A'B" — B'A")(AB'— BA')=: A'^B— B"A;S

équation du quatrième degré par rapport à l'inconnue — ; ses

quatre racines donnent donc les quatre rayons menés du point Xf =0,0:2 = o aux points d'intersection des deux courbes, etcomme les choses se passent d'une manière analogue pour les courbes de la deuxième classe, nous avons ces théorèmes :

Deux coniques se coupent en gênerai en quatre points.

Deu.r coniques ont en général quatre tangentes communes.

Naturellement il n'est pas nécessaire que les quatre points soient tous réels non plus que les quatre tangentes : il peut y en avoir deux réels et deux imaginaires; tous les quatre encore peuvent être imaginaires. Enfin quelques-uns des quatre points peuvent se rapprocher indéfiniment, auquel cas les coniques sont tangentes. Nous commencerons toutefois par exclure ces derniers cas de notre examen : nous y reviendrons plus tard d'une manière plus précise. Nous supposerons donc que les quatre points d'intersection réels ou imaginaires (de même que les tangentes communes soient séparés ; d'ailleurs, dans ce qui suit, nous nous restreindrons d'abord à la détermination des points communs, celle des tangentes communes s'en déduisant par application du principe de dualité.

En premier lieu, comme cinq points déterminent complètement une conique, il y aura un nombre infini de courbes du deuxième ordre passant par les quatre intersections àe f= o et o = o, et l'é-

l5a TOME I. — CHAPITRE II.

quation de chacune de ces courbes peut s'écrire sous la forme

X élant un paramètre, de telle sorte qu'à chaque valeur de X corresponde une conique déterminée passant par les quatre points; car l'équation est satisfaite dès que / et q> s'évanouissent simultanément, et d'un autre côté toute conique de l'espèce considérée a nécessairement la forme (i), parce que par un cinquième point quelconque il ne passe qu'une seule courbe de cette nature et qu'il s'en trouve une parmi les coniques représentées par (i). Si, en effet, l'on substitue dans (i) les coordonnées de ce cinquième point, et qu'on désigne par ff^, ^o ce que deviennent f, ç par le résultat de cette substitution, on peut considérer l'équation

comme une équation servant à la détermination de /, et l'équation de la conique qui passe par le point en question est par suite

On a coutume d'appeler le système de ces coniques à quatre points communs xin faisceau de coniques : l'équation (i) donne alors une conique quelconque du faisceau ; c'est V équation du faisceau .

Par les quatre points de base du faisceau passent en particulier trois coniques exceptionnelles et improprement dites, c'est-à-dire (puisque nous supposons y et <{> donnés en coordonnées points) de l'espèce de celles qui se décomposent en deux droites : ce sont les couples formés par les lignes de jonction des quatre points, ou, en d'autres termes, les six côtés du quadrangle complet déterminé par ces quatre points. Deux des lignes en question, renfermant ensemble les quatre points, forment une conique de l'espèce précitée. Les trois courbes exceptionnelles ainsi caractérisées doivent donc être représentées aussi dans l'équation (i) au moyen de valeurs spéciales de X. En effet, la condition que la conique f' — X'5 = o se décompose conduit à une équation du troisième degré en X, car cette condition est donnée par l'évanouissement du déterminant de la conique en question, et chaque coefficient de l'équation de celle conique renferme X linéairement; donc, en

LES COCRBtS Dt' SLCOND ORDBE ET DE LA SECONDE CLASSE. l53

désignant par A (X) le déterminant dont il s'agit, nous obtenons la condition

(a) A(X)'= a„— ^fc,, a« — ).3,î «ta — >•/-'« =o.

«31—^*31 «31 — ^^*31 «33 — X^îJ

Soient '/!, X", //" les racines de cette équation que nous supposerons d'abord différentes; les courbes correspondantes de notre faisceau représentent les couples de lignes dont il a été parlé et

nous pouvons poser

//— Vç, = A'.B',

A', B', . . , désignant des fonctions linéaires des x. Si, d'après cela, on connaît les racines de l'équation cubique (2), et qu'on effectue réellement dans deux des expressions (3) la décqmposition en facteurs linéaires, ce qui, d'après nos considérations précédentes, nécessite chaque fois une équation du second degré, les intersections des deux couples de droites ainsi trouvés donneront linéairement les intersections des deux courbes du second ordre

(/et?)-

Nous allons traiter ce problème encore plus en détail en partant

d'un autre point de vue, et nous trouverons en même temps l'occasion de développer une série de relations fondamentales entre deux coniques. Si, en apparence, nous n'arrivons au but que par un circuit en faisant dépendre la solution du problème de celle d'un autre au moyen d'une équation du troisième degré, nous devons nous rappeler que la résolution effective de l'équation du quatrième degré, établie directement plus haut, ne peut être obtenue qu'avec le secours d'une équation du troisième degré, la résolvante ( * ).

Construisons d'abord les faux sommets du quadrangle complet déterminé par les quatre points d'intersection [fig. 22); il résulte alors de la construction de la polaire que chacun des trois faux

(*) Voir, sur la résolution des équations du quatrième degré, la partie suivante de ces Leçons.

l54 TOME I. — OIAPITIIE II.

sommets a la ligne qui joint les deux autres pour polaire relativement aux deux courbes. Le triangle formé par les faux somme Ls est par suite un triangle polaire commun pour les deux coniques, et c'est le seul de son espèce. Cette dernière particularité résulte de ce que le triangle formé des mômes éléments est aussi un triangle polaire pour toutes les coniques du faisceau

et, par conséquent, en particulier pour les trois couples de lignes qui y sont compris. Or, pour ceux-ci, la polaire d'un point quelconque passe par le point double du couple. Par conséquent, les lignes qui joignent les trois points doubles sont les côtés du triangle polaire, et les points doubles forment les sommets de ce môme triangle.

La recherche de ce triangle polaire forme l'objet principal des développements qui suivent. Au lieu, en effet, de déterminer les trois couples de lignes du faisceau, nous chercherons leurs points doubles, c'est-à-dire les sommets du triangle polaire par la détermination desquels notre problème sera en substance résolu.

Nous avons vu plus haut que dans l'équation d'une conique les carrés des variables entrent seuls lorsqu'on choisit pour triangle des coordonnées un triangle polaire. Si donc nous prenons pour triangle de coordonnées le triangle polaire commun de f et de cj-, les équations de ces deux coniques se présenteront sous la forme

/= «I JT -î- «»ri -^ "zrl ~ O'

Les trois coefficients de l'une des deux fonctions peuvent d'ailleurs être pris simplement égaux à l'unité, de sorte que, par exemple,

?=J7H-Ju -+-J3-

Si, en effet, nous nous représentons les y comme des fonctions linéaires des anciennes coordonnées x, de telle manière qu'en introduisant ces dernières / et <p reprennent la forme précédente Z>'Lai/(XiX/f et liLb/fiXiX/,, nous pouvons, en multipliant les trois équations qui représentent la transformation par des constantes convenables, choisir la définition des coordonnées j- de manière

LES COIRHES DL* SECOND OBDRC ET DE LA SECO^tDE CLASSE. l3S

que les facteurs précédents bt, b^, b^ s'y absorbent (•). On suppose, il est vrai, et celte condition doit toujours être remplie, que 9 ne se compose pas d'un couple de lignes, auquel cas l'un des coeflîcienls b serait nul. Alors 9 = 0 serait lui-même un des trois couples cherchés, et la détermination des points d'intersection n'exigerait plus que la séparation des deux facteurs de 9 et la recherche des points d'intersection des droites ainsi obtenues avec fzzz o. Par cette fixation des coefficients de 9, ceux dej'se trouvent aussi complètement déterminés; car, pour que les trois équations (3) puissent avoir lieu, une équation telle que f — A9 ne doit plus renfermer que deux variables ; on ne peut, en effet, décomposer en facteurs linéaires une fonction homogène des carrés de trois variables. Nous avons donc à faire les a respectivement égaux aux racines de l'équation (2), et nous pouvons alors formuler notre problème de la manière suivante :

On demande de déterminer une substitution linéaire

i Xl = «I -^1 -^ «2 -^I + «3 -^3'

(4) \ Ji = «' ^\ -^ «2J^2+ «3X3,

de manière à pouvoir ramener simultanément deux fonctions données f^ ^YianXiX/f, 9 = SSô,* a:/ j:;^ aux formes

S f= Jl-^ JZ-^ Xh

'/! , '/."y 7!" étant les racines de l'équation eubique A().) =0.

Si nous supposons d'abord le problème résolu, les trois couples de lignes cherchés seront représentés par

/ À'y = [Y -v)x% + [y-v )ri = o, /- À-î^ =. >' - )-) j? 4- ( /" - À-)ri = o.

(') Uae équation

rî-+-.'î-+-^î = o

ne présente primitivement qu'une conique imaginaire; cependant on peut aussi mettre sous cette forme l'équation

si l'on pose

l56 TOME I. — CHAPITRE II.

et ces expressions peuvent se décomposer immédiatement en facteurs. Ainsi les lignes du premier couple, par exemple, sont données par

V^r — Yy^ -+- y^-X* J3 = o, et 0." — >.'j, - ^/W — '/" j,z=o.

Pour trouver enfin les points d'intersection eux-ménies de Jet de 9, il suffit d'égaler en même temps à zéro les deux expressions (5), ce qui nous donne deux équations linéaires homogènes ^^J'\y yif yi- ^^ moyen de ces équations, nous pouvons, suivant les règles connues, calculer les rapports des carrés en question, et il vient ainsi, p étant un facteur de proportionnalité.

PJ?

?yi

Nous avons par conséquent pour les coordonnées des points d'intersection, si nous écrivons o- à la place de \lp,

Les huit combinaisons de signes, qui sont ici possibles, conduisent en réalité à quatre systèmes seulement de valeurs des j^; car elles donnent deux par deux les coordonnées du même point lorsqu'elles ne diffèrent que par un facteur commun — i.

Notre problème de la détermination des quatre points d'interjection est donc résolu de la manière la plus générale, dès que les y sont supposés donnés comme fonctions des x par les équations (4). Nous avons encore maintenant à eficctucr réellement la détermination des coefficients a de la transformation. Toutefois, avant d'y arriver, nous devons parler des développements dualisliques correspondants auxquels donne lieu la recherche des quatre tangentes communes. Nous verrons que la détermination de ces tangentes peut être obtenue par la même équation cubique (a) et par la même transformation (4).

Si nous désignons par A^, B,vkles déterminants mineurs binaires formés avec les grandeurs a,*, è,*, les équations des coniques /

LL8 COinnES DU SECOND URDRK ET DE LA SECONDE CLASSE. |57

el ç en coordonnées lignes seront

Y = 11 A/A u, «A = o, i' — llBaUiUji. = o.

Si maintenanl [i est un paramètre, l'équation

(7) F— u*=rO,

représente un sjslènie de coniques en nombre simplement infini, qui ont toutes quatre tangentes communes avec F et <ï>, et dans cette forme d'équation sont comprises toutes les courbes de la deuxième classe qui touchent ces quatre tangentes. Il existe, en particulier, dans le système, trois courbes qui se décomposent en un couple de points; ce sont les couples formés par les points d'intersection des quatre tangentes, c'est-à-dire les six sommets du quadrilatère complet déterminé par ces dernières {fig. 22); deux

points par lesquels passent deux à deux les quatre tangentes forment une courbe du système. La construction du pôle d'une droite apprend d'ailleurs que la ligne qui joint deux points d'un couple est la polaire du point d'intersection des droites déterminées par les deux autres couples, que^ par conséquent, les faux côtés du quadrilatère complet composé des tangentes communes

forment un triangle polaire commun aux deux coniques. Or, comme nous avons montré plus haut qu'il n'existe pour deux coniques qu'un seul triangle de cette espèce, celui que nous venons de trouver ici et celui auquel nous avons été conduits d'abord en partant des coordonnées points sont nécessairement identiques. On s'en convaincra au surplus immédiatement en jetant un coup d'œil sur la construction des deux triangles. La détermination des quatre tangentes communes s'opère donc à l'aide de ce triangle comme a été effectuée plus haut celle des points communs, et, par conséquent, le problème actuel est ramené au précédent, car l'équation cubique nécessaire ici est déjà résolue par l'équation (2).

Si nous prenons en effet, de nouveau, le triangle polaire commun àyet à <p pour triangle des coordonnées, et que nous supposions ces courbes sous la forme (5), leurs équations en coordonnées

lignes seront

F = /"/"V7 4- ^''Vvz -\- À'/".-;; = o,

Les coefficients ne dépendent donc en réalité que des racines de

l'équation (2)

La détermination des couples de points eux-mêmes, c'est-à-dire

des intersections des tangentes communes, s'effectue ensuite en

faisant dans l'équation

p successivement égal à Î/'X'", X'"X', X'X". On trouve ainsi les trois coniques évanouissantes du système, savoir

F — y'/'»* = v"(v r)vi -f. /"{v — 'K")t>i = o,

F — VV * = Y' [Y — V )i>-i -{- y [Y — Y)i^l =z o, F y Y * = Y [Y' — V ) v'^^ H- V [Y' — Y ) •-;■ = o.

Pour les coordonnées des quatre tangentes communes, on tire

(*) On voit, par les équations (8), quo los racines de l'équation cubique, donnée par révanouisscmont du déterminant qu'on peut former arec les grandeurs A^ — A*Ba» •""* les inTcrscs des racines do à {!) =■ o.

LES COCRBES DU SECOND ORDRE ET DE LA SECONDE CLiSSE.

liX)

cnfîn des équations (8 > les valeurs

pi., = ±:vV(r-r),

pv,=±>/r{y -i'].

et les huit combinaisons de signes qui sont ici possibles donnent, comme dans les équations (6), en réalité seulement quatre positions distinctes des tangentes.

Nous avons maintenant encore à effectuer réellement la détermination des coefficients a de la transformation, coefficients que nous avons provisoirement supposés connus.

Résolvant les équations de transformation

J'i = a,x, -f- ajj:, H-a^j:,, Xt = a' x, H- a^x, + «â Jr,, ^3 = a7.ri -+- a* X, -h ajXj,

par rapport aux x, et désignant par |3^ les déterminants mineurs d'un élément a, ' du déterminant

m fr

divisés par ce déterminant lui-même, nous obtiendrons, d'après des propositions connues sur les déterminants, les équations suivantes :

Suivant les règles générales données plus haut sur la transformation des coordonnées, les équations correspondantes en coordonnées lignes sont fournies par les substitutions transposées, c'est-àdire par

/ v^z=f^u^-h ff^ «, -+■ ^3 «3, u, = a , i», -f- a' »-j + a7 t'a, (il) « •'j = S', «i + ^«j-hP^«3, «j = a2i'j-f-a'^f'i-i-a>3,

' f'3 = Pl"i-+-p^"i-^^"3^ «3 = a3»'i-^-«3''i-*-'4*'3- D'ailleurs nous avons donné plus haut la signification géométrique

iGo TOME I. — CHAPITRE II.

des coefficients de la substitution ; il en résulte que les grandeurs (P-88) , , ,

sont respectivement les coordonnées des côtés du nouveau triangle de base par rapport à l'ancien système de coordonnées des x, et

les grandeurs

Ä" fit" c"

Pm P-' Ps' " ^7. ^, .3^,

respectivement les coordonnées des sommets opposés du nouveau triangle par rapport à l'ancien. Or ce nouveau triangle est, dans notre cas, le triangle polaire commun aux coniques f et <p, et, par conséquent, chacun de ses sommets a, relativement aux deux courbes, la même polaire, c'est-à-dire que les coordonnées de chaque polaire prise par rapport aux deux coniques sont nécessairement proportionnelles. Nous obtenons ainsi les trois systèmes suivants de trois équations :

«» P'r+ «« P!l+ «î3 .S'i' = i^i[b,, ^'|'+ 6„ |3'«>-f- è„ jS'i'),

«31 iS'i' + «32 P'!} -+- «33 P'i* = /*.• (*3I P'/' + *3« P'J' + ^33 i3''').

Nous avons à remplacer successivement ß^^ par j5'^, ß][, ßj, elf*,par Pi, f.2> /JI3, pour obtenir les trois systèmes d'équations. Si l'on ordonne suivant les grandeurs ß, les équations précédentes deviennent

[xi] («„ - ,x/ 6„ ) P'i' 4- («„ - «, b,, ) p[^ 4- (a„ - i^i hz ] ^'i' = o.

( («3i-/*/*.i)i3'i'-+-(rt3,-f*/6„)P'i'4- (a„-ft,633)P''> = 0;

d'où, par élimination des quantités ß, nous obtenons de nouveau pour la détermination de \x l'équation cubique (2)

«II— /**it «lï— .'*'''|J «13— ."^u

«11— H^ti «n— /**« «J3— ,«**« =0.

«Il — f» *»l «81 — f* *3» «J» — ft *3S

LES COCRBKS CO SECOÜD OIDRE ET DE LA SECOKDE CLASSE. l6l

Les grandeurs /uti, fXa» y-z qui figurent dans les équations (12) sont donc précisément égales aux racines X', À", W" de Téquation que nous venons d'écrire. En substituant une de ces valeurs dans (12), nous pourrons, au moyen de deux des équations, calculer les rapports des ß'-j^^; nous aurons ensuite, pour les deux autres systèmes de trois équations, à employer respectivement les deux autres racines de (2). Nous pouvons, par suite, calculer les valeurs

De ^,, ^2, ^'3 à un facteur a' près.

De jS^, ^, J5* à un facteur o" près.

De 15^, |5^, ^ à un facteur p" près.

Pour déterminer enfin ces facteurs eux-mêmes, nous substituons les valeurs trouvées des ßj^^ dans les équations (10); il faut alors, au moyen de ces équations, ramener la conique cf à la forme

et p', p", p'" doivent être choisis conformément à celle condition. Notre problème de transformation se trouve ainsi complètement résolu.

La voie qui nous a conduits au but n'est néanmoins pas à signaler comme élégante au point de vue algébrique ; nous avons sans doute résolu ce problème, mais le résultat apparaît comme conséquence d'un calcul prolixe. Nous n'avons pas d'ailleurs scruté profondément la nature de ces questions de transformation, tandis que le problème actuel habilement traité fournit à diverses reprises l'occasion d'explications générales propres à compléter notre ensemble d'idées. Nous nous proposons donc d'effectuer encore le calcul des coefficients ß^^'\ en partant d'un point de vue difl'érent qui nous permettra de placer très-naturellement ici le développement de principes généraux et importants ( * ).

Si nous transformons une fonction quadratique de trois variables homogènes

au moyen de la substitution (10)

^/=fi.ri -f- sjji 4- ;57.,-3 (/ = 1,2,3;,

(*) Voir ce problème traité dans Aro:<hold, Ueber eine fundamentale Dr-gründung der Invariatitencheorie {Journal de Borchardt, t. 62).

Clebscb. — Géométrie, I. II

lCt2 TODE I. - CHAPITRE II.

elle se change en une fonction quadratique homogène des quanti tés j'

dans laquelle, ainsi qu'on le voit facilement, les coefficients a]^ sont du premier degré par rapport aux a/^, et d'autre part du second degré par rapport aux coefficients ßj{' de la substitution. Or nous avons appris à connaître ci-dessus une fonction des an,, à savoir le déterminant de ces quantités, présentant avec la foncliony* une relation qui n'est pas détruite par l'introduction d'un nouveau système de coordonnées, car son évanouissement exprime que la conique représentée pary= o se décompose en deux lignes droites. Si donc le déterminant A dont il s'agit est nul, il en sera de même du déterminant A' formé avec les a\^, pour que la fonction y^' soit aussi décomposable en deux facteurs linéaires. Puisque, d'après cela. A' s'évanouit toujours en même temps que A, et réciproquement, nous pouvons poser

A' = mA,

m étant un facteur différent de zéro; mais ce dernier facteur ne peut pas l'enfermer les rt,^ (car A' aussi bien que A est de la troisième dimension par rapport à ces quantités), mais seulement les ßjj'', et ceux-ci à la sixième dimension, car ils entrent à ce degré dans A', tandis que A en est indépendant; m est par conséquent une fonction non nulle du sixième degré des ßf.

Maintenant ces dernières quantités sont complètement arbitraires; nous avons seulement supposé expressément la non-annulation de leur déterminant, car autrement nos équations de transformation ( lo) ne seraient pas résolubles. Le carré de ce déterminant est donc la seule fonction du sixième degré par rapport aux ß'^J' qui ne s'évanouisse pas, et l'on a par suite nécessairement

c désignant une constante purement numérique. Nous déterminerons cette dernière par l'examen d'une transformation linéaire spéciale, ce qui ne modifie pas sa valeur. Si nous considérons, en effet, l'application de l'équation

LES COCIBES DO SECO^ID OKDBE ET DE L\ SECONDE CLASSE. l63

à la substitution identique

il vient

et il en résulte

Nous avons par suite aussi dans le cas général ( ' ) (i3) A'=R».A.

Les mêmes conclusions ont encore lieu pour d'autres relations quelconques entre les coefficients d'une ou de plusieurs courbes, lorsque ces relations égalées à zéro indiquent des propriétés liées indestructiblement aux courbes en question, et par conséquent indépendantes du choix du triangle de coordonnées. On a coutume d'appeler ces sortes de fonctions des coefficients des im^ariants. Les invariants sont alors caractérisés par la condition

I désignant la fonction en question relativement à l'ancien triangle de coordonnées, I' cette même fonction relativement au nouveau, et R le déterminant de la substitution.

Le déterminant d'une conique nous offre ainsi pour la première fois l'exemple d'une notion extraordinairement féconde et indispensable pour les développements ultérieurs de la Géométrie. En effet, l'élude systématique de ces formations invariantes nous conduit à placer l'un à côté de l'autre, comme opérations identiques, le calcul algébrique et le raisonnement géométrique. Nous pénétrerons par la suite plus avant dans les théories qui se rattachent à cet objet. Pour le moment, qu'il nous soit permis de présenter un exemple de nos conclusions dans l'exemple suivant, qui nous fournira immédiatement un moyen pratique de résoudre notre problème de transformation

La condition qu'une ligne droite zf touche la conique y=o, c'est-à-dire l'équation

(') Oo obtient directement cette équation par l'application deux fois répétée du théorème sur la multiplication des déterminants. {Voir quelques détails de plus sur ce sujet à la fin du Chapitre suivant.)

l64 TOME r. — CUAPITRE H.

exprime dans tous les cas une relation indépendante du triangle des coordonnées. En conséquence de notre substitution linéaire (lo), les nouvelles coordonnées i^ sont liées aux quantités u par les équations (il), et la conclusion citée donne, pour l'équation transformée,

Dans le premier membre, les A]^. sont de la quatrième dimension par rapport aux ßf, et les u sont, au contraire, linéaires ; par conséquent les ßf entrent encore ici dans le premier membre à la sixième dimension, et il en résulte k = 2. JVous obtenons par suite pour la transformation de l'équation de la courbe en coordonnées lignes l'identité ( ' )

( 1 4 ) 11 Al^^ Vi V,, — R* Il A ,/, u, it,^ .

Si nous posons maintenant de nouveau

f'\2—''f^ii «1!— >^1.

a.,^ — ). ij, a,., — ). ^.,2 ^'2 1 — '• ^21 f'i i — >• ^,i 1 «3 2 — ^- ^3 2 ('^\ — >• f'z t

et que nous appliquions les équations (i3), (i4) à une conique de notre faisceau

il vient

(,5) R'.AW

i)yi -h (a"

R» ll\ii, Ui u,, = (À" - ).) (r — X) rj -f- ()."' — ),) (/' — ).) pI

les quantités ùik étant les déterminants mineurs de A(X). Il ré-

(') On trouve cncor« une confirmation directe do cette formule en appliquant le théorème »ur la multiplication des déterminants, si l'on prend pour hase le premier membre de l'équation en coordonnées lignes sous la forme d'un déterminant encadré, cl la manière la plus simple d'opérer consiste ii employer d'abord la transformation à l'eßard des quantités «^ qui iifruront sur l'un des bords, ce qui isole un facteur R, et à procéder ensuite de la même manière à l'égard de l'autre bord, ce qui met en éridence l'antre facteur R.

LES COCBBES DC SBCOüO ORDRE ET DE LA SECOÜDE CLASSE. l65

suite encore en premier lieu, des équations (i5), que À', >/', ).'" sont les racines de l'équation déjà plusieurs fois citée A(X) = o, et ron en conclut de plus, en égalant les coefficients de A' dans les deux membres,

et par conséquent

\Vr=

B désignant le déterminant de la conique 0 = 0, lequel est assujetti à ne pas être nul. Sous le bénéfice de cette supposition, nous déduisons de ( 1 6 ), en posant successivement X = À', >/', X'", et ayant égard à (i 1), les relations

^'\ = [>'i"i-^'?i"i-^P'2<i'= b,-a"-)/wà'"— '/) 22 ^/-tf^' )"'■«*'

•> ' C I cl" 1 C" ' ♦

Nous pourrions ici extraire les racines dans les deux membres et calculer les ß]^' au moyen de ces trois équations, devenues alors linéaires. Ces quantités s'obtiennent d'ailleurs en égalant les coefficients de u^Uk dans (17). On obtient ainsi les déterminations suivantes :

Les coefficients de la substitution sont donnés par ces et/uatio/iSy à part le signe qui demeure nécessairement indéterminé ; il ne nous reste plus qu'à remplacer les lettres surmontées de l'indice h par ces mêmes lettres surmontées d'un simple, d'un double ou d'un triple accent, et l'on a

< fi =^ {/r — A" /■ — A- .

Nous avons ainsi résolu d'une manière complète et systématique notre problème de transformation, et par suite aussi celui de la détermination des quatre points communs de f et de (p, et nous avons vu que le problème correspondant au point de vue dualistique, à savoir la recherche des tangentes communes, se trouve de lui-môme résolu conjointement avec le premier.

Nous nous proposons d'ajouter de suite quelques autres considérations sur les systèmes de coniques

/ — /y = o et F — >* = o,

et nous placerons immédiatement, en face des propositions énoncées, celles qui leur correspondent dualistiquement. Nous avons déjà trouvé plus haut les théorèmes suivants :

Par tout point du plan passe une foniqne du faisceau à quatre points communs f — /y.

Toute droite du plan est touchée par une conique du système à quatre tangentes communes F — /*.

La réponse à la question connexe aux précédentes du nombre des coniques du faisceau qui touchent une droite donnée s'obtient en égalant à zéro l'expression (16); car l'équation

l'l\i,,[\)UiU,, = 0

est l'équation d'une courbe de cette espèce en coordonnées lignes. Si nous y substituons à la place des quantités Ui les coordonnées de la droite donnée, nous obtenons, puisque les quantités A/a(X) sont du second degré en X, ime équation du second degré pour la détermination de X; d'où ce théorème :

Toute droite du plan est touchée par deux coniques du faisceau.

Par tout point du plan passent deux coniques du système.

La situation respective des points où une courbe quelconque du faisceau rencontre la droite considérée et des points où celle-ci louche les deux coniques qui viennent d'être déterminées présente d'ailleurs un intérêt spécial.

Pour rechercher cette situation, prenons la droite en question pour côté

du triangle de base. Si nous posons ensuite' j:< = o pour une des

LES COl'RBES Dt SECOND ORDRE f.T DE LA SECONDE CLAS!>t . 167

coniques qui touchent cette droite, il doit rester une équation du

second degré en Xo, J^a, ayant deux racines égales par rapport à --•>

c'est-à-dire le carré d'une expression linéaire en jr2, Xj. Les équations des deux coniques touchant la droite sont donc de la forme

/ =z .r, G -H IP r^ G, o = .r, G' -h H- =0,

G, C étant linéaires en x,, jto, 0-3, et H, H' linéaires en .To, a^. Une courbe quelconque du faisceau est alors représentée par l'équation

/— >ç, = r, (G — )G' ;+ H* — )iH'* = o,

et ses points d'intersection avec la droite donnée sont déterminés

par

H*— ÀH'- = o.

Cette dernière équation représente un couple de droites allant du sommet 0*2=0, ^3 = 0 du triangle de base aux points d'intersection dont il s'agit, et comprenant les deux lignes

Or ces deux droites sont harmoniques par rapport aux lignes allant de leur point de rencontre aux points de contact de/ et de o, et qui sont données par H = o, H' = o ; par conséquent, les points d'intersection cherchés sont situés harmoniquement relativement aux deux points de contact. Un système pareil de couples de points sur une ligne droite, dans lequel chaque couple est situé harmoniquement par rapport à deux mêmes points déterminés, se nomme une involutioii, et les deux points signalés sont les points doubles de l'involution (on parle de même d'involution de couples de droites dans un faisceau de rayons). Ces points ne sont d'ailleurs autre chose au fond que les points doubles de deux séries projectives situées sur la même base et présentant un caractère spécial (p. 65). On obtient ces dernières séries en prenant le point quatrième harmonique à chaque point de la droite relativement aux deux points fixes, et, par conséquent, en résolvant chaque couple

de l'involution en deux points correspondants des deux séries ( * ). Sous le bénéfice de cette notion de l'involution, qui est aussi extrêmement importante pour d'autres problèmes, nous pouvons énoncer les théorèmes suivants :

I^s points d'intersection des coniques d 'un faisceau avec une droite forment sur celle-ci une Involution.

En chacun des deux points doubles de cette Involution, la droite est touchée par une courbe du faisceau.

Les tangentes menées d'un point aux coniques d'un système forment une Involution. Chacun des deux rayons doubles de celle-ci est touché au point donné par une courbe du système.