AL

Nous pouvons maintenant appliquer à nos puissances symbollquesyet ç les règles ordinaires de la différentiation, carie degré de la forme par rapport aux coefficients n'est pas influencé par cette opération, et il n'en peut par suite résulter aucune ambiguïté. Nous obtenons

df ,. df

dx^

dx^

ma ' ' fl.

et le déterminant fonctionnel est symboliquement représenté par

Le déterminant û des secondes dérivées d'une forme /"= a"= i" (le hessien) se représente d'une manière tout à fait analogue. Nous \ ferons

dxl

dr, d/-j

cl nous obtiendrons

l,=.n*[n-iYa,b,{ab]aT'K-'

a38 TOME I. — aiAPITRE III.

ou, à cause de la signification identique de a et de b, ü = -n*{n-iYa,b^ [ab] <- « b",-^

=zln*{n-iY{ab)*a--'b%-\

La notation appelée symbolique rappelle une manière abrégée (l'écrire dont nous nous sommes déjà servis dans la théorie des sections coniques (p. pS); mais, tandis que cette méthode était alors un simple moyen auxiliaire pour faciliter les opérations, elle constitue jnaintenant le fondement de toute la théorie. Elle acquiert précisément cette haute importance par le théorème suivant, qui résulte immédiatement de nos développements antérieurs :

Tout inwaiiant d'une forme algébrique binaire se représente symboliquement comme la réunion de produits de déterminants symboliques du type [ab), tout covariant comme la réunion de produits de déterminants symboliques {^ab^ et de facteurs symboliques du type Cx.

La succession d'idées qui conduit à ce théorème, succession plusieurs fois interrompue par des exemples, est en abrégé la suivante. iVous avons montré que tout invariant ou tout covariant peut être considéré comme une formation simultanée possédant la propriété invariante d'un système de formes linéaires dont les puissances servent comme expressions symboliques pour représenter la forme originaire ; nous avons vu ensuite qu'une telle formation invariante est nécessairement un composé de produits dont les facteurs appartiennent au type {ab) ou c^, et il nous suffit de formuler brièvement ces deux observations. L'importance capitale du théorème est évidente ; car, tandis qu'auparavant nous avions d'abord à démontrer par le calcul la propriété de l'invariance, nous pouvons maintenant la conclure directement, sur la notation symbolique, de la loi de formation : chaque facteur individuel a, en effet, le caractère invariant. Il est à peine besoin de faire remarquer que la réciproque du théorème est vraie : c'est-à-dire qu'on peut considérer tout invariant ou tout covariant deformes linéaires, qui contient les coefficients de ces formes à des dimensions convenables, comme la représentation symbolique d'un invariant ou d'un covariant de formes d^ordre plus élevé; les dimensions doivent seulement être les mômes que les degrés des formes supé-

l?(TRODt'CTION A L\ TIICURIE DES FORMES ALGÉBRIQCES. :>39

rieiires correspondantes. En effet, il est également évident que les symboles d'une forme se transforment linéairement par les mêmes équations que les coefficients effectifs des formes linéaires (p. a3a).

Les exemples de formations symboliques, que nous avons donnés, confirment le théorème précédent; la propriété de l'invariance dont elles jouissent est mise maintenant immédiatement en évidence. Mais les résultats et les discriminants devront aussi pouvoir être représentés par des produits symboliques de déterminants. On y parvient au moyen d'une méthode qui permet en général d'exprimer toute fonction symétrique des coordonnées des points d'évanouissement d'une forme (c'est-à-dire des racines d'une équation) en fonction rationnelle des coefficients de la forme, et cela précisément sous le mode de représentation symbolique de ces fonctions rationnelles (' ). Nous ne ferons néanmoins dans la suite aucun usage de cette méthode générale et nous nous bornerons plus tard, en parlant des formes quadratiques, cubiques et biquadratiques, à donner les formations de discriminants sous leur forme symbolique. Il est d'ailleurs en général dans le caractère de ces méthodes générales de devenir trop prolixes, toutes proportions gardées, lorsqu'on a affaire à des cas particuliers, où alors d'autres procédés conduisent plus rapidement au but.

Dans les calculs symboliques d'une certaine longueur, comme . on n'a pu en éviter toujours dans les développements suivants, on peut, par l'emploi judicieux de certaines équations identiques, obtenir très-souvent des simplifications importantes. Nous donnerons ici les plus usuelles de ces égalités.

Si l'on élimine i, X|, x^ entre les trois équations identiques

fl^ = ö,j:i -f- rtjoCi,

Cj. = C^.T^ H- <?2*^Sl

il en résulte d'abord l'équation également identique

(') Voir le § 20 dans l'ouTPage de Clebsch.

OU, en développant suivant les termes de la première ligne verticale^

(I) {bc]a^-h{ea]b^-h{ab)c:r = o.

Si l'on fait passer un terme dans le second membre et qu'on élève au carré, on a encore l'identité

(U) {ab) [ac) b^c, = ^[{abYc'^ + («c)' i« - (6c)»«!)].

Remplaçant maintenant dans (I)x,,^2 respectivement par di et — d, nous obtenons

(m ) [bc] (ad) + [ca] [bd] -h {ab) [cd) = o.

Et si nous posons, au contraire, dans (I) C1=:J^, C| = — yj, il en résulte l'importante équation

( IV ) «x f>y — ^x a y = («'■') [^y] '

Un autre moyen fréquemment applicable pour la transformation des expressions symboliques et pour l'établissement de leur forme la plus simple consiste dans l'échange de deux symboles, opération qui, à cause de la signification identique de ces derniers, doit laisser invariable la vraie valeur de l'expression dont il s'agit. La fonction F(x, j), que nous avons employée précédemment à former le résultant de deux formesy^et <p de même degré, nous en oflVe un exemple (p. aaS).

Soit symboliquement

alprs F{x,j) sera donné par

ou, à cause de l'identité (IV),

T{x,x) = [aa) (««-« «^".-' -+- ff;-»«^.-««^fl^. 4- ...).

Si nous supposons en particulier que /"et 9 soient les première* dérivées partielles d'une forme al, que par suite

ISTEODl'CTIOX A Ui THÉORIE DES FOBIIES ALCÉBRIOIES. i^l

on a, puisqu'il est nécessaire d'introduire de nouveaux symboles b dans o,

ou, en échangeant « et è et intervertissant les termes dans le second membre à l'intérieur de la parenthèse,

et si l'on ajoute ces deux expressions, il vient

F(x, j) = ^ [ab]* («r » ^r * + «r ' K-' «. i.

Si dans cette dernière relation on pose en particulier « = 2, on obtient -[ab)*, c'est-à-dire le discriminant de la forme quadratique rtf , comme cela doit être.

De ce procédé résulte encore la remarque suivante, qui est souvent utile : Si une expression symbolique change de signe lorsqu'on permute entre eux deux symboles équivalents, cette expression est identiquement nulle. On prouve par exemple, à l'aide de ce théorème, l'évanouissement identique de toute expression

dans laquelle Ä est un nombre impair, et a et & désignent des symboles relatifs à la même forme d'ordre n,y= a'^ = Z»". Pour « = 2, Â= I , cette proposition est facile aussi à vérifier directement, car nous avons, en employant les lettres h et i pour les indices,

1l[ab)a^b^ = («,ii — byai.l[aibf, -h Z»,«^^) jt^x^

= 2 («1 Oi ô j b^ — rtj ai bi bfy — a, a,, bibi + «i a^ i, bi ] x^.r^

D'autres applications des moyens auxiliaires signalés ici s'offriront encore en grand nombre dans la suite, et le calcul complet de tous ces exemples fait avec soin est à recommander comme le meilleur moyen de s'initier aux méthodes symboliques d'opérations.

Nous mentionnerons seulement encore ici un résultat que donne immédiatement la représentation symbolique, et qui nous sera utile dans l'occasion. Toute formation invariante II d'une forme du n'*"** ordre y est en cas de transformation linéaire, multipliée

Clebscb. — Géométrie, I. lO

j'|a TÜME I. — CHAPITRE III.

par une puissance r^, r désignant le déterminant de la substitution. Or les formules de transformation des symboles (p. aSa) apprennent que dans cette circonstance tout facteur linéaire a^ de II reste invariable, tandis que tout déterminant symbolique (ab) renferme le facteur /•. Pour déterminer le nombre X, il suffit donc de rechercher quel est le nombre des facteurs déterminants dont il s'agit. Supposons que II soit du degré p par rapport aux coefficients et de l'ordre m par rapport aux variables ( ' ). Alors II renferme, ainsi qu'il résulte immédiatement de l'introduction de la notation symbolique, /) lettres différentes, et chacune à la n'*"" dimension, de sorte qu'il se rencontre en loul pn séries de symboles. Ces séries se divisent partie par couples en les X déterminants facteurs, partie individuellement en les ni facteurs linéaires symboliques de II. On a par conséquent l'équation

aX -f- m =/>. n et ce théorème :

fine formation invariante d'une forme linéaire du n'""^ ordre, qui est elle-même du degré p et de l'ordre m renferme

1 ^ - (^pn — m) déterminants facteurs symboliques ; elle est donc

multipliée en cas de transformation linéaire par la puissance X du déterminant de la substitution.

III. — Séries projectives de peints. — Théorie des polaires. — Involntions.

Nous avons reconnu ci-dessus dans une transformation linéaire l'expression analytique d'un changement des points fondamentaux des coordonnées. Mais on peut donner de la transformation une autre interprétation géométrique qui est d'une importance exceptionnelle pour la conception de la théorie des invariants. Par celte interprétation nous serons en même temps ramenés aux principes de la Géométrie synthétique, que nous avons traités précédemment.

Cette nouvelle interprétation de la substitution linéaire peut on

(') Dans la suite nous emploierons toujours le mot desfré pour exprimer la «liincnsion a laquelle entrent les coelTieienls <li' la forme originaire, et le mot ordre pour la dimeusion à laquelle entrent les variables.