TOME

idées, que A, soil sllué à une dislance d en deçà de A, et B, à une dislance e au delà de h; puis appelons j,, jo les coordonnées du

Fig. 3a.

point C par rapport à ces nouveaux points fondamentaux; jt,J-i seront proportionnels aux distances du point G à A, et B,, multipliées par deux nouvelles constantes a et i3, et nous aurons

et en vertu de (i), si nous écrivons a au lieu de oc,

<Tjri-=a[cp-^ri{p-}rq)], (TXi = P[cq -]-e{p-^q)].

Exprimant encore p, q d'après (a) en x^, x-i, il vient

/c -+- rf d \

^ [c-ye e \

ou, comme il ne s'agit que du rapport

ït

relations linéaires entièrement générales entre les quantités x et les quantités j. La condition que le déterminant de la substitution

al3aic(c -\- d -\- e)

ne soit pas nul est d'ailleurs remplie ; car cette dernière hypothèse ne pourrait se réaliser que pour c = o, c'est-à-dire si les points A, B coïncidaient ou pour c -h r/ -f- e= o, c'est-à-dire si il y avait coïncidence entre les points A« et B|. Nous avons donc le théorème suivant :

Toute substilulion linéaire, dont le déterminant n'est pas nul, est identique avec un changement des points Jondamentaux et

IMTRODl'CTION A LA TUEORIE DES FORMES ALGEBRIQI'ES. 31 J

des facteurs constants, dans l'interprétation géométrique où le rapport des variables est représenté par un point d'une droite.

Dans les équations (4)> les coefficients ont eux-mêmes une signification géométrique directe ; ce sont les coordonnées des nouveaux points fondamentaux par rapport aux anciens. Si on les désigne respectivement par x'^ , x'^ et x\ , j:* , on obtient immédiatement, en vertu de la signification des grandeurs a, b, c, d, e,

pjr\ --^ — ad, |Bx' =a' c -+- e), •

ox'., .=2 b[c -\- rf), px'^ =■ — be^

On le reconnaît aussi à ce que, pour les points A|, Bj, doivent avoir lieu respectivement les équations

Une équation linéaire

représente, en efiet, toujours un point ayant pour coordonnées a-i, — ai, ainsi que cela résulte immédiatement de la résolution par

rapport à — ; et par ce moyen on pourrait tirer de nouveau de (6)

les relations (5).

En général, nous pouvons considérer toute équation homogène

entre x,, et Xj :

/(j:„Xj;=o,

comme une équation où le rapport — est la variable, et qui donne

en général pour ce rapport un nombre déterminé de valeurs ; d'où l'énoncé géométrique suivant :

Une forme algébrique du n""*' ordre égalée à zéro représente un système de n points sur une droite.

Parmi ces points, ceux-là seuls sont efTectivement constructibles

pour lesquels l'équation en -- a des racines réelles. Pour repré-

(' ) Voir les remarques correspondantes pour la transformation linéaire des formes ternaires, p. 88.

ai'i TOME I. — COAPITRE III.

seiitcr aussi des racines imaginaires, nous parlerons de points imaginaires sur la droite, de la môme manière que nous avons déjà à diverses reprises introduit des points semblables dans le plan ( ' ). Il est alors permis d'énoncer même géométriquement tous les théorèmes algébriques, indépendamment de la réalité des grandeurs qui en font l'objet. Ces mêmes théorèmes continuent aussi d'exister indépendamment de la réalité des coefficients dans les formes binaires correspondantes. Nous pouvons donc toujours supposer que ces coefficients sont des grandeurs complexes, et alors, en général, aucun point réel ne correspondra à la forme, en sorte qu'il y aura opposition entre cette convention et la supposition faite expressément dans la théorie des coniques.

La condition pour qu'un tel système de points possède une propriété indépendante de la situation des points fondamentaux est, d'après les observations générales qui ont été faites, donnée par l'évanouissement d'une fonction rationnelle entière des coefficients de la forme représentative du système de points, fonction ayant la propriété de l'invariance (2). Une semblable Jonction des coefficients sera appelée un invariant de la forme.

Etant donné d'ailleurs un système de points, il existera en général d'autres systèmes qui ont avec le premier une relation remarquable, indépendante de la situation des points fondamentaux.

(") On peut aussi représenter géométriquement les racines imaginaires, en envisageant, d'après Gauss et Cauchy, le plan complexe (j: -t-i^) comme champ d'évolution des formes binaires, ou mieux encore en faisant usage de la surface sphérique de Rieniann. {Voir, par exemple, C. Necmann, Theorie der Abehchcn Integrale ; Leipzig, iSGiî), ainsi que cela est usuel dans la théorie des fonctions, f oir, sur ce sujet, Môniis, Berichte der k. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften ; math.-phys. Klasse, i8j-> et i8J3, ou Journal de Grelle, t. 52, p. 218 et a ig ; et aussi Reltrami, Sulla geometria delle forme binar ie cubiche {Accad. di Bologna), 1871 ; F. Klein: J'er~ gleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1873, p. /17 ; Pour ce qui concerne une définition purement projective des éléments imaginaires du domaine binaire, voir y. StaI'OT, Beiträge zur Geometrie der Lage, a* cahier; ISüriibcrg, 18J7 ; Stoltz, Math. Annalen, t. IV, et LünoTii, Das Imaginäre in der Geometrie und das Rechnen mit Würfen (ibid.. t. VHI et XI).

(') II peut aussi arriver que l'évanouissement d'un ou do plusieurs invariants ne sullise pas pour représenter la propriété en question et qu'il faille encore l'évanouissement identique de covarianis. Nous approfondirons davantage ce point dans li thcoiie de» formes ternaires, et c'est alors que nous donnerons les démonstrations convenables, après avoir appris à connaître dam la théorie des formes binaires des riemptcs docuvariauts qui s'évanouissent.

INTBODl'CTIOX A LA TOEORIE DES FORMES ALCtBRIQrES. ifj

Un groupe de points de celte sorte est représenté par l'évanouissement d'une fonction qui possède la propriété de l'invariance, et qui renferme non-seulement les coefficients de la forme donnée, mais encore les variables Xi, x^. Une telle Jonction s'appelle un covariant de la forme donnée. Que l'ordre d'un covariant relativement aux variables ne soit pas modifié par une transformation linéaire, pas plus que ne le serait celui de toute autre fonction, cela est d'évidence immédiate. Si l'on considère simultanément plusieurs formes, il y aura des formations invariantes qui dépendent à la fois des coefficients des diverses formes; elles seront appelées cox^ariants ou invariants simultanés du système, suivant qu'elles renferment ou non les variables.

Si donc nous désignons par «o? «o ^2y ••- les coefficients de la forme f{x\, Xo) et par rt'„, a^, a'o ceux d'une forme F(^'|, ra)» F étant déduit de^par une transformation linéaire, et, si H est une fonction rationnelle entière de leurs arguments et r le déterminant de la substitution, un invariant de f sera défini par (' )

n(a'„, a\, a\,...] = /^n(flo, «„ «,. ...) et un covariant de fpfir

Nous expliquerons cela par quelques exemples. En premier lieu, deux formes d'ordre quelconquey^=o, !f =- o étant données, la forme