V. — Relations entre deux coniques

Lorsque deux coniques sont données, la première question qui se présente naturellement à l'esprit est celle du nombre de leurs points communs ou de leurs tangentes communes, et de la détermination analytique de ces éléments.

Supposons que les équations en coordonnées points des deux coniques dont il s'agit soient

/= 11 OikXiXk =0 et ^—11 bii, .r,:ri. = o.

Pour déterminer leurs points d'intersection nous pouvons procéder de la manière suivante. Ordonnons les premiers membres suivant les puissances d'une variable, X3 par exemple, et écrivons par suite les équations do courbes sous la forme

LES COCRBES DC SECOND ORDRE ET DE LÀ SECONDE CLASSE. l5l

V, B étant du second, A.', B'du premier degré en x,, X2 et A'', B^ ne renfermant plus ces grandeurs (d'où il suit que A" = a»3, W = b33). Entre les deux dernières équations nous pouvons éliminer Xj en déterminant les rapports l'.Xslxl- Nous obtenons

ainsi

p. i r=.VB^— B'A",

p.xl= AB' — BA';

et il en résulte immédiatement que le produit de la première et de la dernière expression est égal au carré de celle du milieu, c'est-àdire que