R = (AA')S

le discriminant du cowariant hessien. Dans R nous pouvons, au lieu de û, A', introduire les symboles a, h, c, d de la forme primilive ainsi qu'il suit : R est ce que devient A',* =. [ab)^axbx si l'on y remplace x», x-i respectivement par Ao, — A, : on a donc

Maintenant cette expression se forme de

A^ A, = ^ [c</]*{c^(l^. -+- d^Cy)

= {cdy-c^dy,

si l'on y remplace x^ , x-i par les symboles aj, — a^ ; jt , j^ par les symboles b^, — bx, et qu'on multiplie par [ab)-; on a donc finalement

(il) R = {ah)^cdY{ac){bd).

La signification géométrique des équations û :r:= o et Q = o résulte de théorèmes généraux donnés précédemment. Nous avons déjà mentionné comme étant en connexion avec A un autre covariant <? = o, qui se tire des équations (i6), p. 255, par élimination des z, tandis que l'élimination des^ fournissait le déterminant hes-

(')La valeur calculée de R, qui a été donnée dans (8), se confond en effet, à part le facteur — 2, avec la valeur du discriminant calculée à titre dUixeinple, p. 227. Ce discriminant est, à part un facteur numérique, égal au carré du produit formé des différences des racines dey=o, c'est-à-dire égal à

y.,, «,, a, étant les valeurs de — tirées de/ = 0. Pour déterminer le facteurnumérique,

il saflit d'introduire les racines y. dans l'expression de R [formule (S)] au moyen des équations suivantes:

— J — = y, -f- y.j -i- y„ J — = «, y. -(- ajy, -f- y, y,, = y., y. k,.

Alors, par exemple, le terme v.\ t/.\ aj se présante avec le facteur numérique — -»

tandis que, dans le produit (a, — a,)* («'j — *i)'(*» — «i)*» »^ ^'st multiplié par —G, et l'on a en conséquence

Clebscii. — Géométrie, I. IÖ

sien. Ces équations deviennent, pour « = 3,

ayU-fi^ = o, Oya.a^ r= G;

r et « y entrent donc symétriquement. L'élimination de cette dernière lettre conduit par conséquent, encore à A = o, c'est-à-dire que:

Pour un ensemble de trois points il existe deux pôles dont le premier groupe polaire se compose de deux points coïncidents, et chacun de ces deux pôles constitue comme point double le groupe polaire de l'autre.

La forme Q provient, pour /z = 3, du covariant désigné dans le cas général par T (p. aS^); si donc on introduit les symboles dey à la place de ceux de A, elle est donnée par

(i2) q = [abY[cb)cla,.

En corrélation avec Q nous avons mentionné encore une autre forme 0 dont l'évanouissement pour n =^ 3 résulte de l'élimination des z entre les équations

a^al ~--o,

La réalisation de cette élimination se fait en remplaçant dans ttxu'i les grandeurs Zi , z^ par A2 A i, — A, A^. Mais, comme l'expression ajca\ est du second degré par rapport aux quantités z, nous ne pouvons effectuer cette substitution symbolique que dans l'un des facteurs «z, tandis que dans l'autre facteur «^ nous avons à poser z^ — A', A',., z.,— — A', A'^. (ici Aj| — A'^ = A) ; nous obtenons en conséquence

Cette forme peut être ramenée ày*. Nous avons en effet, en vertu de l'identité II (p. 240),

(«A)(«A')A,A',= i[(^A)«A',«-f («A')« A«- (AA')«^i].

Si nous portons ce résultat dans 0, les deux premiers termes, dont chacun contient comme facteur le second composé décavée A,

ITTBODOCnO!« A LA IBÉOUK DES VORIIKS ALGÉBIIQCBS. ^T^

s'évanouissent identiquement à cause de (lo), et nous obtenons

(.3) e=-i{AA')'«i=-^/;

ce qui géométriquement donne, en vertu des significations connues de Q = o et 0 = o, le théorème suivant :

Les trois points donnés eux-mêmes ont seuls la propriété que leur premier système polaire renferme le point qui forme leur système polaire relativement au couple de points A = o ; les trois points polaires ainsi obtenus relativement à ce couple sont donnés par Q = o.

Il résulte au surplus de là que le point polaire d'un pôle relativement à un couple de points n'est autre chose que le point quatrième harmonique à ces trois points. Donc :

On obtient les points du covariant Q en construisant le conjugué harmonique des points de la forme primitive f relativement au couple de points A.

Ou en d'autres termes :

Les deux groupes ternaires donnés par Q^ = o et f = o déterminent deux séries projectives en Involution, dont les points doubles sont donnés par A = o.

A cause du rôle remarquable qui appartient d'après cela aux points de A, il est avantageux de les prendre pour points fondamentaux du système de coordonnées, ce qui simplifie considérablement la théorie ultérieure des formes cubiques, de même que celle de l'involution du troisième ordre

Pour apercevoir facilement l'influence sur^ et sur Q de la substitution qui y conduit, établissons d'abord une équation identique qui a lieu entre les trois covariantsy, A, Q.

Il doit en eflet toujours exister une équation semblable lorsqu'une forme binaire admet deux covariants linéairement indépendants l'un de l'autre, car on peut, par exemple, dans notre cas, éli-

a'j6 TOME I. — CUAPITRE III.

miner les variables Xi , x-i entre les trois équations

Q = {ab]*{cb)cla^;

et l'on obtient ainsi une équation dans laquelle entrent, comme coefficients des expressions /, A, Q, des invariants de/*. Au lieu d'effectuer directement l'élimination, nous démontrerons immédiatement le théorème plus général qui suit :

Le carré du déterminant fonctionnel {^premier composé) de deux formes est une fonction quadratique de ces formes, dont les seconds composés forment les coefficients .

Pour le déterminant fonctionnel de deux formes quadratiques a'^ et a^, nous avons en effet

Bl = fa«]r/,.a^ =

Multiplions les deux membres de cette identité par «"' -«". '*, et soient/) cp les deux formes données

on obtient pour leur premier composé (/)<?)«, après avoir posé

/i in — I ) djr, dxi-

m [m — i) djcid.ri.

En faisant maintenant usage de la définition non symbolique d'un composé, donnée p. 263, on a évidemment

?Ji

fu

?ij

— a:,Xj.

fit

/il ?n •'■"

/lî ?ij — .ri.rj

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