I.NTRODCCIin.l À LA TBÉUWE DES FOIMES ALbÉBIIOCES. a

un sens être considérée comme l'opposée de la première. Tandis que nous avons employé auparavant la substitution linéaire pour représenter un même point ou un même rayon à l'aide d'éléments de base difierents, nous la considérons actuellement comme une relation entre deux points différents rapportés aux mêmes éléments de base, comme l'expression analytique d'une affinité linéaire. Au moyen des équations

nous associons à chaque point d'une droite un autre point de cette même droite. Cette corrélation sera réciproque si l'on suppose que le déterminant de la substitution, c'est-à-dire

«il «Sî

est différent de zéro {a^ n'étant d'ailleurs pas nécessairement égal kau) et elle est identique à celle qui lie en général deux séries projectives ; seulement les séries dont il s'agit ici sont comme réunies, c'est-à-dire situées sur la même base. La corrélation projective est, comme on sait, caractérisée par ce fait que le rapport anharmonique de quatre points correspondants des deux séries a la même valeur; ce rapport est [/izi , a,, u.3, fix désignant les paramètres des quatre points (p. 49)]

("i — Ih] ^{^i — ."i^ («j ~ f*î) (."i — f**)

D'après une remarque faite précédemment, nous obtiendrons le rapport anharmonique des quatre points oc, j, z, t exprimés en fonction de leurs coordonnées, si nous posons

et l'on a par suite (comme on peut du reste sans difficulté le déduire directement de la définition des coordonnées binaires)

(X3) ixt)

Le rapport anharmonique des quatre points correspondants \, ti,

a ^4 TOME I. CHAPITRE III.

t, T est de même égal à

et la preuve que cette expression est égale à la valeur a résulte immédiatement du fait que chacun des facteurs (xz), (yt), (xt), (jz) dans le passage au facteur correspondant (|^), (yjr), (Çt), [n^) reste, comme on sait, invariable, sauf multiplication par le déterminant de la substitution, et que d'autre part ce déterminant disparait dans les quotients (2). La proposition précédente est donc démontrée, et nous pouvons en conséquence formuler de la manière suivante la signification géométrique des formes invariantes :

Les invariants et les covariants de formes binaires, égalés à zéro, donnent des équations qui représentent des relations proiectives entre les éléments des séries de points et des faisceaux de rayons.

Par relations projectives on entend ici celles qui, si l'on construit une figure projective relativement à la figure originaire, continuent à subsister à l'égard des éléments correspondants de la seconde figure.

La notion du rapport anharmonique, que nous rencontrons de nouveau ici et qui forme, comme nous l'avons reconnu plus haut, la base de la Géométrie synthétique moderne, a également une importance considérable dans la théorie des invariants envisagée en elle-même. Il existe d'abord un premier exemple très-simple d'un invariant absolu, c'est-à-dire d'une fonction des coefficients de la forme originaire qui reste complètement invariable en cas de transformation linéaire. On peut toujours former des fonctions de cette espèce dès que la forme originaire possède plus d'un invariant. Soient, par exemple, I et L deux invariants d'une même forme, et supposons que, par suite d'une transformation linéaire, ils deviennent 1' et 1'^. Nous aurons

r = r^I, et par conséquent le quotient

ri» p

IXTRODCCTIO!« A LA THÉOIIE DES FORMES ALGÉBRIQCCS. S4^

est un invariant absolu. Or un invariant de celle espèce peut toujours être précisément représenté comme fonction de rapports anharmoniques. Tout invariant est en effet aussi un invariant simultané des facteurs linéaires de la forme originaire, et par conséquent une réunion de produits de la forme

x^y, z,... sont ici les coordonnées des points racines de la forme originaire, et a, /3, y doivent être déterminés de telle sorte que la fonction soit symétrique par rapport aux coordonnées de tous ces points. Si mainlenant on divise la somme des produits par Tun de ses termes, on obtient immédiatement un invariant absolu, dont la composition au moyen de rapports anharmoniques est évidente. Rappelons-nous d'ailleurs que tout covariant peut être considéré comme un invariant simultané de formes linéaires et de la forme originaire (p. 232), et nous aurons, si la fonction est supposée dépendre encore des variables, le théorème suivant ( * ) :

un invariant ou un covariant d'une yorme binaire est le numérateur d'une Jonction rationnelle de rappoits anharmoniques formés des éléments qui répondent aux racines de la forme originaire, et dans le cas des covariants d'autres éléments z>ariables.

Nous avons déjà traité minutieusement de la théorie du rapport anharmonique lui-même, ainsi que de celle des séries et des faisceaux projectifs; nous avons aussi indiqué par occasion (p. 65) que deux séries projeclives de points sur la même droite ont en général deux éléments correspondants communs. Ces éléments s'obtiennent ici analytiquement, en posant dans ( i ) ^, = jt, ; ^2 = Xo ; d'où résulte par élimination des x l'équation du second

degré en p

«Il — ?

«lï

«îi

Si l'on porte dans (i) les valeurs trouvées de p, on obtient les coordonnées des éléments doubles. On peut aussi les calculer direc-

(') Voir, pour plus de développement, la seconde section de l'Ouvrage de Clkbscb.

a46 TOME I. — CHAPITRE III.

temcnl au moyen de l'équation

(3) {a^^ — «„) J^i-r, -+- a,îJ:J — «„.rj^o,

que l'on trouve par élimination de a. Ces points peuvent être déterminés par construction, en sortant du champ des formes binaires, à l'aide d'une conique, ainsi au surplus qu'il a été exposé plus haut.

Une autre représentation des séries ponctuelles projectiles, à laquelle se rattachent d'autres considérations intéressantes, résulte de ce qui suit. L'équation

(4) a^-\-'kb^z=o

représente évidemment, si l'on y considère X comme un paramètre variable, tous les points de la droite qui sert à figurer le champ des formes binaires. Dans cette circonstance X est égal à la valeur négative du rapport des distances du point mobile à deux centres fixes {ax=o, bj; = o) multipliée par un nombre constant. Cette série est projective par rapport à une autre

(5) «r-4->pçr=0,

si l'on admet que deux points des deux séries pour lesquels X a la même valeur se correspondent ; car le rapport anharmonique des points X=zo, Xr=oo,/=:X,,}. zzrX, cst pour les deux séries égal

a -> et des équations

lb,=

- (X - r) («g + vpz) - (X - y) («; -4- rs^)

il résulte que la corrélation des deux séries n'est pas modifiée si l'on remplace les couples de points a^, hx', «j, ß; par deux couples correspondants a^ -h X'è^, ax -H Vbx \ «j -h X'ßj, as H- X"ß; ; seulement, à la place de l'élément à valeurs successives X, se présente alors le suivant :

On peut aussi au surplus établir directement au moyen de (4) et (5) une transformation linéaire, en déduisant par le calcul le rapport

IMTKODCCTIOX X LA THÉOBIE DU FORMES ALCÉBKIOl'ES. «47

' de l'équation

«xS;-**«i = o{').

Pour les points doubles des deiuc séries (c'est-à-dire pourXf = ^i , Xt = ^i), on obtient par élimination de X l'équation du second

degré en —

qui intervient à la place de (3), ou, par élimination de X|, Xt, l'équation du second degré en X

+ üj a, H-Àp,

j a, -+- >6, «î + zSj

= (tfa) ■+- ).[(rtS) -t- (6a)] -I- À*(*S).

Il existe donc de fait, en général, deux points doubles, à moins que la condition

(8) [(«]S)-4-(6«)l* = 4(aa)(6^)

ne soit satisfaite, car alors les deux points doubles coïncident. Il pourrait enfin arriver que tous les coefficients de (7) s'évanouissent, auquel cas la transformation deviendrait ce qu'on appelle identique : chaque point de la droite se correspond alors à luimême. Si nous excluons ce cas, nous pouvons prendre les points doubles comme points fondamentaux du système de coordonnées. En désignant par X', X" les racines de (7), nous devons, pour atteindre notre but, poser

"x -+->.' 6x = X, =Pj„

en conséquence, on doit avoir aussi identiquement

ar -f- )/ jSr = c S, ti= cpi^

c, c' étant des constantes. Les équations des deux séries de points

( ' ) On peut, en général, supposer la transformation linéaire comme donnée par une équation doublement linéaire par rapport à la lettre x et à la lettre |

«I. *i îi -+- «u *i ?i -t- «,, ^1 ?, -<- «, j r, f , = o.

Voir Clebsch. loc. cit., p. 66.

a48 TOME I. — CUAPITBE III.

sont alors, d'après (6), données par

ou, si Ton fait par

Xi — pXj =:: O,

La constante — qui intervient ici est caractéristique de la transformation ; elle donne, en effet, immédiatement le rapport anliarmonùpie formé par deux points correspondants avec les éléments doubles, rapport qui est par conséquent constant. Il n'est donc pas sans intérêt d'exprimer les constantes c, c' au moyen des coefficients de la transformation, c'est-à-dire, dans notre cas, au moyen des coefficients a, b, cf.,ß. Pour }/, X"on déduit de (7) les valeurs

2[bp)\' := - [[ap)-h[b<,]] + {l, en posant

A cause de l'identité (')

{bp)a^={ap]b^-{ab)p^,

les équations (9) deviennent ,

i [{aß) - (H - v//J b, - '^{ab)p,= i{bp)q.,

relations qui doivent encore avoir lieu pour Xi==- i,i- Si l'on porte d'autre part les valeurs de X', X" dans le premier membie de (10), et qu'on fasse usage de l'identité

{bp)a^=[ap)bi-[<.b)P^, (') Voir l'identité (I), p. a4o.

»TtODl'CTIOX A LA TOÉOBIE DES FORMES ALGÉBRIQirES. i^Cf

il vienl

2 (*;3) («5 + ).' ß.) = {-k + sß) Pi + 1 («13) *j,

[pour abréger on a posé A= (aß — ^a)]- A. l'aide de l'idenlilé

on peut maintenant mettre l'invariant / sous la forme

/= [(«iS) - (è«)f -4 [ah] («.3) = /■« - 4 («i) («p).

Sous le bénéfice de celte relation, si l'on échange dans (12) les X avec les \, qu'on en déduise par le calcul les valeurs de h-^, ßi et qu'on porte ces valeurs dans ( 1 3), on obtient le résultat que voici :

2[ab] ^

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Le rapport anharmonique formé par les points doubles et par deux points correspondants des deux séries projectiles est égala une constante, et cette constante s' exprime au moyen des invariants k et l sous la forme

Pour certaines valeurs particulières de ces constantes les deux séries ont entre elles des relations remarquables. On arrive, par exemple, à une relation invariante d'un usage fréquent, ainsi qu'il suit: à chaque point de la première série (11) ayant p pour paramètre correspond dans la seconde série un point qui, en tant qu'il

c' appartient à la première, aura pour paramètre p — » c'est-à-dire qui

sera donné par

A ce point correspond de nouveau un troisième point de la seconde série, dont le paramètre, en tant que ce point appartient à la pre-

ière, estégalàjo ( — 1 > et ainsi de suite jusqu'à un [n-\- i)'^""'

miere,

aSo TOME I. aiAPITRE III.

point ayant pour paramètre p {-) ■ Nous avons alors une série de points

dont chacun correspond au précédent en vertu de la corrélation projective établie entre les deux séries. Nous nous demanderons maintenant quelle est la condition nécessaire pour que, par l'emploi successif de ce procédé, on soit ramené au point initial p. Si, par exemple, il doit en être ainsi pour le ( w-t-i )'*""* point, nous n'avons évidemment qu'à prendre

/ -+- JT

Désignons un système de points semblables par l'expression de cyclo-projectif, et nous aurons ce théorème :

Si le rappoi't anhannonique qui caractérise une corrélation projeclii'e est égala une racine n"""' de l'unité, on peut, en partant de chacun des points de la série, obtenir un sjstènie cyclo-projectif de n points (*).

Autrement dit, si X, , X,, . . . , X„ sont les paramètres de ces points dans la série

Xi 4- ).Xi, = o,

les systèmes de points donnés par le tableau suivant:

GO

Aj

(') Si, au lieu d'une série de points, on prend pour représentation géométrique un faisceau de rayons et qu'on choisisse les deux droites menées du centre du faisceau aux points circulaires imaginaires pour rayons doubles d'une transformation linéaire, cette dernière est identique si une rotation du faisceau autour de son centre. La con» dition de la projectivité cyclique se transforme en celle-ci : un rayon revient à sa position initiald après avoir tourné n fois autour do son centre d'un angle déterminé

(donné par le rapport - y On est, par conséquent, conduit aux équations de la division du cercle.

INTRdÜlCTION A LA TIltOKIE DtS FORMCS AUitnRiyiES. Sjl

sont tous projeclifs entre eux. Cependant, ici - ne peut pas ôlr<'

égal à I, car il n'en serait ainsi que pour /= o, c'est-à-dire si les éléments doubles coïncidaient ('). Les n points ne peuvent être

. c' tous réels, pour le cas d'éléments doubles réels, que si - = — i,

c'est-à-dire si n = 2. Dans ce cas, que l'on désigne sons le nom rf'involution, deiuT points se correspondent toujours réciproquement, en sorte qu'il est indifférent d'attribuer arbitrairement l'un à la première série, l'autre à la seconde. Nous avons déjà été conduit plus haut à cette involution dans la théorie des coniques (p. 1Ö7); elle est, ainsi que nous l'avons déjà vu alors, caractérisée parce fait que deux points correspondants fonnent, avec les points doubles, un système harmonique. Les équations des deux séries prennent en effet la forme

Xi— /X,--:

et, à cause de

la condition de l'involution est en général

(i4) k=[ap) — {boi) — o.

Nous pouvons aussi représenter une involution par l'équation unique

(i5) Xj — o-X^ = o,

(') Qu'il soitau surplus observé que t ci- \i=^ yi) ne donnent pas un résultai

(lifTérent, car cette modification revient à un échange de y/^ et de — \fï et par conséquent à un simple échange des figures projeclivcs. Pour n impair, il suffit donc

d'avoir égard à-(/i — i) valeurs de t. De même pour n pair, des que « > 2, le cas

de î =; — t^ doit être omis, et il ne reste que -(a/ — 2) valeurs de s. S'il existe une puissance to'*™* de t moindre que la /i'*™«' et pour laquelle déjà e™ = r, le cycle se compose seulement de m points différents qui seront parcourus — fois, m étant alors un facteur de /?.

et l'un obtient pour chaque valeur de p le produit des deux points qui se correspondent réciproquement (* ). Sous ce point de vue, l'involutlon apparaît comme un cas spécial d'une figure plus générale, qui est représentée par une équation de la forme

< + ÀA« = o.

Avant toutefois d'étudier plus en détail ces involutions appelées iV ordre élevé, nous devons brièvement jeter un coup d'œil sur une espèce de covarianls à deux séries de variables, qui tirent leur origine de la forme originaire par application réitérée du procédé

àf ^ df

et que nous avons signalés, il y a peu de temps, comme étant des formations invariantes.

Nous les obtenons d'une manière simple, d'après le théorème de Taylor, comme coefficients d'un développement en série, si dans la formey= «^ nous posons

•''2 = J'2+ ^Sî

le paramètre variable

étant proportionnel au rapport des distances d'un point mobile x à deux points fixes j)' et z. Par celte substitution, l'équation y= o, développée suivant les puissances de X, devient

o = rt" + - >«;'-• a. + "'"~'^ /»«r * «î -+-... -f- >" «^

Les n racines de cette équation donnent les n points par lesquels la forme y est représentée géométriquement.

Les coefficients de l'équation sont, comme on sait, proportionnels aux sommes de combinaison de ses racines, et le sens géomé-

(') ''?<''• pour plu« de détail» sur ce sujet, la Section suivan t consacrée aux formes binaires biquadratiqucs.

i;(TRODCCTIO!( X LA TBtollE DES FOIMES ALGÉBBIOt'ES. 253

trique de chacune des équations

est par là rendu évident. Cette équation, suivant que Ton y considère les j ou les z comme donnés, est d'ordre r pour les z ou d'ordre n — r pour les y. On appelle, dans le premier cas, les points z le système polaire [* ) du /•'^'n<? ordre ou le [n — r)'^'"* sjstème polaire du pôle y par rapport au système donné des n points X] dans le second cas, les points y forment le système du (n — f-yème Qf'dre du pôle z. Nous pouvons, par conséquent, énoncer immédiatement les théorèmes suivants :

Le /•'^'"<" système polaire d'un pôle donné z, relativement à un système donné de n points, se compose de n — r points y, jouissant de cette propriété que, pour eux, la somme des combinaisons

(/ï — r) à [n — r) des quotients [rapports de distance) j-^ est nulle.

Si y appartient au /•'^'»»« système polaire du pôle z, z appartient au (« — ry^"^^ système du pôle y.

Le dernier théorème est compris dans le théorème plus général qui suit, et qui se déduit comme de lui-même de la considération d'une équation

ata\ . . . «^= o, ( !x + V + , . . -f- À = /i).

Si l'on forme pour le groupe des points donnés le v"^'"* système polaire d un pôle t, puis, pour ce nouveau système de points.

(') Système des centres harmoniques d'après la désignation de Poncelet: Mémoire sur les centres de mojennes harmoniques {Journal de Crelle, t. 3, 1828). La conception des polaires dans le domaine ternaire {voir le Chapitre suivant de ces leçons^ se trouve déjà dans Cramer qui d'ailleurs n'a pris pour pôle que te point à distance inßnic sur l'axe Y {Introduction à l'analyse des lignes courbes; Génère, 1700, p. i33',; auparavant Newtos avait déjà considéré les (« — | yi«»» polaires (cest-à-dire les polaires linéaires) à pôle inGnimenl éloigné. La désignation de toute la série comme première, seconde... polaire émane de Bobiluer, Annales de Gergonne,t. XVllIetXlX, 1828; l'exposition simple de la théorie au moyen des coordonnés homogènes a pour auteur Plûceer, Journalde Crelle, t. 5, 1829 [voir au surplus Gbassma:«;«, Theorie der Centralen {ibid., i. XXIV, 1842); de Jomcciêres, Mémoire surla théorie des pôles et des polaires {Journalde Linuville, août 1857); Catlet, Fifth memoir upon quantics {Philos, Transactions, t. CXLVIII, i858) et Crebo:(a, Einleitung in die Theorie der algebraischen Curven, 1].

354 TOME I. — CIIAI-ITKK III.

le [x'^"^' système d'un pôle z, etc. , et qu'on arrive finalement à une équation de degré X, à laquelle correspondent X points y, le résultat sera le même si l'on échange simultanément, d' une manière quelconque, les points y, z, t, ... et les ordres X, (x, v, . . . des systèmes polaires individuels.

Il résulte encore de l'équation

a*" àta. = ayà''S*''

que si Ton forme pour le groupe 'des points donnés le v'*""" système polaire du pôle z, et pour ce nouveau système le jut'*""« système polaire du même pôle, ce dernier système est le (" + v)'*"* système polaire du point z, relativement au groupe des points donnés. On pourrait obtenir, d'une manière analogue, une foule de théorèmes sur les groupes polaires (' ). Nous mentionnerons seulement les suivants :

Le (« — ly^"*^ système polaire se compose d'un point unique. Si maintenant le système donné consiste en un point ^^=o et en un groupe de (n — i) points c""' = o, on a

nciya'r^ — b^.c'l » -h [n — i]b.Cjc".'\

Si donc^ satisfait en même temps aux équations

by=o et Cjc"~* =zo,

Oy-a"'* est également nul ; autrement dit :

Le (/i — ^y^"*' point polaire d'un système de (n — i) points est aussi le (« — ly^'"^ point polaire du système composé de ces {n — i) points et de lui-même.

S'ip points du groupe donné se confondent, l'équation

renferme, p étant >/•, le point (y) dont il s'agit, [p — /•) fois comme facteur, ou, ce qui revient au même :

Lorsque, dans le système donné, p points coïncident, [p — /•) points du r^"""' système polaire d'un pôle quelconque se confondent avec eux.

( ' ) Observons que ces théorèmes auront plus tard de l'importance dans la théorie •lo-i courbes algébriques.

l!(TIODCCTtON A LA THiOKIC DES rOIMES ALGÉSaiOCCS. 355

Si le point multiple, dont nous supposerons Téquation être f.= o, est en même temps le pôle, la relation

"x — ^x "x donne pour la formation de la /'*'"' polaire de ce point

\x. désignant un facteur numérique, c'est-à-dire que :

Le r'^'^' système polaire d'un point multiple d'ordre p se compose de ce point compté p fois et de la r'**"* polaire du même point, relativement aux autres (/i — p) points du système.

D'autre part, pour p -^r r^n, l'expression a"~''a^ s'évanouit identiquement, c'est-à-dire indépendamment des z, et le système polaire devient indéterminé; par conséquent :

Tous les systèmes polaires d'un point multiple d'ordre p qui appartiennent à un ordre plus élevé que le [n — pyème ^q^^ indéterminés (' ).

La théorie des polaires développée ici nous fournit encore l'occasion de donner l'interprétation géométrique de quelques covariants très-importants qui peuvent être encore mentionnés. Il existe des pôles ( j ) pour lesquels deux points du premier système polaire [z) coïncident. Pour leur détermination, nous avons fp. 220)

ou, à cause de

dz^ôz/' dz\ Si maintenant on élimine Ji>J>'2 entre ces deux équations, les

(') A ce théorème correspond, par exemple, dans le plan la proposition que, pour une conique évanouissante, toute droite peut être considérée comme la polaire du point double ( p. 128).

points doubles du système polaire (en observant que de nouveaux symboles b doivent être introduits dans le second membre) (p. 237) seront donnés par

âz^Ozi

dz\

n^[n — i)^a^-^ b^-' {ab)aybi.

Or c'est là le déterminant de Hesse, qui nous est connu, et que nous avons déjà obtenu plus haut sous sa forme symbolique. Nous le désignerons, abstraction faite du facteur - n-{n — i )2, par A, et nous poserons en conséquence

fi81

( - n^[n-iYlôz\dzl \ôz,dzj \

Si l'on élimine, au contraire, les z entre les équations (16), on obtient une autre équation $=0 qui, de même que A = o, est de l'ordre an — 4- Par conséquent :

Pour tout système de n points il existe une équation d'ordre 2 n — 4 ( ^-l^ = o ) 7"^ donne les ^n — 4 pôles, dont les premiers systèmes polaires ont des points doubles. Les points doubles euxmêmes sont donnés par le covariant hessien (équations 17 et 18).

On peut ensuite demander quels sont les pôles dont les premiers systèmes polaires, relativement à la forme originaire et à la forme hessienne, ont un point commun. Ces pôles se déterminent par la coexistence des équations

df

Ö3l OZi

L'élimination des y conduit au déterminant fonctionnel de la forme primitive et du covariant de liesse à/ df

'ao)

dzi

dz^

dzr

/l(2« - 4) («AX"' Aî'-« = o,

IMTmODOCnO!« a la TBÉOIIK des FOKIIES ALCÉBtIQVBS. iS-]

A,, A3 étant des symboles de A, de manière que

Pour introduire à leur place les symboles [a, b, c) de la forme primitive, nous n'avons qu'à effectuer l'élimination entre les seconds membres des équations (19). Nous devons toutefois remplacer les a par de nouveaux symboles c, parce que, autrement, dans le retour aux véritables coefficients, une ambiguïté pourrait se produire. Nous observerons, d'ailleurs, que les deux termes de la seconde équation sont identiques entre eux, car ils se déduisent l'un de l'autre par l'échange de a et de b. Nous avons, d'après cela, à éliminer lesj' entre les deux équations suivantes:

aj-a"~' = o.

(*c)»c«-**?-»^, — o, et nous obtenons ainsi à la place de (20)

I T = (aÄ)(6c)«a«-»c«-*6»-'

L'élimination des z entre les équations (19) donne une autre équation 0 = o qui, de même que T:=: o, est de l'ordre 3« — 6; nous avons donc ce théorème :

// existe 3n — 6 pôles (0 = o) dont les premiers systèmes polaires Jbr mes pour le systèm.e donné et pour le système des points doubles {c' est-à-dire de la forme hessienne) ont un point commun. Les points communs se déterminent au mojen de l'équation T = o (fui est de l'ordre 3n — (i.

Nous ferons usage de la théorie des points polaires dans la théorie des involutions générales (') que nous abordons maintenant. Une involution d'ordre n est déterminée par l'équation

où a et ô désignent des symboles de formes différentes, et X est un

(' ) Foir Ckemoxa, Einleitung in die Theorie der ebenen Curven ; Jonqciêkes, Généralisation de la théorie de l' involution {Annali di Matematica, t. II), et Catlet {Transactions of the Cambridge philosophical SocietjTy t. XI, i865).

Clebscii. — Géométrie, I. l'J

paramètre variable. L'équallon précitée représente une série de gi'oupes de points (appelée aussi quelquefois Jaisceau par extension des dénominations usitées pour les courbes), groupes dont chacun se compose de n points, de sorte que chaque point de la droite ne se rencontre que dans un groupe, et que le faisceau entier est déterminé par deux groupes quelconques. La considération de ces systèmes de points correspond donc entièrement à celle des faisceaux de coniques dans le plan, où par chaque point du plan passe une courbe unique du faisceau. De même qu'alors nous avons rencontré trois coniques évanouissantes (trois courbes à points doubles)} de même il existe dans l'involution certains groupes qui renferment deux points confondus; ces groupes sont donnés par les conditions

De là résulte par élimination de X l'évanouissement du déterminant fonctionnel de a^ et b"

et l'on obtient de même par élimination de x^ x^ une équation d'ordre égal dans laquelle X egt l'inconnue. Dans une involution d'ordre n il existe donc in — 2 groupes de points qui possèdent un point double, et les points doubles eux-mêmes sont déterminés par V équation (28).

Cette équation demeure invariable si l'on remplace une ou deux des formes a", b" par d'autres faisant partie de l'involution. Ainsi, par exemple, le déterminant fonctionnel des formes rt^-f-Xi^, a%-\- /.'b", si a et a', b et i' désignent des symboles respectivement d'égale valeur et permutables, est égal à

+ y [ab] «7 ' /;;;'. • -^ iv [bv ) b^-' b'^-' == ( x' — >) [ab ) <-» 6^-' ;

car le premier et le dernier terme changent de signe si l'on permute a el al, b et b' et par conséquent sont identiquement nuls (p. 240* ^^^ sortes àe formations invariantes de formes d'ordre égal, qui n éprouvent d'autre changement que l'adjonction d'un facteur, lorsqu'on remplace l'une des formes par une combinai-

INTRODl'CTION A LA THÉORIF. DES FORMES ALGÉBRIQCES. qSq

son linéaire de toutes les autres, ont une importance extraordinaire et nous les rencontrerons encore plus d'une fois. On a coutume de les appeler combinants du système de formes en question ( * ) . En particulier, le déterminant fonctionnel de deux formes binaires d'ordre égal sera donc un combinant pour l'involution déterminée par elles.

On peut, par exemple, imaginer immédiatement une involution engendrée par les premiers systèmes polaires d'une forme a^

si l'on considère — comme un paramètre ; par conséquent :

L'ensemble des premiers systèmes polaires d'un groupe de n points forme une involution d'ordre n — i .

A l'aide du théorème précédent on obtient de nouveau la signification géométrique du covariant hessien d'une forme binaire. Deux involutions de la forme

qui sont liées l'une à l'autre de manière qu'à un groupe de n points X de la première corresponde toujours un groupe de m points Ç de la seconde, lorsque la même valeur de X appartient aux deux groupes, sont appelées projectiles (on pourrait d'une manière générale prendre dans la seconde involution un paramètre fx lié à X par une équation linéaire). Dans cet ordre d'idées, le théorème suivant est d'évidence immédiate :

Si l'on part d'un système d' involution, et que pour un nombre quelconijue de pôles fixes on forme successivement, par rapport à chaque groupe du système, les systèmes polaires du même ordre, toutes les séries de ces nouveaux systèmes sont en involution, et toutes ces involutions sont projectiles entre elles. Les [n — i^emes systèmes polaires d'un pôle donné j>^

(') Foir pour une étude plus approfondie Gordak, Ueber Combinanten\Math. Annalen, t. V ).

a6o TOME I. — CHAPITRE III.

forment une série simple de points. Le rapport anharmonique de quatre points de cette série s'appellera aussi rapport anJiarmonùjue des groupes correspondants (c'est-à-dire formés pour la môme valeur de X) de l'involution donnée, ou, ce qui est la même chose, des systèmes polaires dérivés du point j comme pôle. Or le rapport anharmonique ne dépend que des valeurs de l'élément variable X pour les quatre points, et est par conséquent indépendant du pôle. D'où la conséquence suivante :

Le rapport anharmonique de quatre groupes de points d'une Involution, qui dérii^ent par formation polaire de quatre groupes d'une involulion donnée, est égal au rapport anharmonique de ces derniers, et indépendant du pôle emplojé.

Nous pouvons considérer la corrélation projective de deux involutions (24) comme une affinité d'ordre élevé. A chaque point x de la droite correspondent n points ^, à chaque point ^, m points x et la liaison entre les points x et Ç est donnée par l'équation

(-iS) «^.P; — ^^. «; =0,

laquelle est le résultat de l'élimination de X entre les équations (a4)> et remplace l'équation (6) que l'on rencontre dans la transformation (affinité) linéaire. Maintenant il peut arriver en particulier qu'un point x coïncide avec un des points | qui lui correspond, c'est-à-dire que les groupes associés de l'involution aient un point commun. Nous obtiendrons ces points communs au moyen de l'équation

ou d'une équation de même degré en X. De là résulte ce théorème :

Deux impositions de degré m et n qui sont projectives possèdent m-h n groupes correspondants ayant un point commun.

Ce théorème est compris dans un autre encore plus général auquel on arrive simplement, en remplaçant l'équation (^5) par cette autre

OÙ cp désigne une fonction homogène d'ordre m en Xf , jtj et d'ordre ** en I,, Çj. L'équation (27) est encore la base d'une affinité

ITTBODCCTIOX A L\ TBÉORIB DES FORHKS ALCÉBBIQCES. 36 (

[correspondance) de l'espèce la plus générale dans laquelle à chaque point X correspondent n points ç, et à chaque point ^, m points x. La condition qu'un point x coïncide avec un point correspondant ^ donne une équation de l'ordre m H- n, c'est-à-dire nt -+- n points de coïncidence de la correspondance ç. C'est ce que nous exprimerons par le théorème suivant, qui est connu sous le nom de principe de correspondance de Chasles (') et dont nous aurons trèssouvent à faire usage :

Si l'on a sur une droite une affinité [correspondance) en vertu de laifuelle à chaque point x correspondent n points \, et à chacun de ces points \, m points x, il arrive m -f- nfois qu'un point x coïncide auec un point correspondant "i.

Si dans (24) les fonctions rt". h" renferment un facteur commun d'ordre p, les points qui lui correspondent se présentent dans chaque groupe de l'involution, et cette dernière se compose dcs^ points fixes dont il s'agit et d'une involution d'ordre [n — p). Si la même chose a lieu dans la seconde équation (24) par rapport à un facteur de degré//, l'équation (26) se décompose en ces deuv facteurs de l'ordre peipf ei en un facteur de l'ordre m~\-/i — /> — p'. Par conséquent, // n'existe plus après suppression de ces points fixes que ni-i-n — p — p' groupes des involutions ayant un point commun .

Si, au contraire, un groupe déterminé de l'une des involutions renferme r fois un facteur linéaire, et que le groupe correspondant de l'autre renferme s fois ce même facteur, r étant ^ s, le groupe des points communs des involutions renferme ce facteur s fois, et l'on peut établir encore une série de théorèmes semblables. Nous abandonnerons pour le moment ces explications générales ; nous aurons d'ailleurs dans ce qui suit l'occasion d'étudier d'une manière plus approfondie les involutions quadratiques, de même que certaines involutions cubiques et biquadratiques.

(') Voir Cbasles, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, fj juin 1864.

a63 TOME I. — tllAPlTBE III.

IV. — Définition des composés. — Formes binaires quadratiques

et cubiques.

Au moment où nous nous proposons de traiter systématiquement les formes binaires de l'ordre le moins élevé (principalement pour apprendre à connaître les interprétations géométriques de leurs invariants et de leurs covariants), le problème qui se présente d'abord à nous, après les développements théoriques qui précèdent, consiste à établir tous les invariants et tous les covariants de la forme originaire considérée, ainsi que les lois de leur dépendance mutuelle. Il est donc urgent de répondre à la question suivante : Existe-t-il pour une forme donnée un nombre fini de formations invariantes indépendantes les unes des autres, telles que toutes les autres puissent s'exprimer en fonction rationnelle et entière de celles-là? En fait, Gordan a démontré (•) que toute forme binaire, de même que tout système simultané de formes semblables, possède un système fini de formes, c'est-à-dire un nombre fini d'invariants et de covariants de l'espèce demandée. La démonstration de ce théorème, dans les détails de laquelle nous ne pouvons pas entrer ici, repose essentiellement sur la représentation symbolique des formes, dont nous avons déjà reconnu l'importance. Nous avons vu précédemment comment il est possible, au moyen de cette représentation, de donner, d'une manière entièrement générale, l'aspect extérieur des formations invariantes ; il ne s'agit plus que d'indiquer un procédé qui permette de former d'une manière systématique, les unes après les autres et les unes au moyen des autres, ces fonctions, dont le nombre est au premier abord infini; ensuite, il faut démontrer que ce procédé donne tous les invariants et tous les covariants et ne peut être continué à l'infini sans ramener à des combinaisons de fonctions déjà obtenues. Cette méthode de formation consiste dans ce qui suit.

(') La démonstration pour une forme binaire unique se trouve dans le t. LXIX. du Journal de Crcl/e ;c\\c a été simplifiée et étendue à un système simultané dans le t. 2 des Math. Annalen; voir aussi la /)* et la G* Section de l'Ouvrage cité de Cusbscb. M. Jordan a été plus avant dans la mémo voie : Journal de Mathématiques, 3* série, t. II, p. 177. Une démonstration, reposant en partie sur d'autres principes, a été donnée par GoRDA!« dans l'écrit : Ueber das Formensystem binärer Formen ; Leipzig. 1875. Voir encore les nouvelles recherches de Sylvester sur le nombre des covariants indépendants les uns des autres : Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 1877, a* sem.

t:(TR01>CCTI0!< A LA TBÊOME DES FORMES ALCÉBRIQCES. a63

Si l'on donne deux formes

/=a;j et y = a^, « > m,

on peut en tirer d'une manière très-simple des covariants, en formant les expressions ^

pour la valeur Ä" = i jusqu'à la valeur /r = m. Le fait que ces combinaisons, appelées composés dej avec ^, possèdent la propriété de l'invariance résulte clairement de leur apparence extérieure; et en même temps ce sont les seules formes dans lesquelles les coefficients de oj et o^ entrent linéairement.

Pour A r= o, nous obtiendrions le produit de deux formes primitives, pourÂ=:i, leur déterminant fonctionnel. Nous connaissons déjà la loi de formation non symbolique de ce dernier; elle est représentée par l'équation

et le A''"* composé peut de même être ramené à une combinaison des dérivées partielles dey*et de 9. Le développement de la puissante (aa)* et la multiplication subséquente par a"~*a^~* donne, en effet, uniquement des termes de la forme

' r V" y ilni^ . . . ( X- — / -1- I ^ ,. . .. . . . f. „^.

~' ^' I.2..././Ï... n — /H-i)./n...f/iï — X-Hi) dxf^'du:^ dx'jdx^-''

et l'on voit facilement ce que deviennent les formations effectives, par suite de la substitution de ces valeurs[(* ). Pour A = 2, il vient, par exemple.

(à^à^ à\f d^? d'f d^ff>\ Au lieu des deux formes y, 9, on peut aussi, dans la formation

(*) Ces formations ont été données par Catlet, A fourth Memoir upon quantict ( Philos. Transactions, i858).

a64 TOME I. — CHAPITRE III.

d'un composé, employer deux fois la même formey=a^= i"; on obtient ainsi des invariants et des covariants dey qui renferment les coefficients au second degré, et à l'égard desquels on démontre, d'après les principes cités plus haut, qu'ils sont les seules formations possibles du second degré; leur expression est

Pour A = 2 par exemple, on obtient de nouveau le covariant hessien. Mais alors tous les composés pour lesquels k est un nombre impair sont identiquement nuls, parce que ces expressions changent de signe par permutation de deux symboles de même sens (p. 241)- Maintenant, une formeyétant donnée, on forme d'abord, pour obtenir un système complet, tous les composés de y avec luimême, puis les composés avec^des nouvelles formes obtenues, et ainsi de suite. Or il a été prouvé, dans la démonstration donnée par Gordan, que l'on peut obtenir de celte manière tous les invariants et tous les covariants, et que le nombre de ceux qui sont indépendants les uns des autres est fini. Observons encore que ce procédé donne immédiatement un arrangement des formes obtenues suivant leur degré par rapport aux coejficients de la forme primitive, car ce degré s'élève d'une unité à chaque opération. Cette classification est plus importante que celle qui est faite d'après l'ordre par rapport aux variables, parce qu'elle embrasse à la fois les invariants et les covariants.

Nous allons maintenant faire usage de ces principes pour l'étude des formes quadratiques, cubiques et biquadratiques. Soit d'abord donnée une forme quadratique

Le second composé de cette forme avec elle-même nous donne l'invariant qui nous est déjà connu

et nous ne pouvons pas pousser plus loin le procédé de composition. De fait, il est également facile de montrer directement que D est la seule formation invariante possible def Tout couple de points peut en effet, s'il ne se compose pas de deux points coïncidents, être transformé linéairement (un nombre infini de fois) en un autre couple quelconque, car une transformation linéaire n'est fixée

ix-rmoDCCTio:« a tA tbéobie des pobhcs alc£bbioces. a65

que lorsqu'on fait correspondre trois points à trois autres. Un couple de points n'a donc pas d'invariant absolu, autrement dit, dans ce cas, il ne peut y avoir qu'un seul invariant, celui dont l'évanouissement exprime la coïncidence des points du couple, et cette condition est donnée, comme nous l'avons vu antérieurement (p. a2i), par D = o. Un covariant dey devrait, d'après nos théorèmes généraux (p. 282 ), être de la forme

n = {ab]ajcl>yM,

M ne renfermant plus les symboles a, b, etx, r étant des grandeurs quelconques (ou bien des coordonnées points, ou bien, en tant que l'on pose, par exemple, j^i z=Ci, j^ = — c», des symboles dey, qui seront complétés par les autres symboles contenus dans M, de manière à donner les coefficients effectifs àef).

Si nous permutons dans II les symboles a, b et que nous prenions la demi-somme des deux expressions, il vient, d'après l'identité IV,

n = - [ah] [a^by — /^j-zï^) M

Si donc un covariant de f renferme le facteur {ab), il renferme aussi le facteur (ab)^. Si Ton emploie maintenant à l'égard de M le même procédé, on reconnaît que tous les covariants sont nécessairement des réunions de produits de la forme Dt^.y'.N, Nne renfermant plus les coefficients de y,

La théorie d'une forme quadratique sera ainsi traitée d'une manière complète; disons encore seulement que le pôle d'un point j' est toujours situé harmoniquement par rapport à ce point et aux points de la forme originaire. L'équation

exprime en effet, conformément à nos remarques générales (p. 253), que la somme des rapports de distance du pôle et du point 7 au couple de points donnés est nulle, c'est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre points est égal à — i. Si donc on prend pour points fondamentaux le point y et son pôle, qui sont deux points conjugués par rapport à f et qu'on fasse un choix convenable des constantes qui entrent dans les nouvelles coordonnées

aC6 TOME I. — CHAPrtBE III.

^/, y prendra la forme

S oient données deux formes quadratiques (a) /=:.«« = ^1 et ,,^«1=.-^«.

Ces formes permettent d'étudier Tinvolution du second ordre

Cette Involution peut toujours se ramener aux séries projectives déjà mentionnées dont les points correspondants sont harmoniques par rapport au même couple fixe. Ce couple est, en effet, donné par les deux groupes compris dans (3), qui se composent de deux points coïncidents (p. 1Ö7). Nous les déduisons ici de l'équation du second

degré en X

I Oq -h ),ao <2, -f- ).ai

ou symboliquement, en tenant compte de la relation

{\) [aby- 4- 2). (««)« H- À^ [olPY — o.

Appelons V , X'Mes racines de cette équation, et supposons d'abord expressément qu'elles soient différentes l'une de l'autre: nous aurons alors identiquement, par rapport aux quantités x,

a', a" étant ici les coefficients efl'ectifs des formes linéaires a^., a^. Si l'on élimine a*, i^ entre ces équations et l'équation (3), et (ju'on introduise au lieu de X le nouvel élément à valeurs successives

l'involution sera représentée par

INTRODCCnO!« A LA TBÉORIE DES FORMES ALCÉRRIQL'ES. 367

et elle se décompose par suite en deux séries projeclives, qui sont

; — V^,u»3 = o, ; -h ^iiT, = 0,

et qui possèdent la propriété demandée. Les coefficients de l'équation (4) sont donnés par le second composé dey^avec lui-même

D rn: [ab]* = 2[ri^Ot — «j ),

le second composé de 9 avec lui-même et le second composé décavée œ

D' z=z («a)* = <7o«j H- «iKo — '•'^1 *!•

D'autre part, le premier composé dey avec cp conduit au covariant simultané (déterminant fonctionnel de/* et de <p et combinant de l'involuliony"-}- X^)

Ces quatre formes donnent le système simultané complet des formes dérivées de f et «p, car les autres composés ou bien se ramènent à elles, ou bien s'évanouissent identiquement : ce sur quoi nous n'insisterons pas ici.

La signification géométrique de D et de D" nous est connue ; ces fonctions sont respectivement les discriminants de/* et de 9. La signification de l'invariant simultané D' résulte de l'équation (4) ; son évanouissement exprime en effet que la somme des racines /.'-h?" est nulle. Dans ce cas, nous obtenons de (5) par addition

et par soustraction

le couple de points dey est donc donné par

et celui de <f par

a68 TOME I. — CnAPITRE III.

Le rapport anharmonique des quatre points devient par suite

L'équation D' = (««)'' = o exprime donc que les points dej'= o sont situés hnrnioniquement par rapport à ceux de C( = o [*).

A l'aide de ce théorème on obtient facilement aussi la signification géométrique de S^ = o. Si nous formons en effet l'invariant simultané correspondant à D'des deux formes (juadratiquesy=a' et 5 = 5*, cet invariant sera égal à (aâ)^ ; il se forme donc de 5' si l'on y remplace les grandeurs Xi, x^ respectivement par «2 = ^0, — «1 = — ^1, et il devient ainsi égal à

[au)[ab)[ub);

mais cette forme change de signe lorsque l'on permute a ei b: elle s'évanouit donc identiquement. Il en est de même à l'égard de l'invariant simultané de ^ et de (j), et il résulte par conséquent de la signification récemment obtenue pour cet invariant que les deux points représentés par 5 =z o sont situés hartnoniquenient aussi bien par rapport aux points racines de f que par rapport à ceux de (^, et sont par suite identiques avec les points fondamentaux de l'involution (3) (^); car, puisque les deux invariants simultanés {a^Y, {(x^Y sont linéaires relativement aux coefficients de à, il ne peut exister qu'un seul couple de points présentant la relation de situation dont il s'agit.

Par les équations (5) se trouve résolu le problème de représenter deux formes binaires quadratiques au moyen d'une combinaison des carrés des variables, ce qui, dans le domaine ternaire, correspond à la réduction simultanée de deux coniques à la forme cano-

(') Si l'on fait usage de la représentation géométrique sur la surface sphérique [voir la noie i, p. ai6), tous les couples de points situés harmoniquement par rapport à un couple donné sont déterminés par les lignes droites qui rencontrent en même temps la ligne de jonction des points donnés et leur polaire harmonique relativement à la surface sphérique.

(*) Ces points sont d'autre part donnés par le produit des équations (5). En effet, on démontre facilement, en faisant usage des identités de la page 'i\o, la relation

S' = -i(D/'-aD'/î>-^D'5»');

cette dernière est d'ailleurs une conséquence d'une équation générale qui sera donné« plus tard pour le carre d'un déterminant fonctionnel.

IKTRODIICTIO;« A LA THÉORIE DES FORMES ALCÉBRIQCEa. 369

nique (p. i55 et suiv.). Nous obtenons en effet

Les points racines des deux formes sont donc donnés par les

équations

Ç — ï;=o, Çh-ï; = o,

A cause de la séparation qui existe ici des quatre points en deux couples, nous ne pouvons former leur rapport anharmonique que de deux manières. Si nous désignons une des valeurs de ce rapport par

l'autre sera égale à -• Mais, comme//, /" sont les racines de l'équation (4), nous avons

d'où résulte

I (V-f.r)* + 4Vr D'» -f- DD" " "^ « ~" ^(X+X")* — 4)//" ~ ^ D^^^^DD" *

Les deux valeurs x et - du rapport anharmonique sont donc

données par l'équation du second degré [voir le problème correspondant de la théorie des coniques, p. 94)