PA

et nous avons par suite à substituer dans (i3) pour p les deux valeurs

p=-h^PÄ. et p= — v^PÂ;

un échange des deux valeurs n'a pour conséquence qu'un échange des deux lignes a et ß; il n'y a donc pas lieu de s'y arrêter. Le signe de p'^ nous donne un critérium pour la position du point j relativement ù la courbe ; pour une courbe réelle nous avons à distinguer les cas suivants :

LES COCMES DC 8EC0!n> ORSBE KT DE LA 8EC05DE CLASSE. ti"]

1° p' z= PA^o. Les deux tangentes sont réelles. 2" p^ = PA <;; o. Les deux tangentes sont imaginaires. 3° |5* = PA = o; Les deux tangentes se confondent en une seule (P = o).

Le plan est donc partagé par une conique réelle en deux parties : l'une (la partie intérieure) ne renferme que les points à couple de tangentes imaginaires, l'autre (la partie extérieure) les points à couple de tangentes réelles. Pour les points de la courbe, il V a passage du réel à l'imaginaire en ce sens que les deux tangentes en ces points coïncident.

Le système des tangentes menées d'un point j' à la courbe nous a apparu comme la dégénération d'une conique ayant la forme d'équation (p. q5)

(16) (a-M)»PR — 4aQ' = 0.

Si nous considérons ici a comme un paramètre variable, l'équation représentera un système composé d'un nombre simplement infini de coniques, parmi lesquelles figurent en particulier la polaire de j comptée doublement et le couple de tangentes. On obtient aussi ces deux mêmes courbes si l'on remplace la conique

P=ro

par une autre quelconque du système; autrement dit, toutes les coniques du système ont pour le point y le même couple de tangentes et la même polaire. Si l'on pose, en effet, z -h Xy au lieu de z, on obtient

(a-hi)'P(R-f-a>Q-h).'P) -4«(Q-i- >P)»=o ou

en faisant

?'=:(« + i)*PR — 4aQS

Q'^(«-i)'PQ.

P'R' — Q» = (a» — i)«P*(PR— Q*).

ou

Les expressions P'R' — Q'^ et Q'-, qui, égalées à zéro, donnent les équations du couple de tangentes et de la polaire pour une courbe du système, ne diffèrent donc que par un facteur constant

l38 TOME I. — CHAPITRE II.

autre que zéro des expressions correspondantes relatives à la courbe donnée ; et par là se trouve démontré notre théorème : Toutes les coniques du système (i6) 5e touchent en deux points, et (j) est le pôle de leur corde de contact.

Nous allons, pour finir, effectuer la décomposition de l'équation du couple de tangentes dans un exemple simple. Etant donnée l'ellipse

il-»-«»

on demande de déterminer le couple de tangentes menées à cette courbe par un point (Ç,yi)- On a ici

^ - ^ "•" ir-

L'équation du couple de lignes peut dans cette circonstance s'écrire

a«i'(PR- Q*)=:r(.r>,— jÇ)*— (^ — Ç)«i*— (j— 73)«a» = o;

pour décomposer cette expression en ses deux facteurs linéaires

ax -f- ßj -f- 7 = G, afx -h P'y + y' = o,

nous avons à nous servir des équations en a, ß^l ces dernières, si on les multiplie toutes par a^b^ et qu'on pose p à la place de pa^b^f prennent ici la forme suivante :

««'= >J* — ô», |3a'r=— Çïj — p, yx' - Z>»Ç-4-p>j,

ap' = ç, -+- p, PP' =r V - a*, yP' r^ a\ - pÇ, «7'= é*Ç-pu, Py'= fl«,-HpÇ, 77'=ô«ç»-a«i3«,

où l'on a, d'après (i5), et comme on le démontre aussi sans peine directement

p« = 6«Ç«-+-a«ïî» — a«A«.

Les équations des deux tangentes cherchées sont donc, si p dé-

LES COCRBES DO SECOXD ORDBE ET DP LA SECOIIDE CLASSE. l39

signe une des racines de l'équation en p^, données par

**f 1-^ — 5) -+-«'13(7 — >?) H-pfÇj — XT3; = o et

*»Ç(j:— Ç) -f- a*r,{x — m) — piïjr —xn] —o.

Des considérations semblables peuvent cire développées d'une manière simple à l'égard de l'hyperbole et de la parabole.