LES COCRBES DU SECOND ORDBE ET DE LA SECONDE CLA6SE. I7S
d'où
et ensuite
R».22a.x(/}«,//a. — R* (P — 2ÀQ -f- A*S)
Si Ton pose successivement X = À', a = — À', X= o, on trouve, par combinaison des équations obtenues,
P — -iVQ-f V»S=:4V»Bf*5,
p SV* — — 4V*B»'j.-3,
Ph-SV*= aÀ'«B(i'^-+-p2 -i-arj^a);
d'où, en égalant les coefficients des produits égaux relativement aux Ui, on tire les coefficients cherchés ß'i' de la substitution.
4. Le quatrième cas, dans lequel toutes les racines de AÇa) = o deviennent égales les unes aux autres, et où en même temps les déterminants mineurs A/^ s' évanouissent tous, est la réunion du second cas et du troisième : les courbes ont un contact triponctuel, c'est-à-dire se coupent en quatre points successifs et n'ont par suite aucun autre point commun. Nous n'avons plus ici de points auxquels se rattache un système de coordonnées particulièrement remarquable. Si néanmoins nous prenons la tangente commune au point de contact pour droite j'i = o, et que y'i= o soit une ligne passant par ce point, nous pouvons écrire les deux courbes sous la forme ^
? = . >'T -t- ( « J j -»- Pr\yi -»- V Ji Js ) »
car l'équation y — X'(p = o donne alors en fait la seule droite qui fasse encore partie du système
Tandis que jusqu'ici nous avons considéré les différentes situations auxquelles peuvent donner lieu à l'égarxl de deux coniques les diverses espèces de coïncidence entre deux ou plusieurs des quatre points d'intersection, nous allons maintenant jeter un coup d'oeil
sur les relations de position définies par la condition que le triangle polaire commun soit situé d'une façon particulière par rapport à la droite de l'infini. C'est ce qui arrivera notamment si l'un des côtés du triangle se confond avec la droite de l'infini elle-même, d'où il résulte alors que les deux coniques ont un centre commun (le pôle de la droite de l'infini), et d'après nos explications précédentes (p. io4), les deux autres côtés du triangle polaire forment un couple de diamètres conjugués relativement à chacune des deux coniques données. Le problème qui consiste à trouver dans deux coniques de même centre le couple de diamètres conjugués qu'elles ont en commun est donc déjà résolu par les considérations générales que nous avons présentées plus haut; nous ne nous proposons que de suivre en détail la formation des équations qui s'y rapportent lorsqu'on emploie des coordonnées non homogènes.
Si l'on admet que l'origine des coordonnées ait été d'avance placée au centre, les équations des deux coniques ont la forme (p. m)
( /= ärii.r--f- ia^:,xy -f- «.,,r- — i = o, (')
1 = ^u ■'■- H- ■?. I'ii''y 4- i^aX' — 1=0. et nous avons à les transformer de manière qu'elles deviennent
Ces dernières équations, ne renfermant que le carré des variables, montrent immédiatement par là que les quatre points d'intersection de y et de cp sont situés symétriquement relativement aux diamètres conjugués communs , et une chose semblable a lieu à l'égard des tangentes communes, car les équations en coordonnées lignes deviennent
p'^ii^ 4- q'*v* — I -= o.
Nous pouvons facilement aussi indiquer les coordonnées des éléments communs au moyen des équations (6) (p. i56) et (9)
LES COl'RBES DC SECO!(D ORDRE ET DE L\ SECONDE CLASSE.
([). 109); ces coordonnées sont
La situation des points d'intersection résulte aussi de la construction générale donnée précédemment du triangle polaire, si Ton suit attentivement la dégénération de ce dernier.
Les trois couples de lignes du faisceau y — Xy = o se composent, en effet, de deux parallèles aux diamètres conjugués communs, et de deux droites qui se coupent au centre. De même les tangentes communes de y et (j» sont parallèles deux à deux et se coupent sur les diamètres conjugués communs [Jig. a6). La transformation
dont il a été parlé peut être réalisée au moyen des équations
xz=i x' cosa -f- y cos ,3, y ■=L £ sin a -i- y* sin,S ;
nous avons alors à déterminer a, ß, jJ , q', jjf', (f. L'équation A(X) = o nous donne ici
«It— *^^ll ÖJI— Xiîi o
(4) ^(^)= «lî — X6,j a,j — Xéjj o =0,
Clebsch. — Géométrie, I. 12
178 TOME 1. — CBAPITBE II.
et l'une des racines l = i nous est immédiatement connue, ce qui correspond à la circonstance que nous considérons comme donné un sommet du triangle polaire, à savoir le centre; /', À" étant les deux autres racines de (4)> nous pouvons, d'après ce qui précède, indiquer immédiatement une substitution en vertu de laquelle les expressions de y et de <f deviennent
En partant de ces équations, nous arriverions à la forme (2), à la condition de poser
Les racines de (4) ne nous donnent, comme résultat immédiat, que les rapports des longueurs des diamètres conjugués, c'est-àdire que l'on a
y=zt-, y" — L
Nous trouverons les longueurs elles-mêmes des diamètres conjugués en faisant usage des équations (18) (p. i65)
A la place de la substitution déterminée par les grandeurs ß^' [équations (10) p. iSp] intervient actuellement la suivante :
X = f/' cosaa." -f- 9" cosjSj ", j i=r p" sin Kx" -i- q" sin j3j ".
Diailleurs on a
et l'on déduit par conséquent de (6)
lit • ^lî — yf'xi. • p cos, s.„, = - ^-^ ï;;*^^*;, •
^"»sui*« = -LL «> ,
LES COCKBES Dt SECOXD OKSkE ET DE LA SECOXDB CLASSE. 17g
De là résulte immédiatement
et l'on pourrait de même calculer cos«, cosß et q". Pour p' on trouve
et l'on obtiendrait pour (f une expression semblable.
La voie suivie ici devient encore impraticable ou indéterminée lorsque intervient un des cas d'exception traités dernièrement, c'està-dire lorsque les coniques se touchent en un point quelconque. Mais, comme ici l'on suppose toujours donnés un sommet isolé ( le centre) et un côté isolé du triangle polaire (la droite de l'infini), les seuls cas qui peuvent se présenter sont le premier et le second, dans lesquels les courbes se touchent en un ou deux points sur l'un des côtés du triangle polaire.
Dans le second cas, il existe une infinité de triangles polaires communs, dont l'un des côtés est toujours la corde de contact, tandis que les deux autres passent constamment par le pôle de cette dernière ligne. La droite de l'infini pourra donc être le côté d'un pareil triangle si elle est elle-même la corde de contact ou si les deux coniques se touchent sur un diamètre commun, cas où le pôle de la corde de contact est situé sur la droite de l'infini. Les cas où les courbes ont une ou deux asjmptotes communes ou bien les deux diamètres qui leur sont communs confondus forment donc à notre point de vue actuel des cas d'exception.
Dans la première hypothèse, deux diamètres conjugués se confondent avec l'asvmptote, ce qui concorde avec ce fait que toute asymptote remplace un couple de diamètres conjugués (p. io4).
Le triangle de coordonnées, signalé comme remarquable dans notre étude précédente, sera donné ici par l'asymptote commune (a: = o), par la ligne joignant les deux points d'intersection qui restent encore séparés {y = o) et par la droite de l'infini [fig. 27).
Si l'on prend pour base ce triangle, les équations des deux coniques auront la forme
f=a[x^-{- i] 4- aôxjm o, y = x' -t- I -i- 1XJ- ^^ o.
Si les coniques ont deux asymptotes communes, notre problème devient indéterminé : les courbes ont en commun tous leurs couples de diamètres conjugués. Ce dernier théorème est vrai éga-
Fig. 37.
lement pour l'ellipse et pour l'hyperbole; seulement, dans la première courbe, les deux asymptotes sont imaginaires conjuguées.
On dit dans ce cas que les coniques sont semblables et semblahli'inrnl placées. En effet, pour la détermination de fel de (p, on ■i.