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Si maintenant celte fonction doit s'annuler indépendamment de y., les coefficients de chacune des puissances de y seront nuls simultanément. Cela donne n équations entre lesquelles nous pouvons éliminer les grandeurs i, x, x-, ..., x"~* , de manière à obtenir le résultant sous la forme d'un déterminant, ainsi qu'il suit :

Au moyen de la forme auxiliaire F nous avons, dans ce cas, réduit le résultant à un déterminant à termes de n facteurs, tandis que, formé suivant la méthode de Sylvester, il contiendrait in lignes.

La formation du discriminant peut toujours se ramener à l'élimination de X entre deux équations du même degré. Si, en effet, une forme d'ordre n/^x,, x^), supposée résolue en ses facteurs linéaires comme dans ( i3), doit renfermer le carré de l'un d'entre

eux, ce facteur figure encore linéairement dans les fonctions -r— >

ÔJCi

— lorsqu'on y remplace Xt , x^ par les coordonnées du point comptant ainsi deux fois; et l'on a en conséquence pour ce point simul-

CtEBScn. — Géométrie, I. ï5

aaG TOME I. — CHAPITRE IM.

tanément les deux équations de Torde n — i

entre lesquelles il s'agit d'éliminer x<, x-^. Nous n'avons plus à avoir égard ici à l'équation fz= o, car, à causé de la relation

elle est une suite des équations (17).

Le discriminant d^une forme est donc le résultant des deux premières dérivées partielles de la forme, et par suite est du degré ^[n — i) relativement aux coefficients de cette dernière.

Nous pouvons facilement représenter le discriminant comme fonction des racines def= o, semblablement à ce que nous avons fait pour le résultant. Le discriminant doit en efl'et, toujours et

»'" »'*' uniquement, s'annuler lorsque deux racines ~ et ~-^ âef= o de-

Pi Pi viennent égales l'une à l'autre. Or une fonction de celte espèce est en toute hypothèse le produit de tous les facteurs.

que l'on peut former avec les n racines de f c'est-à-dire n'est autre que l'expression

Mais le produit des différences change de signe lorsqu'on permute deux des racines entre elles, ce qui ne saurait avoir lieu pour une fonction rationnelle des coefficients comme est le discriminant, parce que les coefficients ne sont pas modifiés par l'échange des racines. Maintenant, puisque une fonction symétrique des racines peut toujours être représentée comme fonction rationnelle des coefficients, il s'ensuit que le discriminant est donné par le carré du produit des différences des racines defz= o, c'est-à-dire par le carré de P.

ITTRODCCnO!« A LA THÉORIE SCS FOKBKS ALCÉBIIOCES. 337

Pour donner un exemple de la formation du discriminant comme résultant des formes t — et -r— -> nous développerons cette formation pour une forme cubique générale. Soit donc

/=aa:\ -+■ 3bx\x,+ 3cx,x* -f- rfxj, nous avons à former le résultant de

•r -r— =aa-l-h 20x10-4 -h cxt, 3 OJr,

là/,, , ,

- -r— = bx] -+- 2cx,a-i -f- dxl, 3 dxj '

et par suite le discriminant de y est, en employant le procédé d'élimination de Sylvester,

a ab c o

Q a ib c b ic d o ob ac d

[ad — bcY — /i [ac — b^) [bd — c*]

Les considérations précédentes nous ont sans doute montré comment il est possible d'établir d'une manière générale les résultants et les discriminants, mais ces fonctions apparaissent ainsi sous une forme qui ne nous permet pas sans calculs prolixes de reconnaître leur caractère invariant, bien que ce caractère dût être mis en évidence d'après leur signification. Or il est possible de mettre les formations en question sous une forme telle, que la propriété de l'invariance dont elles jouissent, et qui a pour nous un intérêt essentiel, apparaisse aux yeux, et l'on y parvient à l'aide des méthodes qui vont être développées dans ce qui suit. Ces méthodes permettent, en effet, de représenter en général tout invariant ou tout covariant de manière qu'il puisse être immédiatement reconnu comme tel sans autre calcul.