D» + DD
" ^^°'d'^-dd"-^'='^
ou
D'* (a - 0* - DD"(a 4- l)* = O.
équation qui, pour a = i et a = — i, confirme ce qui a été dit précédemment sur la signification de D, D" et D'.
On ne peut toutefois établir ainsi les formes canoniques que si les racines de l'équation (4) sont différentes. S'il en est autrement,
c'est-à-dire si l'on a
R = DD — D- — o,
les points ^ et y) se confondent, et ^ devient le carré d'une expression linéaire. En effet, la condition R = o est aussi identique avec l'évanouissement de l'invariant de ^ (le second composé de aavec lui-même), car nous avons
= [(«6) («|3) -f- (a«) (è.3)][(aA) («p) - («a)(A^)]. ou, à cause de l'identité (III) (p. 240),
K = [[a.)[bß)-^{ab){aß)]{aß){bu).
C'est ce qui résulte aussi de
si l'on remplace Xi, ^2» JKi> J"» respectivement par a^, — a,, b<i, — bi et qu'on multiplie par — 2 {ba.). On a donc aussi
et cette expression se déduit encore de
^ = â'J=z{bu)b^a^,
si l'on y remplace Xt , x^ par S-2, — â\ et qu'on multiplie par — 2. On a donc effectivement
{^h'Y étant l'invariant de ^.
Si maintenant, dans ce cas aussi, le couple de points ^ doit être situé harmoniquement par rapport à y et à (p, ainsi d'ailleurs qu'il ressort des formules précédentes, lesquelles conservent ici toute leur portée, cela n'est possible (p. 5i) que si y et cp renferment en même temps le point doublement représenté par S^ = o. Donc :
Le résultant de deux formes tjuadratiques peut être remplacé par le discriminant de leur déterminant fonctionnel; d'où
(6) R = -2(^y)» = DD"-D'*.
On peut l'obtenir non symboliquement sous la forme d'un déterminant par l'élimination de x]y lix^x^f x\ entre les trois
lüTKODCCTIO:« A Là TUÉOBIE DES FORMES ALGÉBRIQL' ES.
équations
On trouve
fz=z a^x\ 4- 2a,.r,x, -4- a^x\
^qx\ -h 23,x, JTj -\- 3-,x* = o.
L'évanouissement de ce résultant est en même temps la condition pour que l'équation (3) ait un facteur indépendant deX; car, si l'on a identiquement [l'expression (4) devenant un carré]
on peut poser
«0 + ^'H—m [(rt-, -h Àa,) -+-(/? -f- ).^)], ûj H- /«î = — [(rtf, -+- ^a,) — (p 4- >-7)].
et l'équation (3) devient par là
(mx, -+- J',)[(fft -+- >ai) (mx, -\- x^ + (;? -i->y) [mx^ — .r^)] = o.
L' Involution se résout donc pour R = o era un point ßxe et en une simple série de points.
Passons maintenant à la considération d'une forme cubique binaire. Pour une forme de cette espèce
=r. «j-rj -+- 3«,.rJ j-j -f- 3a,Xix\ -+- «jX^,
le svstème complet des formes dérivées est donné par [*) :
Le second composé de f avec lui-même, c'est-à-dire le covarianl hessien (du second degré et du second ordre)
Ci = \% = i>:j=[abYa^b^
«0X| -f- «i<a?i ^\^\ + ^i^i «,.ri -H ajX, o^x^ -+- a^x^
aj ) jrj -I- 2 («orts — ai a, ) Xi X, -+- 2 (a, 03 — a* ) xj.
(') C'est EiüSEüSTBix qui « appelé le premier l'attention sur l'invariance qui appartient aux formations R, A,Q dans une forme binaire cubique (Journal de Crelle, t. 27). Voir aussi Cattley {^ibid., t. XXVIII).
le second composé defaK>ec lui-même , ou discriminant de A (invariant du quatrième degré)
