TOME

- CIIAPITBE III.

appelée le délerminnnt fonctionnel ( ' ) ou, d'après le nom de son inventeur, \e jacobien de / et de <f, est, ainsi que nous allons le montrer, un invariant simultané de ces deux formes. Si nous faisons la substitution linéaire

et que F (ji, J2), * (j? i>.) 2) soient les formes dans lesquelles se changent/", y par cette substitution, on a

dF ^ Ar,

àj 1 ~ ôxi on

dF ()/ d-r,

àXi ~ dj-, d/2

d/ dx, d.r2 dj,

drj d^-j ' d^i

dr j

d/ dx.

et de même

d* dy

dji "" " do-,

dy ''dZ,

dj2 d./', d./i

par suite, notre déterminant fonctionnel établi pour les formes F, <P devient

dr,

d.rj duTi d/j

dy

Ol nous avons, d'après le théorème sur la multiplication des déterminants

dF dF^

dji djj

dji djî i

dx, du:,

df> dy d.r, ôXf

c'est-à-dire que le déterminant fonctionnel de fet de 9 est un covariant simidtané; on a en effet, dans notre cas,

(') fo«> Jacobi, De determinantibus functionalibus {Journal de C relie , t. 22). Égalé à zéro, ce dctorininant donne les points dont les polaires linéaires {'voir le Chapitre suivant) relativement a/ct f sont identiques.

IHTIODCCTION A LA TBEOBIE DES FOBMES ALCEBRIQrES.

il9

Ln exemple de covariant d'une forme unique J'(^3C^, x^) nous est fourni par le déterminant ayant pour éléments les secondes dérivées de cette forme

drjf

dxj dx, dxî

déterminant qui, à cause de son inventeur Hesse ('), est habituellement appelé le hcssien. Soit encore ^{jiyji) la forme dans laquelle se change /(or,, x^) par l'effet de la transformation (7); il vient, en différentiantles équations (8),

djr\ djcy ÔJCx

dq

El

relations dans lesquelles on a posé, pour abréger.

El àf

EL

dxj df

dxj *" ■ dxj

Si nous portons ces résultats dans le déterminant précédent établi relativement à F, il vient

dp dp dx, dx.

dx, d.r.

àq dq àq dq

dxj dxj dxj axj

^^Ji^^Ji àjrl

ce qui, d'après le théorème sur la multiplication des déterminants,

est égal à

dp dp

dx, dx.

d«7 dq

dx, dxj

( ') Voir Journal de Crelle, t. 28, p. 83.

Si l'on emploie encore une fois, en avant égard aux équations (9), le théorème de multiplication souvent cité, il viendra

àV

Oxi

autrement dit, ledélerniinaiit Jiessien d'une forme est uncovariant de celle forme.

Un invariant simultané de deux formes f et <f est donné dans tous les cas par la condition que les deux groupes correspondants de points aient un point commun, car cette condition est indépendante de la situation éventuelle des points fondamentaux des coordonnées. Si les deux formes sont linéaires, cet invariant est facile à former. Alors en effet, pour le point commun, ont lieu les équations

/^rt-,*, -f-«,.rj~-o,

y= /-»i.r, -h bi>\ -: O,

et l'élimination des x donne, pour la condition demandée, l'évanouissement du déterminant

Mais ce déterminant n'est autre que le déterminant fonctionnel dey, 9; il possède donc la propriété de l'invariance; ce qui peut aussi s'établir directement au moyen du procédé qui a servi à démontrer la proposition correspondante pour les déterminants fonctionnels en général. En effet, par l'emploi de la substitution (7),, fel 9 deviennent respectivement

F = (rt,«-+-a,7)r, -i-{aiß-^atS)j'i, * = (6,«4- 6,7) Ji -»-(*iiS-+-^<?)jj,

et notre déterminant, établi pour ces deux formes, se décompose encore immédiatement en deux facteurs ainsi qu'il suit :

Si une seule forme linéaire est donnée, elle représente un point

»TRODCCnO:« a la théorie des FOBMES ALGÉBRIV>.eS. 331

unique. Or un tel point ne peut évidemment jouir d'aucune propriété géométrique, si ce n'est qu'il existe, c'est-à-dire que la forme linéaire correspondante ne s'évanouit pas identiquement, ou, en d'autres termes, que ses coefficients ne sont pas nuls. Donc il n'existe aucun in\>arianL d'une seule forme linéaire. Il en est déjà autrement si l'on a affaire à une forme quadratique ; car les deux points qui lui correspondent peuvent se confondre. S'il en est

effectivement ainsi, l'équation du second degré en —

obtenue en égalant la forme à zéro, aura deux racines égales. Or la condition de l'égalité de deux racines est, comme l'on sait,

(la) «o«î — oî = o.

Mais, à part un facteur numérique, c'est là le déterminant hessien de la formey, car nous avons ici

dx* ' dxjdxj dxjdxj ' dx\

et par conséquent

ia^.

dx^ dx|

ôx^d~c âxî

= 4(«o«»— ûj).

Maintenant, comme le déterminant de Hesse, ainsi qu'il a été démontré, n'éprouve d'autre changement, par l'effet d'une transformation linéaire, que la multiplication par le carré du déterminant de la substitution, il en est de même de l'expression (12), c'est-àdire que cette dernière est un invariant de f.

Les exemples d'invariants donnés ici en dernier lieu sont des cas particuliers déformations invariantes d'une espèce plus générale, que Ton désigne respectivement sous le nom de résultant et de discriminant ( ' ), et qui sont en général définies de la manière suivante.

(') Voir sur ce sujet, en même temps que les Oorrages cités de Clebsch et de Sal- Mos, Baltzer, Theorie und Einwendung der Determinanten ; LeipzÎQ, 1870, §11, et pour la représentation symbolique qui doit être exposée plus tard, spécialement Goroan, Ueber die Bildung der Resultanten zweier Gleichungen {Math. Annalen, t. 3).

aaa tome i. chapitre m.

Le résultant de deux formes f et ç^ est In fonction entière de leurs coefficients, qui doit s'annuler pour qu'un point du groupe répondant à f coïncide avec un point du groupe répondant à 9, autrement dit, pour que les équations y'= o, 9 = 0 aient une racine commune.

Le discriminant d'une forme f est la /onction entière de ses coefficients^ qui s'annule lorsque deux points du groupe correspondant à f coïncident, c'est-à-dire lorsque l'équation y" rrr o a deux racines égales.

Pour ces fonctions on est maintenant en mesure de donner des lois de formation tout à fait générales, et celles relatives aux discriminants se déduisent de celles relatives aux résultants. Nous commencerons donc par ces derniers.

Soit donnée une équation en x du /^'^""' degré /= o et soient Pt p^'K p^'^\ •', p^"~'^ ses racines; on a alors, comme on sait, c désignant une constante,

Si l'on pose maintenant x = ~ el qu'on multiplie par x", dans

les deux membres, f sera une forme binaire, et si nous faisons en même temps

les quantités p seront les coordonnées des points qui représentent la forme. Nous avons alors, en faisant y = 0x7" [/>2/'',">-'->f't'*~"]~S /=y[.r./,.--x,pJ[x,/,<;'-x,/,V'][.r./.;''-.r.p'.*']...[.r./,--«'-

ou, »i nous écrivons, pour abréger, [rs] au lieu du déterminant

/•,.Vo — Ta.v,,

(l3) f=y{xp){xp^^))[xp(*)) . . . [xpC-^)).

Supposons ensuite que l'on donne une seconde forme © du m'*"* degré et qu'on désigne par la lettre q les coordonnées de ses points racines, nous aurons de même

Si maintenant un po'inlp^'^^ deycoïncide avec un point ^("^ de 9,

ITTRODCaiOX A LA THRORIE DES FORMES ALCÉBRIQCCS.

le détcrrniniinl

[p(^^q<^^)=prq1'-pTq\

seranui.Dânscecas,lerésuUantcherchédoit toujours aussi, d'après sa définition, être nul, et cela pour chaque couple de valeurs des indices u, v. D'autre part, c'est à celte condition seulement que celte fonction peut être nulle; elle sera donc le produit de tous les déterminants {p^^'^ff^^^) et nous aurons

ii5

[pq] [p'q]

>("-«) fl'i

{pq

{pqi'"-^)].

(/?("-») çC'-«)).

Il nous importe d'ailleurs essentiellement de former le résultant en fonction des coefficients de y et de o sans faire usage des valeurs p, q qui annulent ces expressions. Les coefficients de l'une de ces formes sont faciles à introduire dans R, car on obtient les lignes horizontales de l'expression donnée (i5) en remplaçant successivement dans (p la lettre x par la lettre p affectée des divers indices supérieurs, et les lignes verticales en remplaçant dans JXa lettre x par la lettre q. On a par conséquent aussi

? [Px ^Pi ) ? [P\ '/>'♦)? {P\ ^P'i! ■•• ? [P["

et l'aspect extérieur de ces formations donne immédiatement le théorème suivant :

Le résultant de deux formes du m'^""^ et du n"''"^ ordre s'exprime en Jonction homogène des coefficients de ces formes, et est du n'^'"" degré par rapport aux coefficients de la'première, et du jiitème pfjf. rapport aux coefficients de la seconde.

Pour la représentation directe du résultant en fonction des coefficients des deux formes, on possède différentes méthodes, qui pourtant ne jettent aucune lumière sur la loi de formation proprement dite, dans le sens au moins où l'exigerait la théorie des

invariants. On peut, par exemple, d'après la méthode de Svlvester, procéder de la manière suivante :

Si, pour une valeur de xlx étant supposé égal à— |,/et <p s'évanouissent, les m -h n équations suivantes doivent être également satisfaites :

/= o, .r/= G, .r*/ = O, fz=0, J.'y = o, x*îp=0,

Nous pouvons entre ces équations éliminer les m -+- n grandeurs i,XfX^, ..., x"'"*"""' et obtenir ainsi le résultant sous la forme d'un déterminant dont chaque terme contient m-h n facteurs. Si, par exemple, y est du second degré, 9 du troisième, en sorte que

pour une racine commune, ont nécessairement lieu les équations suivantes :

x*/= Off.r'' -f- ?.«, .r' -\- n^.r^ = o,

xf =z flß.r* -+- 9. fl, ./* -+- o^x =. o,

Xfz= bQ.T*-+- 3^,.ï-' 4- Sôj.r* -+- ^a-r

et l'élimination de a;', x^, x-, x, i donne

2rt,

ia^

Le résultat de l'élimination entre deux formes d'ordre égal est déjà un peu plus abrégé quand on emploie une méthode donnée par Bézout et Gayley. Si, en effet, /et 9 sont tous deux d'ordre n, l'expression

s évanouira indépendamment de j- pour un point commun à/et à 9,

ürriODl'CTIOX A LA TBÉOBIC DES FORMES ALCiBRIQDES. 3}5

el sera divisible par x — y^ parce qu'elle devient nulle pour x = j' ; par conséquent,

est une forme d'ordre {« — i) en x qui s'annule pour toute valeur de^', dès que x est une racine commune à y et à tp. Ordonnant F suivant les puissances de y, nous obtiendrons l'expression

F =: foo -I- ''oi -^ -«- ^oi-ï^* -+-

H-J (<^lo -+-fiiX-4-C,,.r»-+- -»- J* (<^ïo -!- rj,.r -i- CsJX*-^-

Coi

''ot