LES COURBES DC SECOND OBDBE ET DE LA 8EC0:«DE CLASSE

dans la fig. 28). Ces points peuvent être obtenus analylique-

Fig. a8.

ment de la manière suivante ( * ). Les équations. des cercles en coordonnées lignes sont (p. 39)

les centres des cercles étant donnés respectivement par

P = «a -!- i'6 -4- I = o, P'= «a'-t- fè'-f- 1=0.

Par soustraction des équations circulaires nous obtenons alors

le couple de points

(') Voir, par exemple, Hesse, Forlesungen aus der analytischen Geometrie der geraden Linie, etc. Leipzig, 1873, a* édition.

192 TOME I. — CDAPITRE II.

OU, en résolvant,

En chacun de ces points se coupent, d'après une proposition précédente, deux des tangentes communes; (2) et (3) sont par conséquent les équations des deux centres de similitude. Ces points sont situés harmoniqueraent par rapport aux centres des cercles et partagent la distance de ces centres dans le rapport des rayons (de là leur nom). La première partie de cet énoncé est évidente d'après la forme de l'équation ; la seconde résulte de ce que les distances d'une ligne (w, y) aux centres sont respectivement données

par

et de ce que ces distances, si la ligne passe par un centre de similitude, doivent, à cause de (2) et (3), satisfaire encore respectivement aux conditions

Dans le premier cas, les deux rayons sont mesurés dans une même direction à partir de la ligne des centres, ce qui donne le centre de similitude externe; dans le second cas, ils le sont dans une direction opposée ; ce sera le centre de similitude interne. Pour le premier on tire de (2) les coordonnées :

et pour le point interne on déduit au contraire de (3)

A l'aide de ces valeurs nous pouvons maintenant calculer de

LES COCBtES DC 8BC0XD ORDRE ET DE LA SBCOÜDK CLASSE. igS

suite les coordonnées des tangentes communes, et, de même que quand il s'est agi de points d'intersection, au moyen d'équations du second degré seulement. Nous avons en vertu de (4) pour

le centre externe

P = rz, P'= r'z.

le centre interne

d'où résulte dans les deux cas, par élimination de u, v, une équation du second degré en z. Les coordonnées des tangentes passant par les centres de similitude en question seront alors déterminées linéairement. Elles deviennent imaginaires pour les deux centres de similitude, si l'un des cercles est situé à l'intérieur de l'autre, imaginaires seulement pour le centre de similitude interne si les deux cercles se coupent en des points réels. Les centres de similitude sont néanmoins toujours réels; en cas de contact extérieur, le centre de similitude interne se confond avec le point de contact; en cas de contact intérieur, c'est le centre externe. Le théorème de la division de la ligne des centres dans le rapport des rayons reste toujours vrai.

Considérons un sjstème de trois cercles.

l(?s équations des axes radicaux déterminés respectivement par deux d'entre eux sont

et, comme la somme de ces trois équations est nulle, nous avons, en tenant compte d'une propriété des axes radicaux qui a été mentionnée plus haut , le théorème suivant :

Les trois axes radicaux déterminés par trois cercles se coupent

en un même point, centre d'un cercle coupant les trois cercles

donnés à angle droit et qu'on appelle le cercle orthogonal. En

efiet, les longueurs des tangentes que l'on peut mener du centre

de ce dernier cercle aux trois cercles donnés sont toutes égales.

Désignant par p les longueurs de ces tangentes, par a, ß les

coordonnées du centre, nous avons pour le calcul de ces trois

Clebscb. — Géométrie, I. l3

194 TOME 1. — CHAPITBE II.

grandeurs les trois équations et, si l'on pose en outre

on aura trois équations linéaires en a, ß, u.

Le théorème démontré en dernier lieu est vrai, comme on le voit facilement, non-seulement pour les trois cercles donnés, mais encore pour tous les cercles en nombre simplement infini du système ( ' ).

où )., ^ sont des paramètres variables. Un fait correspondant a nécessairement lieu d'une manière générale pour les courbes du second ordre qui ont en commun deux points fixes. Si, d'après cela, nous mettons les théorèmes obtenus pour les cercles sous une forme plus générale en remplaçant les points circulaires imaginaires par deux points quelconques, nous obtiendrons ce qui suit :

Toutes les coniques qui passent par les deux mêmes points ont deux à deux une corde mobile commune. Si d'un point de cette corde on mène les quatre tangentes aux deux coniques, les quatre points de contact sont situés, ensemble avec les points fixes, sur une courbe du second ordre. Si l'on prend trois courbes du système, leurs trois cordes se coupent en un même point : les six tangentes menées de ce point à la courbe la touchent en six points qui sont situés ainsi que les deux points fixes sur une même section conique. Le pôle relativement à celte dernière courbe de la ligne qui joint les deux points fixes est l'intersection des trois cordes.

Un certain intérêt s'attache à la situation occupée dans un système de trois cercles parles centres de similitude que déterminent ces trois cercles considérés deux à deux. Les trois centres externes du système (Aoi, A,2, A20 dans ^difig. 29) sont donnés parles

(') Un système de coniques, dans lequel chaque courbe dépend de deux paramètres entrant linéairement, est désigné sous le nom de réseau de coniques. Nous reviendrons sur loa réseaux de coniques dans le troisième et le cinquième Chapitre de ces Leçons.

LES COCBBES DO SBCONS OBDIB BT DB LA SECOüDB CLASSE.

équations

et les trois internes (loi, I|2> I20 dans ^^ßg- 29) par

Comme la différence de deux équations de la deuxième série, augmentée de l'équation non située au-dessus et faisant partie de

Fig. 29.

la première, est identiquement nulle, ainsi que la somme des trois premières équations, nous avons ce théorème :

Les six centres de similitude déterminés par les trois cercles donnés, considérés deux à deux, forment les sommets d un quadrilatère complet. L'un des côtés de ce quadrilatère renferme les trois centres de similitude externes, chacun des autres comprend un centre externe et les deux autres internes non situés sur la même ligne des centres. Les trois faux cotés du quadrilatère sont les lignes des centres des trois cercles.

Nous allons faire usage des résultats obtenus pour la résolution de quelques problèmes. Sous le bénéfice du théorème d'après lequel les axes radicaux déterminés par trois cercles se coupent en un même point, on peut d'abord construire iaxe radical de deux

Itjß TOME I. — CBAPITRE II.

cercles qui ne se coupent pas en deux points réels. Pour trouver un point de cette ligne, il suffit, en effet, de prendre le point d'intersection des axes radicaux qu'un troisième cercle rencontrant les deux premiers en des points réels détermine avec eux. Si le troisième cercle est choisi de manière à toucher les deux cercles donnés, les tangentes menées aux points de contact se coupent sur l'axe radical cherché. Par suite de ce choix du cercle auxiliaire (dans l'hypothèse du contact extérieur), les deux centres de similitude interne qu'il détermine avec les deux cercles donnés coïncident avec les points de contact, et comme, d'après notre dernier thorème, ces points sont situés sur une même droite conjointement avec le centre de similitude externe des cercles donnés, nous pouvons, dans le cas où ce dernier point est connu, trouver d'une manière simple deux points de l'axe radical, sans avoir besoin de tracer de cercle auxiliaire. On voit facilement comment celte considération se modifie si l'on part du centre de similitude interne des cercles donnés. La construction s'effectue plus simplement encore à l'aide du théorème suivant, connu en Géométrie élémentaire :

Si l'on mène deux droites par l'un des centres de similitude de deux cercles, les deux points d'intersection non homologues de l'une de ces droites avec les cercles et les deux points d'intersection non homologues de r autre sont situés sur une même circonférence. Il suffit, par conséquent, de mener par le centre de similitude deux droites, de choisir parmi leurs huit points d'intersections deux couples de points non homologues et de joindre les points de ces derniers qui appartiennent au même cercle pour obtenir un point de l'axe radical, comme intersection des deux lignes de jonction.

Du théorème mentionné en dernier lieu résulte immédiatement le suivant :

Si deux cercles sont touchés par deux autres, l'axe radical de chacun de ces deux couples de cercles passe par un centre de similitude de l' autre couple, étant supposé f/ue les deux premiers cercles sont touchés de la même manière par les deux autres ( • ) ; car les

(•) Voici les hypothèses qui peuvent se présenter :

I* Deux cercles touchent les cercles donnés tous deux intérieurement, ou tous deux

LES C0DRBE8 DC SECOXB OHOKE ET DE LA SECOKDB CLASSE. 197

points de contact de chaque cercle de l'un des couples doivent, comme centres de similitude, être en ligne droite avec un point semblable de l'autre couple ; et les deux droites ainsi déterminées se coupent nécessairement sur l'axe radical du dernier couple, puisque les quatre points de contact, d'après le théorème précédent, sont situés sur un cercle.

Ces développements nous mettent en état de résoudre assez simplement le problème suivant, déjà étudié dans l'antiquité sous le nom de problème d' Apollonius :

Construire un cercle tangent à trois cercles donnés.

Soient a, ß les coordonnées du centre, p le rayon du cercle cherché : nous aurons alors pour la détermination de ces grandeurs, ainsi que cela est de suite visible d'après la situation des cercles de la question, les trois équations

; (a a;'-f-;Ä -PY=z[o±:r]\ (5j \[a'-a'f-^{b'-pY=z[o±r']\

Les expressions qui figurent dans les seconds membres fournissent en tout huit combinaisons de signes différentes. Toutefois, comme les équations posées ne sont pas modifiées par le changement simultané de tous les signes, nous n'avons à considérer que les quatre combinaisons suivantes :

L'emploi de chacune de ces séries donne deux solutions, et il y a par suite en tout huit solutions possibles du problème. Si nous

extérieurement, ou bien chacun des deux cercles touche l'un des deux cercles donnés extérieurement, l'autre intérieurement. L'axe radical d'un couple passe alors par le centre de similitude externe de l'autre;

a" L'un des deux cercles touche les deux cercles donnés extérieurement, l'autre les touche intérieurement;

3* L'un des cercles touche l'un des cercles donnés extérieurement, l'autre intérieurement, et l'inverse a lieu à l'égard du second cercle. Dans ces deux derniers cas, l'axe radical passe par un centre de similitude interne.

posons,

en effet,

nous obtiendrons, en prenant par exemple dans les équations (5) tous les signes positifs, les équations

«« 4- h^ -*r rp,

au moyen desquelles nous pouvons exprimer «, ß, p linéairement en u, et ces valeurs, portées dans l'équation (j), donnent en effet deux solutions.

Le problème proposé renferme une série de cas particuliers qui sont implicitement compris dans sa solution, nous voulons parler des hypotlièses où le rayon d'un ou de plusieurs des cercles devient infiniment petit ou infiniment grand. Si l'on prend par exemple /• = o, il n'y aura plus dans les équations (5) que quatre combinaisons de signes possibles; si l'on a aussi /'' = o, le nombre se trouvera réduit à deux. Donc :

// existe quatre cercles qui touchent deux cercles donnés et passent par un point donne.

Il existe deux cercles qui touchent un cercle donné et passent par deux points donnés.

Et enfin :

// existe un seul cercle qui passe par trois points donnés.

Si nous supposons, au contraire, que ;• devienne infiniment grand, le point (a, ß) sera à une distance p de la droite qui prend ainsi naissance, et la première des équations (5) doit être remplacée par (p. 3o)

a cos ff -{- P sin y — d =z "àzp.

Comme cette équation renferme ± p et non p"^, il y a toujours huit solutions possibles : il en est de même si /•' devient aussi égal

LES COCRBEâ Dt° SECOND OKDBE ET DE LA SECO.NDE CLASSE.

ù rinfini. Si r" est également infini, nous aurons, au lieu des équations (5), les suivantes :

acos^ ->- |3siny — d = itp, « COSy' -+- P siny' — </' = zh p, acosy"-f- ^sioy" — 0"= äzp.

Toutes sont linéaires en jS, et il n'y a plus que quatre combinaisons de signes différentes au fond; par conséquent :

Il existe (juatre cercles qui touchent trois lignes droites données. Il existe huit cercles qui touchent trois cercles donnés, ou deux cercles et une droite, ou un cercle et deux droites.

Les constructions générales relatives au problème que nous étudions résultent d'une manière simple de deux théorèmes que nous

Fie. 3o (').

allons donner incessamment, et qui sont une conséquence immédiate des précédents. Observons préalablement que, par notre construction, nous trouvons toujours simultanément deux des huit cercles.

(') Dans ceUe figure

M est le centre du cercle R

J.t est le centre de similitude interne des cercles R et K.

A^ est le centre de similitude exlernc des cercles K c^ est l'axe radical des mêmes cercles; p('J est le pôle de r,, relativement à K .

etK^

et que ces quatre couples sont les mêmes que ceux donnés par le tableau ( ö ) , à savoir :

1° Un cercle qui touche intérieurement les trois cercles donnés, et un qui les touche tous extérieurement;

2° Un cercle qui touche K intérieurement, K' et K" extérieurement, et un qui touche K extérieurement, K' et K" intérieurement; 3"* Un cercle qui touche K' intérieurement, K' et K" extérieurement, et un qui touche K' extérieurement, R et K" intérieurement; 4** Un cercle qui touche K" intérieurement, R et R' extérieurement, et un qui touche R" extérieurement, R ctR' intérieurement. Considérons maintenant un de ces couples (R'" et R" dans la fi". 3()) conjointement avec deux des cercles donnés; l'axe radical de chaque couple passe nécessairement par un centre de similitude de l'autre, et de là dérivent les théorèmes suivants :

Le centre du cercle orthogonal des cercles donnés est un centre de similitude pour chacun des quatre couples de cercles cherchés : un centre de similitude interne pour le premier couple, et un centre de similitude externe pour chacun des trois autres couples. L'axe radical de chacun des (juatre couples est un côté du ipiadrilatère complet déterminé par les six centres de similitude des trois cercles donnés [axe de similitude) ; l'axe radical du premier couple renferme les trois centres de similitude externe et chacun des autres un centre de similitude externe et deux centres de similitude interne. Les trois cordes de contact pour chacun des quatre couples doivent maintenant, comme lignes de jonction de deux centres de similitude (ici de deux points de contact), renfermer encore un troisième centre de similitude déterminé, c'està-dire, comme on le voit facilement par ce qui précède, passer par le centre du cercle orthogonal des cercles donnés. D'ailleurs les tangentes menées aux points de contact de l'un des trois cercles se coupent sur l'axe radical du couple dont il s'agit ( voir un théorème, p. 196), c'est-à-dire que le pôle de la corde de contact relativement au cercle donné est situé sur cet axe radical. Par suite, le pôle de l'axe radical est nécessairement situé sur la corde de contact et nous pouvons ainsi trouver un second point de celle-ci, puisque les axes radicaux sont connus comme axes de similitude des cercles donnés.

Nous construirons les pôles [P, P', P"] de l'un des quatre axes