LES COCRBES DC SECO:«D ORDRE ET DE LA SEC05DC CLASSE

de siniililude [on a choisi sur la ßg. 3o l'axe externe (03»)], et nous joindrons ces points au centre du cercle orthogonal (J34); ces lignes de jonction coupent les cercles donnés en six points qui sont les points de contact de deux des cercles cherchés et notre problème est par conséquent résolu. En effet, la construction des centres M"", M" des deux cercles, qui doivent se trouver avec in sur une même ligne droite perpendiculaire à C34 n'offre plus aucune difficulté.

Vni. — Les foyers des sections coniques.

Dans l'Introduction, nous avons appris à connaître deux points pour l'ellipse et l'hvperbole, un pour la parabole, qui avaient avec ces courbes une relation métrique spéciale et que nous avons appelés leurs foyers. Nous serons par la nature des choses conduits de nouveau à les examiner, si nous considérons une conique dans ses rapports avec les point circulaires imaginaires; c'est seulement ainsi que nous serons en état de saisir dans toute sa généralité la vraie nature de ces points remarquables.

Dechacundes poinlscirculaires partent, comme de toutautre point du plan, deux tangentes (imaginaires dans le cas particulier) à une conique donnée : ainsi prennent naissance quatre lignes se coupant (en dehors des points circulaires) en quatre points qui sont Xesfojérs de laconique. Si la courbe elle-même est réelle, deux de ces derniers (non situés sur la même tangente) sont imaginaires, les deux autres réels, et nous verrons que les foyers réels sont identiques avec les points que nous avons auparavant appelés ainsi. Les quatre points que nous venons de définir peuvent être trouvés analyliquement de la manière suivante. Soient

F = o et * = o

les équations de deux coniques en coordonnée ] lignes ; dans le système

se trouvent compris en général (p. 107) trois couples de points, à savoir les intersections des tangentes communes de F et de 4>. Si nous faisons coïncider l'un de ces couples avec les points circulaires, les deux autres couples donnent les quatre foyers. Pour

aoa TOME I. — CHAPITRE II.

exprimer la chose analyliquement, il suffît de poser <ï> = a- -f- v*^ ; car le système (i) ne sera pas modifié par là, et nous pouvons alors prendre F sous la forme ( * )

L'équation (i) se transforme par suite en

(2) («« — >)tt«-i-(6*— >)c'-I r^0.

Nous obtenons l'un des couples de points du système (les points circulaires) en posant X =:: oc ; pour les deux autres couples X se détermine par

a^ — / G o o If- — À o o o I

z=z{a'-—l]lb^-l

En portant les racines de cette équation dans (2 ), on obtient les équations des deux couples de foyers sous la forme

Si nous prenons suivant l'usage a-^b-, l'équation (3) représente les foyers imaginaires, l'équation (4) les foyers réels. Pour les coordonnées de ces derniers, on trouve

par conséquent ces points se conjondent avec ceux qui ont été désignés plus haut sous ce nom (p. 12).

De même que ces quatre points, de même aussi leurs polaires par rapport à F jouent un rôle remarquable. L'équation de F en coordonnées points est

(') La réduction du système F + il<( = o à la forme canonique rerient donc à la détermination des axes de F = o. Ce dernier problème se présente par suite maintcuanl comme cas spécial de la recherche d'un trian{;lo polaire; il dépend seulement de la résolution d'une équation du second degré (p. 1 13), parce que l'un des côtés du triangle, la droite de l'infini, est déjà connu.

LES C0CRBE8 Dt' SECOJID ORDKB ET DE LA SECO^tDE CLASSE. ao3

par suite la polaire d'un point {j^,j') sera

xx' rr'

a* If*

Si l'on substitue dans cette relation les coordonnées d'un foyer réel, elle se transforme en

c'est-à-dire en l'équation de l'une des directrices de F (p. i4)- Donc :

Les directrices d'une conique sont les polaires de ses foyers réels.

Il existe une foule de théorèmes sur les propriétés remarquables des foyers, qui, au point de vue où nous traitons ce sujet, se présentent comme cas particuliers de considérations plus générales. Pour montrer le caractère de ces théorèmes, il suffira d'en mentionner quelques-uns.

Nous avons vu plus haut (p. 63) que le rapport anharraonique suivant lequel une tangente quelconque à une conique coupe quatre tangentes fixes de celte courbe est constant. Si nous prenons pour les quatre tangentes fixes les deux tangentes passant par l'un des foyers et deux autres tangentes quelconques, le rapport anharnionique des rayons menés du foyer aux points circulaires imaginaires et aux points d'intersection de la tangente mobile avec les deux tangentes fixes est par conséquent constant, ou, en d'autres termes :

Le segment limité sur une tangente mobile par deux tangentes ßxes est toujours 'vu du foyer sous le même angle.

Si l'on mène d'un point quelconque les deux tangentes à une conique, ces tangentes sont, comme on sait, harmoniques aux deux polaires conjuguées qui passent par le point. Si donc, au lieu d'un point quelconque, nous prenons un foyer, nous avons, puisque les tangentes passent alors par les points circulaires, le théorème suivant:

Deux lignes qui passent par un foyer et sont perpendiculaires entre elles sont des polaires conjuguées relativement à la conique.

ao4 TOME I. — CHAPITRE 11.

Le système de coniques

dont nous sommes partis, est un cas particulier du système plus général traité plus haut, et s'en dislingue seulement en ce que ses quatre tangentes communes passent par les points circulaires. Toutes les courbes de ce système ont les mêmes foyers que F, car ceux-ci ont été déterminés comme étant les couples de points du système; on appelle, par suite, l'ensemble de ces courbes un système de coniques confocales. De tels systèmes se présentent fréquemment dans les applications; nous allons pour cette raison exposer quelques-unes de leurs propriétés, en particularisant simplement les résultats correspondants plus généraux, qui ont été trouvés précédemment. Nous obtenons ainsi les théorèmes suivants :

L'équation des coniques d^un système confocal en coordonnées points est [en vertu ^e ( 2 ) ]

Toute droite du plan est touchée par une conique du système. Par tout point du plan passent deux courbes du système ( fig. 3 1 ).

Les couples de points compris dans le système sont les points circulaires imaginaires et les deux couples de foyers.

Il n'existe pas dans le système de courbe se décomposant en deux lignes droites.

Toutes les courbes ont les mêmes axes; ceux-ci forment avec la droite de V infini le triangle polaire commun aux courbes du système confocal.

Les tangentes des deux courbes du système qui passent par un point sont les éléments doubles de l'involution formée par les couples de tangentes issues du point (p. 167), c'est-à-dire qu'elles sont constamment harmoniques aux deux tangentes menées du même point à une autre courbe du système, et par suite, dans notre cas, harmoniques aux deux lignes qui joignent le point dont il s'agit aux points circulaires, ou en d'autres termes :

Les deux coniques du système confocal qui passent par un point se coupent orthogonalement.

LES COURBES DC SECO!«!! ORDRE ET DE LA 8EC0!<DE CLASSE. 3o5

Parmi les couples de langenles menées du point considéré aux courbes du système figurent en particulier les lignes qui passent par les deux foyers réels (F et F' dans la^i^'. 3i); ces lignes sont également harmoniques aux rayons doubles des deux faisceaux de môme sommet en involution. Elles forment donc, puisque ces rayons doubles sont perpendiculaires l'un à l'autre, des angles égaux avec eux (p. 5i); autrement dit :

La langenteen un point d' une conique forme des angles égaux avec les lignes qui joignent son point de contact et les foyers.

Etce théorème, d'une importance exceptionnelle pour les applications physiques, a lieu tout à fait indépendamment des systèmes confocaux dont nous sommes partis.

Les valeurs du paramètre répondant aux deux coniques qui passent par un point donné (x, ^) sont déterminées par l'équation du second degré en X

Si nous considérons x et y comme variables, cette équation représente (en supposant encore a-^è^) :

Dans le cas de 6*^ )., une ellipse,

Dans le cas de 6* <; /, a* ]>> / une hyperbole,

Dans le cas de a*<C ^j i*<C ^ "ne conique imaginaire.

Nous verrons d'ailleurs que, pour les valeurs réelles dexet}', les deux premiers cas sont toujours possibles. Si l'on pose

/(^) =x«(6« - \] +f-[a'-\) - [a^ - ).) [b^- -\) = o, on a

y(a') =x'{é* — «*) quantité négative,

y [ 6* ) = j* ( a* — i' ] , quantité positive,

/( — » ) = ( — X* H- . . . )i=^ ac , quantité négative.

Il résulte de là, d'après des propositions connues de la théorie des équations, que les deux racines de l'équation (5) sont réelles et que l'une est nécessairement comprise entre a^ et i^, l'autre entre h- et — oc ; par suite du caractère reconnu plus haut à l'es-

pèce particulière de courbes représentée par l'équation (i), on a cette proposition :

Par tout point réel du plan passent une ellipse et une hyperbole qui appartiennent au même système de coniques confocales, et en dehors du couple de foyers ce système ne contient aucune autre courbe réelle.

Il est facile, d'après cela, de se faire une image de la situation respective des deux courbes {ßg. 3i).

Fig. 3i.

On aperçoit sans peine analytiquement que deux coniques confocales passant par un point [x' , y') se coupent à angle droit. Les équations des deux tangentes issues du point sont, en désignant par )., ^ les valeurs correspondantes du paramètre.

-f- Tr^ — I = o,

. fl* — > 6« — >

xx YY

Si l'on retranche l'équation (5) de celle qui s'en déduit en remplaçant X par [J. et JC, y par x', y', on trouve, en négligeant un facteur (). — fx),

+ m — zrvTU -^ = o,

ce qui est la condition de perpendicularité des lignes (6). Nous avons pu négliger le facteur X — fx, parce que ce facteur ne pourrait être nul que pour un point situé sur les quatre tangentes communes. Les autres théorèmes cités plus haut sont également faciles à démontrer d'une manière semblable; mais notre exposition plus

LES COl'KBES DC SECOXD ORDRE ET DE LA SECONDE CLASSE. iQ-]

générale a l'avantage d'arriver au même but d'une manière non seulement complète, mais encore plus systématique.

Nous laissons maintenant la théorie des courbes de deuxième ordre et de deuxième classe pour passer à d'autres considérations d'une importance fondamentale. Ces dernières nous apprendront à connaître de nouvelles méthodes et de nouveaux procédés dont l'application à la théorie des coniques nous permettra de mettre de nouveau en relief les faits les plus importants et de les envisager à un nouveau point de vue : c'est à quoi conduit la théorie générale de l'invariance des formes algébriques, dont nous avons déjà occasionnellement reconnu et fait ressortir la portée, dans le problème de la réduction simultanée de deux coniques à la forme canonique.

ao8 TOME I. — CBAPITRB III.