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l^tTRODCCriO!« A Ik TBÉOEIE DES FOBMES ALGÉBRIQCES. 377
(y, <p)2 désignant le second composé de/avec 9, de sorte que
[fj),=[ab)'a'^-*b'r\ (/.?),={a«)*«--^«rs (?,^),=(«s;'«r*^r-'-
Par le calcul du déterminant qui termine la dernière équation, nous obtenons enfin la relation cherchée
Dans notre cas nous avonsy= «', 9 = A = {f,f)ii (9, 9)2 = R> (y, (p)2=:o (en vertu de 10), (/J9)i = Q, et par conséquent l'identité citée se transforme en
Imaginons maintenant que A soit décomposé en ses facteurs linéaires et prenons ceux-ci comme nouvelles variables, c'est-à-dire posons (')
Nous aurons alors dans le premier membre de l'équation (i4) le produit de deux cubes parfaits. Dans le second membre figure le produit de deux formes cubiques, et comme celles-ci n'ont pas en général de facteur commun (ce dont on s'assure par un exemple numérique), chacune de ces formes doit de même représenter le cube d'um des facteurs linéaires de A. Nous pouvons par conséquent poser
et par là les facteurs linéaires ^, r: sont déterminés à une racine cu-
( ' ) Le signe et le facteur numérique ont été choisis en considération de ce qui suit.
378 TOME I. — CIIAPITBE III.
bique près de l'unité. Nous connaissons en eflfet les coefficients
/ R de la forme cubique Q -h/ W » et, en les désignant par äq,
3«), 3a2, «3, nous avons pour la détermination de ^ =^i-r, -^l-yX-, les équations
Il suffira donc d'extraire une seule racine cubique, car on a
Par l'introduction de ces nouveaux points fondamentauxy, Q, A .çoni ramenés simultanément à une forme canonique, et l'on déduit de (16;
A = — 2 çv; .
La forme primitive y^esl par là même décomposée en ses trois facteurs linéaires. Si, en effet, s désigne une racine cubique imaginaire de l'unité, il vient
Par cette transformation le système ternaire /./-f-),Q = o,
que nous voulions étudier, se trouve ainsi ramené à une forme simple; et il ne renferme plus également que le cube des nouvelles variables. Son équation devient, d'après (17),
Les points racines d'un groupe ternaire de cette involution sont actuellement donnés par
('•O) ;— au— o, Ç — »ais=:o, Ç — c*ärj; -- O,
nrraoDCCTiON a la théokic des formes alcébriqces. 379
si l'on fait
On en déduit en particulier, pour À = o, les points racines de f
(21) ; — r, =z o, s, — sï; =: o, ? — s'j; = O,
et par x -^o les points racines de Q
(2a) ç-{-T,-=Oi I -r- ei: = O, ç-i-e*i:=o.
On voit d'abord par là que des racines def=: o et Q^ = o une seule est réelle si les racines de A=^o sont réelles. Si nous supposons, au contraire (i étant égal à y/ — 1), que l'on ait
c,=p-^qi\ r.=p — qi
(c'est-à-dire que les racines de A=:o soient imaginaires conjuguées), il viendra
/♦/— - = [p ^ qi f — [p — qiY = li [^p^ q — q^]
et les facteurs linéaires de y sont en conséquence proportionnels k q, p \IZ -^ q, p \JZ — q, et par suite réels. Or les racines de û sont réelles lorsque R est négatif (les coefficients dey*= o étant supposés réels), imaginaires conjuguées lorsque R est positif. Donc :
Une équation du troisième degré à coefficients réels a trois racines réelles lorsque R est positij, une seulement lorsque R est négatif.
On reconnaît au surplus, à l'examen des équations (21) et (22), comment à chaque point dey est associé un point de Q qui forme son conjugué harmonique par rapport aux points de A, ainsi qu'il a été observé plus haut. Mais, entre les points dey*et de Q, il existe encore une autre relation de situation. Si, en effet, nous cherchons par rapport à deux points de y le conjugué harmonique du troisième point, nous serons conduits à trois autres points dont
les coordonnées Ç, n sont, en posant jc = - , respectivement déter-
et l'on déduit de là pour - les valeurs respectives
Ti
Or ce sont là, d'après (aS), précisément les points Q =: o; par suite :
Les trois points Q = o sont situés de telle sorte que chacun est le conjugué harmonique d'un point de lafonun doniu-c pur rapport aux deux autres points de cette même forme, et 1 on s assure également que les points de f= o présentent la même relation avec ceux deQ=: o, que, par conséquent, une complète réciprocité existe sous ce rapport entre f et Q ( ' )•
Les éléments de f= o et ceux de Q^:::: o sont d'ailleurs situés, relativement à ceux de A = o, de manière à former un s^'stème cyclo-projeclij [t^. iSo); car le rapport anharmonique de deux éléments de / avec les points H = o, yj = o ne change pas par l'effet d'une permutation circulaire : il reste toujours égal k t et lu même chose a lieu pour les points de Q, de même que pour tout groupe
ternaire du système (19). Nous avons pour chaque valeur de :^ les
trois séries de points projectifs qui suivent :
(1) Ç = o, Ç — ar, = o, t, — î rtv; =r o, ç — z^or.T^Oy i; r= o,
(2) Ç = O, Ç — £rt>;=0, H — l^ar,z=0, 1 — rt/;=:0, r. ),
(3) Ç = O, 5 — î*rt/; = o, ç — ar,=iO, Ç — î «ï; n: o, r.r.o.
D'autre part, si l'on donne trois points et qu'on fasse entre eux une permutation circulaire, c'est-à-dire que l'on effectue une transformation linéaire qui change chacun des points donnés en un autre d'entre eux, on détermine ainsi sur la droite deux points qui dans cette transformation se correspondront constamment à eux-nu'mos,
(') Voir y. Stacdt, Geometrie der Lage; Nürnberg, t847, p- lai, eX Beiträge zur Geometrie der Lage {Ibid., 1857, p. 178).
INTRODCCTION A LA TBËOBIE DES FORMES ALCÉBRIQLES. sSl
et ces points représentent le covariant quadratique du groupe des trois points en question (•). Maintenant, comme les points d'évanouissement de A = o ont, d'après ce qui précède, la même relation avec tous les groupes ternaires du système //"-{-XQ^o, il en résulte que le covariant quadratique d'une forme cubique quelconque xy-f- XQ ne peut différer de A que par un facteur. Nous avons donc, en indiquant d'une manière générale par les indices /., X que la forme en question provient de 'f.f-\- XQ au lieu de y,
L'invariant RxX ne peut non plus différer de R que par un facteur, car RxX est le discriminant de A^x, comme R est celui de A, et, puisque R^x doit être du second degré par rapport aux coefficients de A/>, on aura
Nous pouvons, d'après nos précédentes explications, résumer ces résultats en disant que A ef R sont des combinants du système •/.y-l-XQ (p. 259). Enfin QxX doit fournir un groupe ternaire cvclo-projeclif par rapport à A, c'est-à-dire doit avoir la forme
On peut de fait établir directement ces relations pour les formes
A,;x, RxXj QxX et déterminer ainsi le facteur M et les constantes
A,/. Si, en effet, «o> «i, «a? ^3 sont les coefficients de/"; «o? «i> «2» ^i
ceux de Q, il suffit de poser dans les formes dont il s'agit xa, -h '/.a,
à la place de a/ et de développer suivant les puissances de x, X. Il
vient, par exemple,.
A^-^ =z z- A -h aI Al -r- A- Aj,
relation où
Ort/ Ort,
(') En ce qui concerne linterprélation de la séiie des valeurs complexes de la
▼ariable — sur la surface sphérique [voir la note ('), page 3 16] on arrive, lorsqu'il
s'agit de formes cubiques, aux résultats suivants: on peut, sans nuire à la généralité, représenter/ = o par trois points équidistants sur un grand cercle, l'équateur. Soient 0, 120°, 2^0' les longitudes qui leur correspondent. Alors Q = o est représenté par les trois points de l'équateur ayant pour longitude 60°, 180°, Soo" et les points de A = o se confondent avec les deux pôles.
aSa TOME I. — CHAPITRE III.
En appliquant maintenant ce procédé de différentiation aux expressions symboliques (et il suffit alors de remplacer dans la forme considérée tout symbole relatif à^par un semblable relatif à A et d'additionner les expressions ainsi obtenues), on sera finalement conduit, après des transformations convenables, aux résultats suivants [*) :
(23) a.,=:(.'-:-^/Aa,
L'équation (24) fournit le théorème suivant :
Dans le système ternaire (19) il n'existe que deux groa/x's dans lesquels des éléments coïncident; les trois points sont alors réunis en l'un des points racines de A; car, si l'on porte dans (19) les
valeurs de ^ tirées de Ry.), = o, cette équation se transforme en
?=' ir= o ou en y;^ = o.
Enfin, en vertu de l'équation (aS), à chaque groupe ternaire du système
correspond un autre groupe ternaire
et inversement, de sorte qu'un point de l'un des systèmes est conjugué à un point de l'autre par rapport aux deux autres points d«ce dernier. Cette corrélation est d'ailleurs réciproque, car, par hi réitération de ce même procédé, on est conduit de
xQ-^)./ à ^(x/+/Q),
et par conséquent au groupe originaire. Toutefois il existe comme cas particuliers des groupes ternaires qui sont conjugués à eux-
( * ) Foir, pour plus de détails sur cette matière, l'Ouvrage de Clsbscb.
l!IT«ODCCTIO!( A LA THEORIE DES FORMES ALGÉBRIQCE8. 383
mêmes. Ils se déterminent au moyen de l'équation
et se confondent avec un point racine de A (compté trois fois).
Les considérations précédentes souffrent une modification essentielle quand le discriminant R s'évanouit, et quand par suite chacune des équations y = o, A = o a deux racines égales. On a alors f =n et A devient un carré parfait, tandis que, d'après (i4) o^ (17)1 Q devient proportionnel au cube de la même expression linéaire, de
telle sorte que — représente cette expression elle-même. Mais la
racine double de A est en même temps aussi racine double def. Les coefficients du second composé de y avec A s'évanouissent en effet identiquement d'après (10). Si maintenant nous posons A — — 2(^,X2 — \ixCf-i ils deviennent les premières dérivées à&f pour j:/=: ?;, Nous avons ainsi
3 \or.^!x=.\
ce qui était à démontrer.
Tandis que la racine double est déterminée directement au moyen
de-=o, on peut donc trouver la racine simple au moyen de
l'équation linéaire - = o.
Si, enfin,ya une racine triple, c'est-à-dire si l'on a
y ^^^= (si -''i H~ ^î-^i] > on a aussi A = (^ )2|^^o ; /^s'évanouit identiquement, c'est-àdire qu'alors existent les relations
«otlj — fl^ r= O, «0^:5 — ^l^î^^ O» ^l^i — Cl; =z O,
lesquelles se réduisent aux deux suivantes :
«0 «1^ fî a, ~ a, ~ «3
