III. — Courbes delà deuxième classe

I* Couple de points.

4 constantes.

deux points réels ou imaginaires conjugués.

(Au point de vue de l'ordre, lign«> double.)

a" Ligne double et point double en situation réunie.

3 constantes.

3* Ligne double

1 constantes.

3° Point double {').

1 constantes.

Si la parabole a été comprise dans ce tableau parmi les coniques à cinq constantes, il faut en conclure seulement que la parabole doit être placée à côté de l'ellipse et de l'hyperbole en partant de ce point de vue qu'une conique non évanouissante peut d'ailleurs avoir une position particulière quelconque relativement à la droite de l'infini. La parabole, au contraire, comme telle dépend seulement de quatre quantités arbitraires, puisque par le mot de parabole une constante se trouve déterminée, ou qu'en d'autres termes on donne déjà une des tangentes de la courbe, à savoir la droite de l'infini.

Une parabole est complètement déterminée par trois de ses

(*) Ces figures sont toujours réelles si les coefficients a^, dans l'équation

ou Ajj, dans

sont eux-mêmes réels.

l50 TOME I. — CIIAPITBE II.

points et par la direction de son axe, car cette dernière détermine le point où la courbe est touchée par la droite de l'infini, de telle sorte qu'en dehors des trois premiers points dont il a été parlé on se trouve en avoir donné encore deux autres infiniment voisins à distance infinie.

Le mode d'existence des coniques dans le système représenté par les équations (8) ou (9) présente, eu égard au tableau qui précède, un intérêt particulier.

L'équation en coordonnées lignes (8) nous donne un point double {H=o) et un couple de points (GL — H-=.o); d'autre part les deux courbes ne peuvent être représentées par une équation de la forme (9), et l'on ne découvre leur existence dans ce système qu'en les considérant comme dérivées des courbes générales par variation du paramètre a et passage à la limite. L'équation en, coordonnées points (9) donne au contraire une ligne double (Q = o) et un couple de lignes (PR — Q^ = o) qui ne peuvent s'exprimer par une équation de la forme (8). Alors le point double dans (8) est en même temps le point double du couple de lignes dans (9), et la ligne double dans (9) est en même temps la ligne qui joint les points du couple de points compris dans (8).