I -}- tangy tanga i -f- / tangy

résultat indépendant de (p; et de même pour tang« r- — /. La raison en est que l'angle a, et en général l'angle d'une ligne qui passe par l'un des points circulaires avec une autre droite quelconque, doit être considéré comme infiniment grand. Nous avons, en effet,

C d.r arctangar= I -,

et celte intégrale devient infinie pour a = ±:/.

lH\ TOME I. — CHAPITRE II.

Donc, tandis que les points dont la distance à un point quelconque est infiniment grande sont situés sur une droite, la droite de l'infini, les lignes q ui forment avec une autre ligne quelconque un angle infiniment grand, et qu'on pourrait par suite appeler lignes infiniment éloignées, enveloppent un couple de points : les points circulaires imaginaires. Cette manière d'être dilTérente des points à distance infinie et des droites à distance infinie est au surplus la cause de la non-permanence du principe de dualité dans les relations métriques.

1° Deux lignes perpendiculaires forment un sjstème harmonique avec les droites menées de leur point d'intersection aua: points circulaires imaginaires.

En effet, ces deux dernières lignes sont les asymptotes de tout cercle qui a son centre en leur point d'intersection, et les deux droites données sont des diamètres conjugués de ce cercle; elles sont donc, d'après des propositions générales précédentes, harmoniques par rapport aux lignes dirigées vers les points circulaires, ce qu'il fallait démontrer.

Ces deux théorèmes montrent quelle est la liaison intime des points remarquables dont nous parlons avec toutes les relations d'angles ; le second théorème notamment ramène le tracé des lignes perpendiculaires au problème purement projectif de la division harmonique, mais cette connexion va encore plus loin. La théorie du cercle doit, d'après notre définition, se confondre avec celle des coniques ayant deux points communs. Or l'étude de ces dernières n'exige que des considérations purement projectives, et, parsuite^ la Géométrie métrique ordinaire, en tant quelle repose sur la théorie du cercle, apparaît comîne une simple application de nos développements précédents qui dépendaient uniquement de relations de situation ( ' ). En particulier, la définition du cercle comme conique renfermant les points circulaires est dépouillée de toute iq)parence métrique, et nous pouvons aussi, comme il va être immédiatement démontré, remplacer la notion d'angle par celle de rapport anharmonique qui, dans nos considérations précédentes, s'est présentée comme fondamentale pour toutes les recherches

(') Comme inTcnteur do cei vues noiivelles, on doit surtout citer M. Chasles.

LES COORBES DD SECOND ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. l83

projeclives. L'angle de deux lignes ayant pour coordonnées u, v et //', \^ est, comme on sait, donné par

«/i' -h «'(^ a =- arc cos

quantité égale, d'après une formule connue d'Analyse, à ( ' )

/■ , i/ö'H-iv'-|-»/{«tt'-f-iv')*— (a^-t-f* - lof ' * ' ^

nu -r- «v' y/(l

Nous avons ici sous les yeux le logarithme d'une expression dans laquelle on reconnaît de suite le quotient des racines de l'équation

«-H- •''-!- 2>(ttM'-l-iv') H- >*(«'2-4- p'*) = o,

résolue par rapport à \. Or cette équation est d'après (i) l'équation du produit des points circulaires imaginaires (i) si l'on y substitue (à Met à v^ les coordonnées u~-lu', v^-f-Xt/, et nous avons en conséquence le théorème suivant :

L'angle de deux droites est égal au logarilhme multiplié par

- du rapport anharinonique que ces droites forment avec les

lignes allant de leur point d' intersection aux points circulaires imaginaires ; théorème au moyen duquel la notion projective de la géométrie angulaire peut être parcourue sous toutes ses faces. On étudiera les figures qu'on doit examiner dans leurs relations avec deux points quelconques et avec la ligne qui les joint; puis on remplacera ces points par les points circulaires imaginaires et conséquemment leur ligne de jonction par la droite de l'infini : alors les relations métriques résultent sous leur forme habituelle des théorèmes projectifs trouvés. A l'égard du cercle, on pcul encore citer comme exemples les propositions suivantes :

Un cercle est complètement déterminé par trois points du plan; ce cercle est en effet une conique assujettie à passer par les points circulaires, et pour la détermination de laquelle cinq points son! par conséquent donnés.

( ' ) Cette défitiitioD a été donnés par Laguerre, Nouvelles Annales de Mathématiques, iSSg, p. 57.

l86 TOME I. — CHAPITBE II.

Le centre d'un cercle, comme en général celui d'une conique, est le pôle de la droite de l'infini par rapport à cette courbe : il s'ensuit que les cercles concentriques sont définis par la propriété d'avoir leurs asymptotes communes. Ils se touchent donc aux deux points circulaires et ne peuvent par suite plus se couper ailleurs. Un tel système de cercles est représenté par l'équation

dans laquelle 0-3 = 0 donne la droite de l'infini, tandis que x, = o, X2 = o sont les équations des deux asymptotes. Pour passer aux coordonnées rectangulaires nous devons poser (i étant égal à \J — 1 )

et nous obtenons alors la forme ordinaire

X^ -k- y^ — > rr O,

le paramètre X désignant le carié du rayon variable.

Tous les angles dont le sommet est sur la circonférence, et dont les côtés comprennent le même arc sont égaux, car c'est là uniquement une autre forme de la proposition connue que le rapport anharmonique des lignes menées d'un point d'une conique à quatre points fixes de cette courbe est constant. Ces quatre rayons vont, dans notre cas, du sommet de l'angle en question aux extrémités de l'arc et aux deux points circulaires imaginaires.

Deux diamètres conjugués d'un cercle sont perpendiculaires entreeux, car ces lignes sont, d'après leurs définitions, harmoniques aux deux asymptotes du cercle (p. io4). Maintenant, comme nous avons vu auparavant que toute asymptote d'une conique doit être considérée comme un couple de diamètres conjugués, on pourrait énoncer le théorème suivant de tournure paradoxale : Toute asymptote du cercle [toute droite infiniment éloignée) est perpendiculaire à elle-même.

En vertu des explications précédentes, la notion d^angle est seule remplacée par la notion purement projective de rapport anharmonique; le segment doit pouvoir aussi être défini de la même manière si l'on veut transformer tous les théorèmes métriques en théorèmes projeclifs. On n'y arrive pas toutefois aussi immédia-