I. — Remarques préliminaires. — Résultants et discriminants

Sous le nom de théorie des Jbrmes algébriques nous entendons la théorie des fonctions homogènes d'un nombre quelconque de variables, considérées spécialement au point de vue de ce qu'elles deviennent en présence d'une transformation linéaire quelconque des variables. Cette partie de l'Algèbre a eu d'abord une haute importance pour la théorie des nombres; cependant, sous la forme suivant laquelle nous allons l'étudier par la suite, elle doit, dans ses parties essentielles, son origine à la Géométrie analytique. Employée d'abord exclusivement au service de cette dernière, elle s'est graduellenient élevée au rang de science indépendante. La première impulsion dans cette voie a été donnée par les recherches de liesse sur les courbes planes du troisième ordre; toutefois la théorie dans son état actuel est essentiellement due aux travaux de mathématiciens anglais, parmi lesquels on doit signaler surtout Cayley et Sylvester, auxquels il convient d'ajouter Aronhold en Allemagne. L'idée fondamentale de la théorie actuelle des formes peut s'énoncer ainsi qu'il suit : si l'on introduit dans une forme algébrique donnée, au lieu des« variables dont elle dépend, /i nouvelles variables liées par n équations linéaires homogènes aux variables originaires, la forme donnée se change en une autre qui a certaines propriétés communes avec la première, et l'étude des propriétés de cette espèce qui ne sont pas troublées par une substitution linéaire doit être considérée comme le problème principal de la théorie des formes.

ixTBODccno:< a la théokic du fomcs alcébbiqces.

aog

Cela revient au fond à établir des fonctions homogènes entières des coefficients (pouvant d'ailleurs renfermer les variables) qui prennent la même valeur, à une puissance près du déterminant de la substitution, qu'on les forme pour la fonction originaire ou pour la fonction transformée, ou qui, comme on l'exprime brièvement, possèdent la propriété de l'irn^ariance. Nous avons déjà appris à connaître dans les coniques quelques exemples de ces formations invariantes ; il suffit de rappeler le déterminant d'une courbe du deuxième ordre ou son équation en coordonnées lignes. Si, en effet, l'équation

d'une cburbe de cette espèce se transforme par la substitution

en

^^'^'aliXA

nous avons trouvé, en désignant par /• le déterminant formé avec les quantités ß, pour le discriminant :

et pour le premier membre de l'équation en coordonnées lignes, si ces dernières sont désignées par la lettre v dans le nouveau système :

«lî ««

On voit clairement par là ce qu'il faut entendre en général par la propriété de l'invariance ; mais, en même temps, ces exemples montrent la liaison étroite de la théorie des /ormes algébriques ternaires, c'est-à-dire à trois variables, et de la Géométrie du plan. La Géométrie plane apparaît comme une image fidèle de la théorie des formes. Elle s'en déduit aussi directement au moyen de la recherche des courbes représentées lorsqu'on égale à zéro une forme algébrique, et les formations invariantes correspondantes

Clebscb. — Géométrie, I. l4

inné I. — CHAPITRE III.

donnent par leur évanouissement les propriétés de ces courbes, qui sont indépendantes du choix des coordonnées; ou si elles renl'erment encore les variables, d'autres courbes qui sont avec les premières dans une relation non détruite par une transformation de coordonnées.

De même que la théorie des formes ternaires est identique avec ia (iéométrie du plan appelée projectwe, c'est-à-dire avec la théorie des figures planes (tant que celle-ci reste indépendante des relations métriques), de même la théorie àe?> formes (iiiaternnireSy c'est-à-dire de celles à quatre variables homogènes, se confond avec la Géométrie projective de l'espace, c'est-à-dire avec la théorie des courbes et des surfaces dans l'espace. Les formes à un nombre de variables supérieur à quatre ne permettent pas immédiatement une interprétation géométrique semblable, aussi n'a-t-on besoin pour elles d'aucun nom spécial, et dit-on de suite formes à II variables. A côté de cette classification s'en place une autre fondée sur le degré au(/uel entrent les variables dans la forme étudiée; et, après avoir circonscrit le terrain d'après le nombre des variables, on traite les différentes formes suivant leur degré, en allant du plus bas au plus élevé.

Pour la Géométrie du plan nous devrions d'abord étudier les formes ternaires. Mais il existe un premier échelon auquel nous n'avons pas encore eu égard cxplicilemcnl jusqu'ici, à savoir la théorie des formes à deux variables homogènes ou des formes algébriques binaires. Celle-ci trouve, ainsi que nous le verrons plus loin, son interprétation géométrique dans tout ensemble dont les éléments individuels dépendent d'une seule variable (d'abord linéaire), et par suite spécialement dans la géométrie des séries de points ou des faisceaux de rayons ( * ), figures dont nous avons déjà incidemment commencé l'étude en faisant usage d'un paramètre (p.4i). Le développement ultérieur de la Géométrie plane comme celui de la théorie des formes ternaires, et plus encordes avantages d'une marche systématique allant logiquement des figures simples aux plus compliquées, exigent impérieusement une étude plus exacte et directe de ces formes binaires; la Géométrie de la droite rt du faisceau doit d'ailleurs être considérée comme formant

(') Il faut y joindre enrorc dans l'espace lo faisceau do plans.

HTBODCCTIOM X LA TBÉOIIE DES FOIMES ALCÉBRIOCES. 311

un terrain indépendant aussi bien dans le plan que dans l'espace. En fait, cette théorie s'est développée dans ces dernières années, de manière à devenir une science étendue et subsistant par ellemême. En Tabordant ici, nous devons nous borner à signaler les points de vue suivant lesquels elle a été principalement cultivée à l'époque contemporaine ('). Les parties qui doivent être plus lard d'une application géométrique immédiate seront seules exposées avec plus de détails.

la' interprétation géométrique des formes binaires, à laquelle nous avons plusieurs fois fait allusion, se fait de la manière suivante. Soient donnés sur une droite deux points fixes A, B [points fondamentaux), et soit c leur dislance. Si maintenant^ désigne la distance d'un point mobile G à A, et y la distance du même point à B, on a toujours

(l) p-hq = c.

Il a été préalablement supposé que p et q doivent tous deux être comptés positivement si C est situé entre A et B, et que, s'il n'en est pas ainsi, la distance au plus rapproché des deux points A, B est prise négativement. Maintenant le point C est évidemment déterminé complètement, dès que l'on connaît pour ce point l'une des grandeurs p, q ou leur rapport, car dans ce dernier cas on peut calculer p ou q séparément au moyen de (i). La même chose a encore lieu si ce n'est pas le rapport des distances lui-même qui est donné, mais le produit de ce rapport par une certaine constante, et il est convenable d'ajouter cette constante au point de vue de la généralité. Un point de la droite est donc complètement déterminé par deux nombres x,, x-i, que l'on considère comme ses coordonnées, et qui répondent à la définition suivante :

C) Les recherches dont il s'agit se trouvent plus ou moins complètement réunies dans les Ouvrages suivants :

Cavlev, Fottrch and ßfth Memoir upon quantics { Philosophical Transactiofis, t. CXLVIII, i838).

Salmo;«, Lessons introduccory to the modem Algebra. Third édition. Dublin, 1S76.

Fiedler, Elemente der neueren Geometrie ; Leipzig, i86i.

Clebscb, Theorie der binären algebraischen Formen; Leipzig, 1872.

Nous renvoyons spécialement à ce dernier Ouvrage pour les points qui ne sont qu'indiqués dans ce qui suit.

ai3 TOME I. — CUAPITBE III.

Les coordonnées i^x \ , x^) d'un point sont deux nombres qui sont entre eux dans le même rapport que les distances d'un point d'une droite à deux points fixes pris sur cette droite^ chaque distance étant multipliée par une constante arbitraire, mais Jixe («).

En désignant par a et b ces constantes, et par p une grandeur arbitraire, nous obtiendrons les équations

( ?^t = bq.

A chaque valeur de — correspond une valeur unique de - et par

suite aussi un seul point de la droite. En particulier, l'un des points de base est donné par x, =o, l'autre par x^ = o. La signification

du rapport de distance — est donc pour a = b identique à celle

du paramètre 1 employé précédemment pour la représentation des points d'une droite, représentation dans laquelle les points de la ligne joignant deux points [xojj'o', -^u )t ) étaient donnés par les équations

Nous pouvons donc utiliser de suite pour notre objet actuel, c'està-dire pour le rapport — > toutes les considérations relatives ù la

géométrie de la droite qui se rattachent au paramètre dont il s'agit; rappelons aussi que, par raison de généralité, nous avons du inlro-

(') On peut disposer en particulier de ces constante!», de manière que les coordonnées puissent ëtro regardées comme des rapports anharmoniqiies. On fixera

an troisième point pour lequel — = i, et qui sera appelé point de Vuniti. Le quotient

— donne alors pour un point quelconque (x,,jr,) le rapport anharmonique que ce

point forme avec les deux points de base (x, = o et x, = o) et avec le point unité (x, = x,); les coordonnées sont ainsi définies d'une manière purement projectire. (f'oiV Fiedler, Darstellende Geometrie, Leipzig, a Auflage, 1875.)

I^TBODCCTIO^ A LA TBÉOUK DES rOMES ALCÉBBIOCES. 3lS

duire à la place de ). un paramètre p, ne différant de X que par un facteur indépendant de la position du point sur la droite.

Nous avons aussi représenté par des équations analogues les rayons d'un faisceau, et nous avions

Le paramètre X est encore, à une constante près, égal à un rapport de distances; on a en effet

r et s signißanl les longueurs des perpendiculaires abaissées d'un point du rayon mobile sur les deux rayons fondamentaux. Nou* pouvons donc choisir aussi pour les grandeurs jc,, Xo l'interprétation géométrique suivante :

Xi , Xi sont deux nombres qui sont entre eux dans le même rapport que les perpendiculaires abaissées dans un faisceau du rayon mobile sur les rayons fondamentaux ßxes , la longueur de chaque perpendiculaire étant multipliée par une constante arbitraire, mais ßxe.

Nous devons poser dans ce cas

pjr, rr: ar^ px, =; bs,

a et b désignant encore les constantes arbitraires. Il est à peine besoin de faire observer que les remarques faites relativement aux faisceaux de rayons conservent également ici toute leur valeur sans aucune restriction. Dans ce qui suit, nous n'énoncerons pourtant les théorèmes géométriques qu'à l'égard de la géométrie sur la droite : le passage aux faisceaux de rayons va de soi.

La signijication géométrique des transformations linéaires, dont nous aurons constamment à faire usage dans la suite, peut être immédiatement comprise après les explications précédentes.

Choisissons comme points fondamentaux, au lieu de A, B, deux points A|, Bi de la droite {ßg. Sa), et supposons, pour fixer les