IV. — Sur les problèmes réciproques

Si, dans nos recherches précédentes, nous sommes constamment partis de l'équation de la conique en coordonnées points

c'était seulement pour nous rattacher à la conception plus usuelle où l'on envisage le point comme élément générateur des figures géométriques. D'autre part, nous étions autorisés à cette étude non dualistique par ce motif, qu'en général, comme nous l'avons démontré, une courbe du deuxième ordre est aussi de la deuxième classe. En efTet, en prenant pour base l'équation de la conique en coordonnées lignes

;'i) llkikU^u^z:=[K^u^ -J- AjUj-h Aj«,)- - o,

nous serions conduits à des problèmes identiques à ceux que nous avons traités déjà; seulement ces problèmes nous apparaîtraient à un autre point de vue. Il n'en est toutefois pas ainsi pour les coniques évanouissantes, et, au lieu du couple de lignes, on rencontre le couple de points. Nous allons indiquer d'une manière générale dans ce qui suit le chemin que prendront avec ce point de départ les recherches corrélatives de celles qui précèdent. Pour plus de clarté, nous écrirons, en face des théorèmes et des problèmes qui s'offrent maintenant à notre examen, ceux qui leur correspondent dualistiquement et que nous avons étudiés plus haut. Le point de départ de la théorie est le problème que nous avons traité en dernier lieu dans notre exposition précédente.

Déterminer les deux tangentes menées à la courbe par le point d'intersection de deux droites v, tv.

Déterminer les deux points de la courbé situés sur la ligne qui joint deux points y et z.

Nous poserons donc

(l) UiZ= m'i-\-iVi{i = l''i''^),

et nous obtiendrons par là une équation du second degré en [i :

ft*L+ ?.f*H+ G = o, dans laquelle

L=(A,»', -f-Ajfj -t-Ajfj)*, G= (A,M',H- Aj«'j-4- Aa^Vj)', 11= (A,r, -f- Aji'j 4- A3»'3)(Ai«'i-f- A,«',+ A3«',).

Les valeurs des quantités u/ qui correspondent aux deux racines donnent alors les coordonnées des deux tangentes. Ces tangentes sont :

réelles pour H* ^ GL,

imaginaires pour H* <^ GL, coïncidentes pour H* r= GL ;

dans ce dernier cas, le point d'intersection des lignes ^^, w est situé sur la courbe.

A cette question se rattache la suivante :

Quelle situation doit occuper le point z pour former avec y et les points où la ligne qui joint ces deux points rencontre la courbe un rapport anharmonique donné (p. 9^)?

Quelle situation doit occuper la ligne w pour former avec i> et les deux tangentes qui passent par l'intersection de V et de w un rapport anharmonique donné?

On trouve pour w l'équation du second degré

(a-f-i)»GL-4aH« = o,

qui représente, si l'on y considère a comme variable, un système de coniques enveloppées par w. Parmi ces coniques s'en trouve comprise une exceptionnelle qui correspond au cas de a = — i , à savoir un point comptant double; par conséquent :

Si de tous les points d'une droite v on mène des tangentes à la conique^ et qu'on détermine pour chacun d'eux le rayon quatrième harmonique à V et aux deux tangentes, tous ces rayons harmoniques passent par un même point qui est le pâle itela droites. Son équation est

H=rO.

Si l'on détermine sur tous les rayons pas s-ant par un point y leurs intersections avec la conique ainsi que le point quatrième harmonique à y et aux deux intersections, tous ces points harmoniques sont situés sur une droite qui est la polaire du point y. Son équation est