H -^ )JOL — H

clog , >

H — v^GL — e»

G, H, L ayant la signification qui leur avait été attribuée auparavant, et de là, pour 11 «^ II. f/j =. «' -f- c' et c =^ - , résulte de nouveau la définition de la Géométrie métrique

ordinaire. Or, si l'on fait usage d'une conique générale, le principe de dualité est complètement vrai, même pour les relations métriques; on a donc aussi, pour la mesure des segments, une unité donnée d'une manière fixe, et l'on définira la distance de

La relation de la Géométrie métrique à la Géométrie projective, qui vient d'être énoncée dans les théorèmes cités, présente une importance particulière au point de vue de l'étude systématique des problèmes géométriques. Trop souvent, la solution de ces derniers, lorsqu'on ne fait pas usage des éléments imaginaires ou à distance infinie, repose sur des artifices dont le succès apprend seul l'opportunité. Au contraire, à l'aide des vues que nous avons exposées, on parvient à revêtir de suite les problèmes métriques d'une forme plus générale et à leur appliquer alors les méthodes directes et sans restriction de la Géométrie projective. D'un autre côté, nous pouvons de chaque théorème métrique connu déduire un théorème plus général , en remplaçant simplement les points circulaires par deux points quelconques du plan. Nous rencontrerons encore dans la suite divers exemples des deux cas. Nous allons néanmoins nous occuper d'abord de développer à l'égard du cercle notre théorie générale des coniques, en étudiant les relations entre deux cercles.

Deux cercles ne peuvent se couper (en dehors des points circulaires) qu'en deux points réels ou imaginaires conjugués. Dans tous les cas la ligne qui joint ces deux points est constamment réelle : nous l'appellerons axe radical des deux cercles; la considération suivante donne pour cette ligne une propriété digne de remarque.

deux points comme le logarithme (multiplié par une constante) du rapport anharmonique que forment avec eux les points où la ligne qui les joint rencontre la conique. La distance de deux points .r, y sera, par conséquent, égale à

c' log 2 -t

Q — ^Ph — Q»

P, Q, R étant les expressions ainsi désignées précédemment.

Conrormément à ce qui vient d'ôtre dit, deux lignes seront en particulier perpendiculaires SI 11= o (««' -t- f f ' = o en Géométrie métrique ordinaire), si, par conséquent, les lignes sont harmoniques aux tangontes menées par leur point de rencontre. On peut d'ailleurs opérer sur les grandeurs ainsi deHnies comme angles et distances do la môme manière que sur celles de la Géométrie métrique ordinaire. [ Voti^ pour une «•tude plus approfondie du sujet, Cayley, A sixt/i Meinoir upon quaiitics {Philosophical Transactions, t. CXLIX, iSôy); Klei:«, Ueber die sogenannte N icht-Enklidische Geometrie {Mathematische Ânnalen, t. IV, VI et VII); dOvidio, Annali di Matematica, »erio II-, t. VI].

LES COCRBES DC SECOXD ORDKE ET DE LA 6EC0KDE CLASSE. 189

Si l'équation d'un cercle est donnée par (•)

K r= ( X - a ) » 4- { j - fc ) « ~ r « = 0,

l'expression K a, comnie la forme normale hessienne de la droite, une signification géométrique à l'égard de tout point déterminé Xyj. Si nous désignons, en effet, la distance du point {x,j-) au centre (a, b) par p, nous avons

t étant la longueur d'une tangente menée du point au cercle. Si

maintenant

YJ — [x — a'Y + [x — b'Y — t'^ =z o

est l'équation d'un second cercle, l'équation de l'axe radical sera

donnée par

c'est-à-dire qu'on a pour un point de cette ligne

t' étant la longueur de la tangente menée par le point au second cercle. Il suit de là que :

Uaxe radical est le lieu des points pour lesquels les tangentes menées aux deux cercles sont égales.

La détermination des points de rencontre de celte ligne avec le

cercle s'effectue au moyen d'une équation du second degré. En

posant

nous obtiendrons pour les points dont il s'agit

u — laa: — I2.by -k- c = o, u — la'x — 26'7'4-c'= o.

Nous pouvons, au moyen de ces équations, exprimer x elj linéairement en M, et, pour déterminer u, nous n'aurons qu'à porter

(') Voir, pour l'exposition de ce qui suit, Plûcker, Analytisch geometrische Entwicklungen, et sur les propriétés de l'axe radical, chordale ou ligne de puissance, Steixeb, Journal de Crelle, t. 1, et Gacltieb, Journal de l'École Poljtechnique, cahier XVI.

igo TOME I. — CHAPITBE II.

ensuite ces valeurs dans l'équation (* )

Les quatre tangentes communes aux deux cercles sont par là

môme déterminées, car elles dépendent uniquement de la situation

du triangle polaire commun, lequel est complètement déterminé

par les quatre points d'intersection. Les sommets de ce triangle

sont les points doubles des trois couples de lignes compris dans le

faisceau de cercles

R — XK'^o.

L'un de ces couples seulement est réel : celui qui est formé de l'axe radical et de la droite de l'infini; les deux autres sont toujours imaginaires, mais leurs points doubles sont toujours de même réels si les cercles se coupent en deux points imaginaires. On le reconnaît à ce qu'alors les quatre tangentes sont réelles, et par conséquent aussi le triangle polaire. Dans ce cas deux côtés du triangle [s^ et 52 dans Idi ßg. 28) sont parallèles à l'axe radical (c) et la portion de la ligne des centres (53) comprise entre ces côtés est divisée par le milieu par l'axe radical, car la direction de cette dernière ligne détermine le sommet infiniment éloigné du triangle polaire, et la ligne des centres est nécessairement, comme polaire de ce point situé à distance infinie, le troisième côté du triangle. Or, chacun des côtés est divisé harmoniquement par les deux autres et par le couple correspondant du faisceau K — XK' = o, d'où résulte, puisque l'axe radical forme avec la droite de l'infini un couple semblable, la division par le milieu du segment mentionné. Les deux autres côtés du triangle (en dehors de la ligne des centres) sont faciles à construire parce que les tangentes communes aux deux cercles doivent se couper sur les trois côtés. Ces intersections donnent les trois couples de points qui se rencontrent dans l'ensemble des coniques déterminé par les deux cercles.

En particulier, deux de ces points sont situés sur la ligne des centres; ce sont les centres de similitude des deux cercles (I et A

(') Uno ligne droite forme, d'après notre déGnitiou du cercle, conjointement avec la droite de l'infini, un cercle (de rayon infiniment grand); de même deux lignes imaginaires conjuguées, par exemple, x -h iy = o et x — if — o, dont chacune passe par l'un des pointa circulaires, forment un cercle de rayoa nul x*-i-j ' =^ o.