II. — La représentation symbolique des formes binaires

L'idée fondamentale des développements plus étendus sur la théorie des invariants, que nous abordons maintenant, repose essentiellement sur la proposition suivante :

«SiII est une /onction des coefficients «o» «u «2? •••• «« d^une

aj8 TOME I. — CIIAWTRE III.

forme générale du n'^"*" ordre /[xiyX^), possédant la propriété de l'invariance, la forme

()ii , dn , dw , dn ,

j— ^0+ T- ^1 + 7"" ^* + • • • "^ T— ''« ouq Odi OOi Oa„

jouira également de cette ])ropriété de l'invariance, la lettre b désignant les coefficients correspondants d'une autre forme du jliéme ordre cp. *'

Si nous prenons en effet pour base, au lieu de la forme f là forme f-^y.'^, Il sera nécessairement un invariant de cette dernière forme, où les coefficients a sont remplacés par les coefficients a-\-if.bf parce que la forme y-|- x(p est d'une nature ni plus ni moins générale que y"; et ceci doit avoir lieu indépendamment de la valeur de x. On a par conséquent

les lettres accentuées étant les coefficients des formes qui dérivent de^et de 9 par l'effet d'une transformation linéaire dont /• est le déterminant. Cette équation doit avoir lieu indépendamment de x, et par conséquent, si l'on développe suivant les puissances de x, les coefficients des mêmes puissances devront être égaux dans les deux membres. On a en particulier, pour la première puissance de X,

, , *)n ,, <)\\ „ dw ,, ,/dn , r)n , à\\ , \

^ ' dMo d«, a«„ \da^ Oui da„ J

et notre théorème se trouve ainsi démontré. On reconnaît facilement aussi qu'il a encore lieu pour un invariant simultané d'un système de formes : Que l'on joigne à ce système une autre forme <p, et l'on obtiendra un Invariant simultané du système ainsi étendu, en différentiant de la manière prescrite, suivant les coefficients de l'une des formes données qui devra être d'ordre égal à 9, un invariant simultané du système originaire, en multipliant les dérivées partielles par les coefficients de 9, et en faisant la somme. Si l'on pose alors dans (i) bi = ai, l'invariant originaire II se reproduit à un facteur numérique près, par application du théorème d'Euler sur les funcliuns homogènes.

rrrBODCCTIO!« a LX TBÉOaiE des formes ALGÉBRIQIES. ^itf

Le degré de II relativement aux coefficients de^ est chaque fois diminué d'une unité par l'emploi de ce procédé de différentiation. Nous pouvons donc, par l'introduction successive des coefficients de différentes formes nouvelles, arriver à obtenir au moyen de n un invariant linéaire par rapport aux coefficients de toutes ces formes aussi bien que par rapport à ceux dey.

uéinsi un invariant du v'^'"* degré par rapport aux coefficients dUme J'arme donnée d'ordre n est représenté sans ambiguïté par un invariant qui renferme les coefficients de v formes d'ordre n au premier degré, et se transforme, àunf acteur numérique près, en l'invariant donné, si l'on fait les v formes toutes égales à la forme originaire.

Mais nous pouvons aller encore plus loin dans cette réduction. Nous montrerons en effet que tout invariant peut être formellement représenté comme s'il était un invariant simultané de formes purement linéaires, et c'est là le fondement de ce qu'on appelle la représentation symbolique des formes binaires. Pour arriver à notre but, nous devons d'abord considérer de plus près les systèmes de formes linéaires dont nous avons parlé. Etant donné un certain nombre de formes linéaires, ayant respectivement pour coefficients «i, a^; b,, b-y; C|, C2, ..., nous nous proposons le problème qui consiste à établir le type explicite (formel) d'un invariant simultané

n rt,, «r,; 6j, i*; Cj, Cj . . . )

de ce système ( ' )• Il s'agit essentiellement pour nous de représenter l'expression II comme un composé d'autres expressions, dont les unes sont formées d'un nombre moindre de formes linéaires, les autres sont d'un degré total moindre que II; on entend ici par degré total la somme des degrés par rapport aux coefficients des formes particulières

Nous désignerons par II' ce que devient II si Tony pose bi = «,; ainsi

n' = n(ö,, flj; a,, flj; Cl, c^; . . . \

( ' ) Pour plus de détails sur ce sujet, consulter Clebsch, Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen (^Journal de Grelle- Borchardt, t. 59) et Theorie der binären algebraischen Formen, Leipzig, 1873, p. 2^ et suivantes.

aJo TOME I. CDAPITRE III.

Nous supposerons que Tï n'est pas égal à zéro. Celte supposition peut être faite sans nuire à la généralité; car, dans le cas contraire, Il lui-même renfermerait déjà le facteur (ai), et les considérations suivantes ne pourraient être que simplifiées par l'évanouissement identique de la formation Yl'i , dont nous allons parler incessamment. Déduisons maintenant de II' les formations suivantes, qui, d'après les explications précédentes, sont toutes des invariants simultanés du système précité de formes

dn' , dn' ,

TT., y«i Oti2

l désigne ici le degré de II par rapport aux coefficients b^, b^. Par l'application de ce procédé successif, on a ainsi formé au moyen de n' un invariant 11/ qui renferme les a et les b au même degré que n, mais en général d'une autre manière, car 11'^ tire son origne d'un invariant II' d'un nombre de formes linéaires moindre d'une imité. Si d'ailleurs A" est le degré de II par rapport aux coefficients fl,, flo, n' sera du degré h -\- l par rapport à la lettre a, II', d'autre part du degré A + / — i , et en général 11'^ sera du degré A-f-/ — r en a. Nous avons, par conséquent, d'après le théorème d'Eulcr sur les fonctions homogènes,

Ainsi n' provient d'une part de 11'^ (à un facteur numérique près) pour i,= «,, d'autre part de II aussi pour />/ = «/. Nous avons par suite la relation

[„; (/. -t- ,) (/. ^. ^) . , . (^. + /)n]«^=é, = o. Mais, comme la différence qui compose le premier membre doit

I!(TBODCCTIOM A LA THtOaiE DES FOIMES ALCÉBRIOIES. aSt

toujours s'évanouir pour a, = ^i, «o = ^a» elle est nécessairement divisible parle facteur

et nous pouvons poser

M étant une nouvelle fonction de caractère invariant et m la valeur inverse du facteur numérique (Â-f-i) (A" H- 2), ..., [k-hl). Nous avons ainsi décomposé d'abord II en un invariant 11'^ qui dérive de n'par notre procédé invariant ( H' renfermant une série de coefficients de moins que H), et en un autre invariant M de degré total moins élevé, multiplié par le déterminant {ab). On exprime aussi ce fait en appelant les coefficients en question, considérés relativement aux variables x/, variables contragrédienles, et, dans le même ordre d'idées, on appelle les coordonnées y\,y^ d'un autre point variables cogrédientes, par rapport aux variables x/.

On voit maintenant facilement comment on peut continuer ce procédé de décomposition, en soumettant de nouveau 11'^ et M aux mêmes opérations et ainsi de suite jusqu'à ce que finalement on arrive à des produits formés d'invariants du degré total 2 dans lesquels il n'est fait usage que de deux formes linéaires (car il est impossible d'obtenir un invariant d'une forme linéaire unique).

Or deux formes de cette nature, telles que

«iXi -t- «j a"î, et i,j-, -t- ^jj-j,

ont toujours un seul invariant que nous avons déjà considéré

(p. 220), à savoir

car deux points ne peuvent évidemment avoir entre eux aucune relation spéciale de situation que celle dans laquelle ils se confondent (' ). Actuellement les développements dans lesquels nous venons d'entrer établissent le théorème fondamental qui suit : Tout invariant simultané deformes linéaires est un composé de

(') Une démonstration algébrique de ce fait se trouve plus loin dans la théorie des formes quadratiques; nous ferons voir alors qu'une telle forme n'a qu'un seul invariant dont l'évanouissement exprime la coincidence des deux points.

a3a TOME I. — OIAPITBE III.

produits d invariants de ces j ormes prises deux à deux [ab),[ac ), (ifc), et ainsi de suite.

A l'égard du type général des covarianls simultanés d'un système de formes linéaires, nous n'avons besoin d'établir aucune considération spéciale; une forme

égalée à zéro, représente en effet un point ayant pour coordonnées y, = — a-i, ji =a^ (p. 21 5). Nous déduirons donc de tout invariant de formes linéaires un covariant, si nous y remplaçons une série de coefficients par les variables au moyen des équations

En effet, on reconnaît facilement que les coefficients se transforment linéairement de la même manière que les variables, car, par la substitution

p.r, = Kl-, -h Sj-j, p.rj = 7J, H- ^ i j,

il vient si l'on pose

p (a,.r, 4- «jJ^i) = a, j, -+- rt'j .1-2,

On n'a donc qu'à transposer les coefficients dans les équations de substitution des variables , pour obtenir celles des coefficients des formes linéaires.

Or, par la substitution (2), chaque facteur déterminant {ab) se transforme en un facteur linéaire b^x^ -\-b.iXi\ et comme inversement aussi de tout covariant simultané résultent, parla substitution ( 2 ), un invariant et par conséquent une combinaison de déterminant [ab), (oc), etc., il s'ensuit que :

Tout covariant simultané d'une série de formes linéaires est un composé de produits dont les facteurs ont l'un des types suivants :

1° [ab), invariant de deux des formes linéaires;

1° rti j:, -h aj J'a, une des formes linéaires elles-mêmes.

Si Ton applique la substitution (a) simultanément à plusieurs séries de coefficients, en introduisant ainsi plusieurs séries de va-

i:<TaoDt'CTio:« a la toéosie des formes algebbioces. -î'M

riabics, on voit qu'en dehors des facteurs cités il ne peut s'en présenter d'autres que ceux du type {xj), appelés covariants identif/ues. On pourrait d'ailleurs dans cette recherche prendre pour base des formes à séries plus nombreuses de variables (x^Xj', J'nJ'ij 'iy ^3 ;...). Toutefois on peut montrer qu'on n'arrive pas ainsi à des formations nouvelles, et que, au contraire, il est en général suffisant de prendre pour les formes primitives une seule série de cette espèce: c'est ce que nous ferons toujours par la suite. L'introduction d'une notation symbolique pour les formes binaires nous permettra, à l'aide des théorèmes énoncés ici à l'égard des formes linéaires, de donner aussi d'une manière générale le type d'une formation invariante quelconque. Nous éclaircirons d'abord ceci par un exemple simple, et nous nous proposerons de représenter le discriminant de la forme quadratique

comme produit de deux facteurs déterminants {ab). Dans ce but, considérons f symboliquement comme le carré d'une forme linéaire {p. 93) et posons

/=(a,x, -f-aj.rj)*.

Nous pouvons alors, si nous le voulons, toujours réintroduire les coefficients véritables à la place des symboles a,, a-^ par le moyen des équations

Toutefois, la chose n'a lieu que si Ton a affaire à une fonction linéaire en an. En effet, on pourrait, par exemple, remplacer «^a* aussi bien par le produit a^ a-n que par le carré a|,; des ambiguïtés seraient donc alors possibles. Pour éviter cet inconvénient, effectuons, dans la première ligne verticale du déterminant

qui représente notre discriminant, la substitution indiquée, et écrivons dans la seconde ligne (verticale) à la place de la lettre a la lettre b, qui aura la même valeur, en sorte que

23 'l TOME I. CHAPITRE III

Alors il vient

= «1^1 [ob].

Mais, comme il doit être indifférent d'introduire les a ou les ù dans une ligne verticale ou dans l'autre, on a aussi

bi a,

è,rtj(aft),

et, si nous formons la somme des deux expressions, I=.L{a,b,-b,a,){ab] = l{abY,

ce qui fournit la représentation demandée. Maintenant, au lieu des symboles a, b, nous pouvons sans ambiguïté réintroduire les coefficients ai/s', car on trouve immédiatement

En général cependant, l'introduction des différents symboles ne peut avoir lieu aussi simplement, et l'application réitérée du procédé de différentiation connu devient nécessaire. Les développements relatifs à ce sujet s'établissent de la manière suivante.

Nous avons vu (p. 229) qu'on peut ramener un invariant quelconque à un autre qui renferme linéairement les coefficients des formes individuelles d'un système de formes du même ordre, sauf à supposer ensuite ces formes identiques avec la forme originaire. A la place des coefficients de chacune de ces formes nous pouvons introduire ceux d'une forme linéaire en remplaçant chacune des formes auxiliaires par une puissance d'une forme linéaire. Nous écrirons donc, au lieu des coefficients a de la forme originaire donnée, les coefficients correspondants de la forme

{a,.r, +rtj.r,)'»,

et de même, au lieu des coefficients b de l'une des formes d'ordre /ï. ceux de la forme

et ainsi de suite. Alors notre formation invariante est représentée sans ambiguïté par les coefficients des formes linéaires a,x, -f- ff, r„ b^.^•^ -\- 6,.r,

»TBODCCnON A tA THtOUE DES FOKMCS ALUÉBMOCES. 335

car on peut à tout instant passer de leur représentation symbolique à leur représentation réelle (').

Soit, en efFet, la forme primitive donnée par

nous avons à faire les substitutions suivantes :

Une condition nécessaire pour la possibilité de ces substitutions (et là est le principe de l'introduction de ces formes auxiliaires), c'est que la formation invariante ait toujours été supposée linéaire en fait par rapport aux coefficients de chacune des formes auxiliaires. Dans le cas contraire, ainsi que l'a déjà montré le dernier exemple, le retour à la fonction originaire ne serait pas toujours possible sans ambiguïté. Si, en effet, il se présentait un terme ayant pour coefficient symbolique

On pourrait pour i = A" -f- / décomposer ce terme de plusieurs manières très-différentes en deux facteurs de la forme

ÄJ-*i*, W'-'b'^

et les coefficients effectifs a^, ai seraient par conséquent indéterminés. Pour éclaircir cette méthode de calcul symbolique, quelques exemples seront ce qu'il y a de mieux. Nous commencerons encore

(') La représentation symtralique sous la forme dont il est fait usage ici a d'abord été employée arec succès par Aroxholdt {^Journal de Borchardl, t. 39, 55 et 62) et par Clebsch qui en a fait la base de toute la théorie des invariants {ibid., t. 59). Déjà auparavant Cayley s'était servi d'une symbolique {voir spécialement Memoirs upoii quantici et Salmox, Introductory lessons ; etc.) qui ne se distingue à proprement parler de la nôtre que par le système de notations, et qui sous ce rapport se rapproche davantage de la symbolique déjà employée dans la théorie des équations différentielles (parCACCBT, BooLE, etc.) ou dans la représentation de la série de Taylor.

par rinvariant d'une forme quadratique c'est-à-dire par la foncPion

Soient maintenant b,t, b^^ b^^ les coefficients d'une seconde forme qui doit être supposée ultérieurement identique AxecJ"; nous aurons, par application de la méthode générale,

o«ji c/«i2 aa^i

11 faut ensuite remplacer dans cette expression les coefficients a/A par les coefficients de la forme

les bm par ceux de la forme

pour obtenir symboliquement notre invariant I' sous la forme I' =za\bl ■+- bia-, — a/.», 6,<7,rt,.

Maintenant, comme, pour bi/t = nik, on a 1'= al et que nous devons supposer les symboles b de même que les symboles a remplacés par les grandeurs effectives ai/f, nous avons

ou, comme nous l'avons trouvé auparavant,

1 = 1 [ah]* =1 (aj>, — bia:\

pour représentation symbolique de notre invariant.

Un autre exemple nous sera fourni par le déterminant fonctionnel de deux formes binaires, que nous avons déjà reconnu être un covariant (p. 217). Soient

y = («,x, -f- «jx,)« = {.Si«, + .Sj«,)" les deux formes sous leur représentation symbolique; par l'intro-

INTRODIXTION A LA TIIËÛRIE DES >'08MES ALCÉBRIQUES.

duclion de la notation

nous pouvons les écrire plus brièvement comme il suit :

Le déterminant fonctionnel est alors donné par