VI. — Situations respectives spéciales de denx coniques

Il existe quelques cas dans lesquels la méthode employée cidessus pour la détermination des coefficients de transformation ßJt' ne conduit pas au but. Cette méthode n'est, en efiet, admissible qu'autant que toutes les quantités /ui<^' (18 ) sont différentes de zéro. Or ces quantités sont nulles uniquement (19) lorsque deux racines de l'équation A(X) = o deviennent égales entre elles. Un examen plus approfondi montre, en outre, qu'il faut toujours prendre spécialement en considération la question de savoir si pour une racine multiple tous les déterminants mineurs de A s'évanouissent ou non. Nous avons en conséquence à distinguer les cas d'exception suivants :

1° Deux racines "k sont égales.

a° Deux racines X sont égales, et les déterminants mineurs A/a sont tous nuls pour la valeur correspondante.

3° Toutes les racines X sont égales.

4° Toutes les racines "k sont égales, et les déterminants mineurs ^i/i sont tous nuls pour la valeur correspondante.

5° Les racines sont toutes les trois égales, et chacun des termes du déterminant A(X) .k' annule en particulier pour cette imleur de ?..

Nous nous proposons de traiter ces cinq cas successivement dans ce qui suit. Toutefois, il ne sera pas nécessaire de s'occuper da-

(') ^oiV, pour plus de détails sur ce sujet, le troisième Chapitre de ces Leçons.

LES COCRDES Dl' SECOND ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. 1H9

vantage de celui qui a été mentionné en dernier lieu, parce qu'alors les aiif sont proportionnels aux buf. Les deux coniques sont identiques.

1 . Si deux des quantités X''' deviennent égales entre elles, cela signifie en général que deux côtés ou deux sommets du triangle polaire se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre. Ce triangle ne peut donc plus ser>'ir comme triangle de coordonnées , et notre transformation précédente perd son sens. De la construction du triangle polaire, qui a été donnée plus haut, il résulte dans ce cas que deux des trois couples passant par les points d'intersection des courbes sont infiniment peu différents. Ces couples ne dégénèrent pas cependant en une ligne double (ce qui ne commence à arriver que dans le second cas) ; donc deux de leurs points d'intersection sont infiniment voisins des points doubles infiniment rapprochés qui appartiennent à chaque couple (c'est-à-dire des sommets du triangle polaire). Par conséquent, à la limite deux points d'intersection des deux coniques se confondent en un seul point : Les courbes se touchent en ce point {ßg. 23), et en ce point égale-

ment se trouvent réunis deux sommets du triangle polaire. Cela a lieu du reste de telle façon que la tangente commune à toutes les courbes qui se touchent en P, associée à la ligne qui réunit les deux sommets du triangle polaire infiniment voisins, divise harmoniquementles deux lignes du couple double; cette ligne peut ainsi être construite comme polaire du point Q où la tangente rencontre

la ligne joignant les deux autres points communs aux coniques. De môme, les points d'intersection de la tangente comptant double sont divisés harmoniquement par les points P et Q.

On se trouve naturellement conduit à prendre comme troisième coté du triangle des coordonnées, conjointement avec les deux côtés encore distincts du triangle polaire, la ligne qui joint les points séparés où se rencontrent les courbes. Si doncj^, = o est l'équation de la tangente commune du point de contact, j^ = o celle du côté simple du triangle polaire, j),) = o celle de la ligne mentionnée en dernier lieu, on pourra, en déterminant convenablement les valeurs absolues des coefficients, représenter les deu\ cou pies de lignes sous la forme

En effet, les deux droites du premier couple sont alors partagées harmoniquement par les côtés j^t = o, j2 = o, tandis que celles du second coïncident avec deux côtés du triangle des coordonnées. La forme canonique en laquelle nous avons ici à transformer les courbes ^= SEa/A-^^/^A et cp = SS ^,7, j", x^ est par conséquent la suivante :

Afin de calculer les coefficients de substitution nécessaires à cet objet, appliquons de nouveau les équations (i3) et (i4) à une courbe du système y — ^9. Il vient alors

y est donc la racine double, X" la racine simple de l'équation cubique ^(X) = o, et, en égalant de part et d'autre les coefficients de X^, on obtient

B désignant encore le déterminant de 9. L'application de l'équation (i4) (p. 164) à la courbe/ — X9, donne ensuite

LCS COCRDF.S Dt' 8EC0:<D ORDRF. ET DK LA SECONDE CLASSE. 4^1

et si l'on pose

il en résulte

R«Q^ y „l -4- À" vi - ()/ -+- /").•. r„

Multiplions ces équations d'abord par i, — 2?/', W- respectivement, ensuite par i, — 2//, ?.", et enfin par i, — (X'-|-X*), )/?.", et ajoutons-les chaque fois, nous obtiendrons

R*[P— 2)/Qh- X'»S] = -f-()i'— Vj^fj,

R*[P — (/.'-^/*)Q -I- vr S] ^ -r- (V — r)*.», ».3,

Au moyen des deux premières équations, nous pourrions calculer ViVtty et obtenir ensuite t^i par division au moyen de la dernière. Mais, en égalant de part et d'autre les coefficients de m/wa. on trouve directement les coefficients de transformation cherchés, par l'intermédiaire des équations qui se présentent ici à la place des équations (18) (p. i65)

B[a — y. j Ici les ^l' ont le même sens que dans (i i) (p. iSp), et l'on a posé

2. Si, en outre de A(). ) =0 qui est la condition d'une racine double, toutes les équations Ajßi^l) = o sont aussi satisfaites ( ' ),

(') Cette dernière circonstance ne peut non plus se présenter qu'en cas de racine double, car on a

dX - — •^**'*'

par conséquent. lorsque tous les A,t s'évanouissent, -— - s'cranouit aussi, ce qui est la

condition d'une racine double. De même l'évanouissement des seconds déterminants mineurs ne pourrait se présenter qu'en cas de racine triple.

les quantités ßj/* ne deviennent pas infiniment grandes, mais indéterminées, les deux côtés du triangle polaire qui auparavant se confondaient prennent une direction indéterminée. En même temps les couples de lignes infiniment voisins du cas précédent se réunissent en une ligne double unique ou à proprement parler en une ligne comptant quatre fois; car la condition pour qu'il en soit ainsi est, d'après ce qui a été dit (p. i33), l'évanouissement de tous les ûiiic Toutes les courbes du système doivent donc se toucher aux points d'intersection de la ligne double avec J = o ou ^ = o {ßg' 24) ; c'est là, par conséquent, un système appartenant à Tes-

Fiß. 2',.

pèce traitée plus haut (p. i45). Par là s'explique aussi géométrl- <|uement le fait de la possibilité d'une infinité de triangles polaires communs; l'un des cotés d'un pareil triangle est, en effet, toujours la ligne double dont nous avons parlé; les deux autres côtés |)assent par le pôle de celle-ci et sont situés harmoniquement par rapport aux deux tangentes communes.

Pour arriver à un système déterminé et digne de remarque, on peut choisir celui qui est formé par la ligne double et par les tangentes menées aux deux points de contact (lignes qui forment aussi ime conique du système). Si y^ = o, j^ 3 = o sont ces tangentes, et qu'ensuite j^i soit la ligne double, )/ la racine simple, X" la racine double de A(}. )=z o, on a les couples

d*où

Pour mener à fin le problème de transformation qui nous oc-

LES COl'ROES Dl° SECOND ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. f^î

cupe, nous emploierons de nouveau l'équation

qui devient ici

de là résulte encore

D ailleurs nous avons

^'11 Au

(>)«,«,. zz=-(r-A)^.î

/Wy* —

et les coordonnées de la ligne double t^j {ß', , jS',, ß, ) s'obtiennent en posant 1 = 1' et en égalant les coefficients des produits égaux Ui Uf(. Nous trouvons ainsi

fl/2 ^11 (^')

Pi

bii"

Lorsque la ligne double est trouvée, la détermination des deux tangentes est ramenée à un problème déterminé que nous avons déjà traité (p. i34)-

3. Si les racines de A[l) = o deviennent toutes les trois égales sans que cependant les déterminants mineurs s' évanouissent, les trois couples de lignes se confondent sans cependant dégénérer en une ligne double; car la présence d'une ligne double aurait pour conséquence l'évanouissement identique des déterminants mineurs i^'voir le cas suivant). Des deux points d'intersection appartenant à deux couples infiniment voisins qui dans le premier cas ne se trouvaient pas dans le voisinage de leurs points doubles, l'un doit se rapprocher indéfiniment de ceux-ci de manière qu'un troisième couple s'y trouve également réuni. Les courbes ont donc en ce point un contact biponctuel, ce qui doit être entendu en ce sens que l'une des courbes coupe l'autre en trois points

voisins ; la première entre dans la seconde, en ressort et y rentre de nouveau immédiatement [ßg- aS), le quatrième point d'intersection reste au contraire isolé, et les courbes ont de même une tangente commune isolée. Il n'existe plus de triangle polaire pro-

prement dit; mais, d'autre part, un triangle remarquable de coordonnées nous est fourni par les lignes suivantes : la tangente commune au point de contact [ji = o), la ligne qui joint le point de contact au point d'intersection isolé [y 2 =0), et la ligne passant parce dernier point et située liarmoniquement par rapport à j^2 = o et aux tangentes menées du point précité aux deux courbes (j^3 = o). Comme les points yi = o, jo = o, et y» =0, ^3 = ♦> appartiennent alors aux deux courbes, les termes en y^ij'l doivent manquer dans f et 0, et puisque ensuite la ligne j^ = o est tangente, y ctfj; deviennent nécessairement des carrés pour y, =0; donc les termes en j oj's doivent aussi manquer. Enfin les parties multipliées par ji qui représentent les tangentes au point d'intersection isolé doivent être harmoniques par rapport à j 2 = o et ^3 = o, c'esl-à-dire se représenter comme somme et dÜFerence. Nous pouvons donc poser

En elTct, l'équation f — X'c^ = o donne alors le seul couple de lignes yt =0, j2 = o figurant dans le faisceau. Pour déterminer la transformation de/etde 9, en cette forme canonique, qui n'est d'ailleurs pas dualistique à elle-même, nous avons