LES COORDES DD SECO!<D ORDRE ET DE LA 8EC0!«DE CLASSE
Les coordonnées du pôle sont les coefficients des grandeurs w dans l'expression H ; par conséquent,
i^Xi = A,i»', 4- A,jPj-+- A,3f3, ff^, = Aji^i -4- A„f j 4- AjjP,, > o-ja ^Ajif, -i- AsjPj-f- Ajafj.
La relation du pôle à la ligne ^ est donc la même que celle
trouvée précédemment, si par Ai/, on entend les déterminants
mineurs du déterminant A d'une conique donnée comme figure
ponctuelle
22 aiifXiXj^ = 0.
On le voit aussi immédiatement si l'on considère les points où la corde de contact des tangentes menées par un des points de \f coupe la ligne %> elle-même. Un point de celte espèce sera toujours le pole d'une ligne correspondante w. Ces droites doivent donc, suivant les lois connues sur la réciprocité polaire, envelopper le pôle de V. La recherche du lieu enveloppé par les rayons harmoniques à une droite et aux tangentes issues d'un de ses points ne conduit ainsi à rien de nouveau : nous sommes ramenés aux lois de réciprocité polaire expliquées en abordant le sujet. Comme conséquence, nous avons en particulier les théorèmes suivants :
Si u passe par le pôle de c, v passe par le pôle de u.
Le pôle d'une droite est le point d'intersection des tangentes menées à la conique j)ar ses points de rencontre avec la droite.
Le pôle d'une tangente à la conique est le point de contact de cette tangente.
Si X est situé sur la polaire de y, y est situé sur la polaire de x.
La polaire d'un point est la ligne qui joint les deux points de contact des tangentes menées par ce point à la conique.
La polaire d'un point de la conique est la tangente en ce point.
Le dernier théorème nous donne le moyen de représenter l'équation de la courbe en coordonnées points, de même que le théorème correspondant nous a permis de faire précédemment l'inverse. Si l'on désigne, en effet, par „%> le déterminant
Aji A12 A|3 Aji A22 A23 A31 A32 A33
,/a Toai I. — cBApmiE n.
et par ^eik ses déterminants mineurs binaires, la résolution des
équations (a) donne, en posant — P = "'
pi», = XitXx -^ ■^^tiXi -+- --^3» 78»
pPj = Xn Jl + <A>J3 J2 -+- <^38J^'3>
et la condition que y se trouve sur w donne l'équation de la conique en coordonnées points
•^11^? + «^«^2 + «^3373 + 2 0.1,12 J1J2+ 2 X(3jij3+ 2^,3 J, Ja = O,
équation que nous pourrions obtenir sous la forme d'un déterminant, si entre (2) et
nous éliminions a et les quantités i>i ; par conséquent :
Si l'équation et une conique en coordonnées points est
(3)* llaii^XiOCk—O,
cette conique est représentée en coordonnées lignes par
(4)* llkikUiU^.— O
ou par
Si l'équation d'une conique en coordonnées lignes est
(3) llkikUiUk = o,
cette conique est représentée en coordonnées points par
(4) llXikXiJCk=o ou par
Ai3
■Ta
Si nous posons en fait que les équations (4)*> (5)* sont identiques avec (3), réciproquement les équations (4), (5) doivent se ramener à (3)*, et c'est en effet ce qui a lieu d'après les théorèmes sur les déterminants qui ont été donnés dans l'introduction relativement aux systèmes adjoints (p. 26). Nous avons, en effet, suivant ces théorèmes,
et, pour les déterminants mineurs,
(7) *W=A.rt,vi-.
LES COCRBES DD SECOlfD ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. 1^3
L'équation (4) se transforme donc effectivement en
A . ZZ Oj/f X( X/c = o,
c'est-à-dire ne^e distingue de (3)* que par un facteur constant différent de zéro; car nous avons supposé dans toutes ces considérations qu'il ne s'agit pas de coniques évanouissantes.
La théorie des polaires nous a conduits plus haut, par la considération de ce qu'on appelle les triangles polaires, à une forme très-simple de l'équation des coniques; la même chose a lieu ici. Prenons un triangle polaire comme triangle des coordonnées; l'équation devient
en coordonnées lignes :
aj ü; -f- aj «2 + aj «3 = o.
en coordonnées points :
Cependant les recherches que nous avons rattachées à celte forme d'équation, en choisissant pour l'un des côtés du triangle la droite de l'infini, et surtout les considérations sur les rapports de la conique avec cette droite ne doivent pas figurer dans notre exposition actuelle, car il n'existe pas dans le plan de point exceptionnel correspondant. Au surplus, nous apprendrons plus tard à connaître deux points remarquables du plan qui, par leurs relations avec les coniques, sont le fondement des théorèmes métriques sur ces courbes, et l'étude de ces points nous conduira en particulier à la théorie des foyers.
Il nous reste d'abord à expliquer ce que signifie Y évanouissement du déterminant ^. Les équations (2) ne sont alors plus résolubles; d'autre part, on peut déterminer une ligne w telle que les
trois équations
An «1 + A, 2 «2 -f- A,3 W3 = o,
Ajj wi H- A22 Mj 4- Aj3 wj = o,
A3I Wi + A3J Wj + A33 «3 = 0
aient lieu simultanément, et l'on trouve, au surplus, que, si une ligne V satisfait à l'équation
toute ligne du faisceau v' -h Xw remplit aussi cette condition. Nous en concluons, en transportant immédiatement les autres théorèmes
sur le système de deux lignes droites, conformément au principe de dualité :
Si le déterminant X d'une conique s'épanouit, celle conique dégénère en un couple dépeints. A chaque droite appartient comme pôle un point situé sur la ligne qui joint les deux points du couple, et chaque point de cette ligne de jonction a toutes les droites menées par le point quatrième harmonique pour polaires.
L'équation de la conique en coordonnées points représente la ligne de jonction des deux points comptée deux fois ; on a alors
Pour déterminer les coordonnées des deux points a et b, en lesquels la conique se décompose, nous avons ici les équations
«1 bi zz~ Ail, «2 ^:j -i- ^2 «3 = 2 Ajj,
«j èj = Aii, «73 Ä, + ^3 «1 == 2A31, ^3^3=-A33, «1 é,-!- ^1 «2 = 2A,ï,
qui ne sont résolubles que sous la condition
Jl. =: o.
La question se trouve encore particularisée davantage si tous les déterminants mineurs Xik s'évanouissent également; on a alors l'énoncé suivant :
Si le déterminant A d 'une conique s'évanoull, cette conique dégénère en un couple de droites. A chaque point appartient comme polaire une droite passant par l'intersection des lignes du couple, et chaque rayon passant par ce point d'intersection a tous les points du rayon quatrième harmonique pour pôles.
L'équation de la conique en coordonnées lignes représente le point d'intersection des deux lignes compté deux fois ; on a alors
Si tous les déterminants mineurs de A> sont nuls, l'équation
HkikUiU^:=0
représente un point unique compté deux fois.
Si tous les déterminants mineurs de A sont nuls, l'équation
représente une droite unique comptée deux fois.
Au moyen du théorème ainsi obtenu, nous pouvons encore reconnaître que l'équation d'une conique YLaikXiXk, dont le déterminant A est nul, donne, en coordonnées lignes 22 Aja m,- ua = o, le point double de la conique ; car, si nous formons pour cette der-
LES COCRBES DU tECOXB OBMB ET BB LA SECONDE CLA8«B. 1^3
nière équation les déterminants mineurs de son déterminant „V,, ceux-ci s'évanouissent tous par suite de (7).
Les équations qui nous ont appris à décomposer une courbe de seconde classe à déterminant nul en ses facteurs linéaires peuvent servir en particulier à la solution du problème suivant :
Déterminer les points d'intersec- j Déterminer les tangentes menées tion d'une droite v avec une courbe d'un point y à une courbe du second de la deuxième classe. \ ordre.
Nous partirons ici du système de coniques
(8) (a-f-i -GL — 4aH'- = o,
qui nous a donné, pour a = — i, l'équation du pole de la ligne u
La valeur a=.\ donne les deux points cherchés; car la droite quatrième harmonique à t' et aux deux tangentes menées par l'un des points doit coïncider avec la ligne double dont se compose alors le couple de tangentes. Le couple de points est donc représenté par
GL — H^ = o,
et la décomposition de cette équation se fait absolument de la même manière que celle de Téquation correspondante (p. i34)
PR — Q- = o.
En corrélation avec ce qui précède, on peut encore démontrer que toutes les courbes du système (8) (si nous regardons a comme un paramètre) ont les mêmes points d'intersection avec la ligne v et les mêmes tangentes en ces points. Nous avions trouvé auparavant une propriété semblable pour le système
9) {«-4-i)*PR-4«Q« = o,
toutes les courbes dont il se compose ayant en commun les tangentes issues àe j et les points de contact de ces tangentes. Donc si nous considérons v comme la polaire du point j, les équations (8 j et (9) nous représentent le même système de coniques, pourvu que par les Kik nous entendions les déterminants mineurs de A. Nous allons en outre démontrer que l'un des systèmes est conjugué à l'autre par réciprocité polaire, la conique Y^LaïkXiXk étant la base de la correspondance, c'est-à-dire que la polaire w em^eloppe une co-
Clebscii. — Géométrie, I. lO
nique de (8) si son pôle z parcourt une courbe de (9) déterminée
par une 'valeur égale du paramètre a. Entre w et z existent les
relations
Maintenant on a, d'après la seconde forme que nous avons donnée à l'équation d'une conique en coordonnées lignes,
(j=Hhik»'i»'k = —
«Il «12
«ll^o-f- ÖJ2 Zj +
rt'.
Multiplions dans le dernier déterminant les première, deuxième et troisième lignes verticales respectivement par Zi, z^, Z3, et retranchons-les de la dernière ; nous obtiendrons, à cause de
le résultat suivant :
-lla^ZiZ/i.
ou
(«il
Introduisant de même, dans l'expression de L, les coordonnées du pôle j de la droite u, il vient
la
rt
Pour transformer enfin corrélativement
LES CnCRBES DC 8EC0XD ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE.
observons que cette quantité se tire de G, à partie facteur ~, si l'on ordonne suivant Wt, W3, W3, c'est-à-dire si l'on écrit G sous la forme
«f, laïK-d'/,
<»',2rtu"',
et qu'ensuite on remplace dans les sommes la lettre w par la lettre w», procédé que nous pouvons, en employant les notations usitées dans le Calcul différentiel, représenter brièvement de la manière suivante :
dQ
âl
— »2+ fj
Si nous effectuons maintenant cette opération sur le déterminant au moyen duquel nous avons représenté G, nous obtiendrons
Multiplions dans ce déterminant la première, la deuxième et la troisième ligne verticale par — z,, — Zo, — z^ respectivement, ajoutons-les à la dernière multipliée par p et ayons égard à l'équation
p(r,z, -H »»aZi 4- ••333) =Q; nous trouverons
I «Il «12 «13 o
OU
donc, par suite des équations (i i), (12), (i3), le système de courbes
(8) (aH-l)*GL— 4aH*=o
A se transforme, à part le facteur — différent de zéro, en cet autre
(9) («-f-i)*PR-4aQ' = o,
et notre proposition se trouve ainsi démontrée,
•l48 lOJIE I. — CHAPITRE II.
Pour finir ces considérations, nous allons réunir en un tableau les différentes espèces de courbes du second ordre ou de la seconde classe suivant la manière dont elles peuvent être repré scntées en coordonnées points ou en coordonnées lignes. Nous ajouterons à chaque courbe le nombre des constantes dont elle dépend, c'est-à-dire le nombre des points ou des tangentes par l«'(iuel une courbe de cette nature est déterminée. Ainsi une courbe générale renferme cinq constantes, un système de deux lignes droites quatre, une ligne double deux. Une courbe dépendant de trois constantes serait donnée par une ligne double et par un point double réuni avec elle : cette combinaison s'obtient en partant d'un système de deux droites ou d'un système de deux points, si l'on amène par degrés les deux droites ou les deux points à se confondre sans que leur point d'intersection ou leur ligne de jonction devienne indéterminée. Mais une courbe de cette nature ne peut pas être représentée en coordonnées points ou en coordonnées lignes par une seule équation; il est nécessaire pour cela d'en avoir deux de la forme
11 afk-TiX^ = O, 11 h il, M, //;[. = o,
telles que les déterminants mineurs des «/a aussi bien que ceux des hik s'évanouissent et que l'on ait
«M : «12 : "vi = «21 : «22 '• ('r\ — «3
et enfin
'•>] Il + f'>2?2 H- ''»3?:i = "•
Pour être complets, nous ferons aussi figurer ce cas au tableau ci-dessous, dans lequel il se présente comme cas limite à la fois entre le couple de lignes et la ligne double, et entre le couple de points et le point double. Nous avons en conséquence, pour les courbes du deiuciè/.ie ordre et de la deuxième classe, dont les équations ne renferment que des coefficients réels, le tableau suivant :
