l a,3 P — <t*»'j Tj c,

OU, si l'on multiplie la dernière ligne horizontale du déterminant respectivement par a^Wi, ct-p-o, a' t'a, et qu'on l'ajoute ainsi modifiée à la première, à la deuxième et à la troisième ligne horizontale.

pî p2 = 7»

^'11 P ^'uP ^'isP »'l

«21 P C/22 P ffî3 P »'î

rt,, a.-i a,, V

Si l'on multiplie ensuite les trois premières lignes verticales respectivement par > i, y^, J3, et qu'on les ajoute à la quatrième ligne verticale multipliée par — a, comme, à cause de (12),

il viendra