VII. — Le cercle

Nous avons toujours, dans les considérations que nous avons présentées antérieurement, distingué entre les propriétés métriques et les propriétés 'purement projectives des figures géométriques. Ces dernières propriétés étaient en substance caractérisées par h' fait qu'il n'y était pas question d'angles et de distances, et que. d'autre part, certaines relations anharmoniques ( * ) (notamment la division harmonique dans la théorie des polaires) y formaient le principal sujet d'étude. Nous développerons maintenant, accessoirement à la théorie du cercle, une méthode au moyen de laquelle on parvient à considérer tous les théorèmes qui concernent des angles comme des cas particuliers de relations plus générales fondées sur la notion du rapport anharmonique. C'est à quoi conduit le théorème fondamental suivant :

Tous les cercles ont en commun sur la droite de V infini deux points imaginaires qui restent absolument fixes dans tout mouvement du plan {^rotation ou glissement) sur lui-même.

Deux cercles ne peuvent, comme on sait, se couper qu'en deux points réels, et de fait on n'obtient en employant les coordonnées cartésiennes pour déterminer leurs points d'intersection qu'une équation du second degré. Nous avons déjà reconnu comme caractéristique à l'égard de l'équation du cercle la circonstance que les termes les plus élevés de cette équation (en coordonnées rectangulaires) ont toujours la forme x--^j-, et que le terme en xy manque (p. 112). Les équations des deux cercles sont par conséquent

x- -^ j'^ -r- 2« X -^ ib y -\- c = o,

d'où résulte par soustraction une équation linéaire, celle de la ligne qui joint les deux points d'intersection. Ces derniers points eux-mêmes sont en conséquence déterminés par une équation du

(') On peut, en effet aussi, d'après V. Staudt, Geometrie der ta»«, Nürnberg, 1847, définir un rapport anharmonique sans faire intervenir la notion de distance. — f^oir aussi F. Klein, Ueber die soffenaniUe Nicht-Eitklidische Geometrie (^Mathematische j4nnalen, t. VI, p. in, et t. VII, p. J3i).

l8a TOME I. CDAPITBE ».

second degré. Si la recherche des points d'intersection est ici possible d'une manière aussi simple, cela lient exclusivement à la relation spéciale du cercle avec les coordonnées rectangulaires. Si nous introduisons, en effet, au moyen de la substitution

«, or, -+- a, X, -h «j X, A

7j Xi + 7j X, -t- 73 X3 ti

Pi ^1 -t- ^» -^t + p% ^3 5

des variables homogènes, C = o se trouvant représenter ici la droite de l'infini, les équations des deux cercles deviennent

A»H-B*-f-2« AC-l-2* BCh-cC* = o, A* -h B* -+- 2«'AC + 2 6'BC -4- c'C = o,

et, pour la détermination des points d'intersection, nous obtenons

C[2{a — a') A -h 2{b — Ü' )Ji -h {c — c')C]=zo,

c'est-à-dire un couple de droites. L'un des facteurs G=:odonne les points d'intersection qui n'ont pas encore été considérés. L'équation du quatrième degré qui détermine en général les intersections de deux coniques est donc dans notre cas résoluble par deux équations du second degré. La raison en est que la résolvante cubique A(X)=o précédemment employée pour la solution du problème se réduit à une équation du second degré; car nous verrons que l'un des côtés du triangle polaire commun à deux cercles se confond toujours avec leur ligne des centres, et que corrélativement l'une des racines de l'équation cubique A(À) = o est donnée par avance.

Les intersections données par C = o sont déterminées par les points de rencontre de la droite de l'infini avec la conique imaginaire évanouissante

A* -»- B* =: o ou X* + /• z= o,

et, par conséquenl, indépendamment des coefficients a, h, c, a', b\ d qui figurent dans l'équation des deux cercles. Nous avons par suite ce théorème :

Tous les cercles du plan passent par deux mêmes points imaginaires appartenant à la droite de l' infini .

Nous appellerons ces points, dans la suite, pour abréger, points