V. — Formes binaires biquadratiques. — Remarques finales

La théorie des formes biquadratiques, c'est-à-dire des formes du quatrième ordre ('), a reçu plus de développement que celle des formes cubiques. Une forme du quatrième ordre étant donnée symboliquement par

OU, suivant le système usuel,

on peut montrer que l'ensemble complet des formes qui en dérivent se réduit aux quatre formations suivantes :

Le second composé de f avec lui-même (^ ), ou covariant hessien (du second degré et du quatrième ordre)

(i) < a^xl'^ lO^x^x^-J,' a^.T\ rtj.r* -f- artj.r, jr, -I- ajar| j

I a^.T^ -\- la^.r^x^-r- a^.7\ a^x\ -\- '^a^.T^Xj,-\- a,,x\ \

le quatrième composé de f avec lui-même (invariant du second degré) (2) /= (rt/v)*— 2(o'o'?4 — 4'^i«3 -+- 3rt*);

le prem.ier composé de f avec H, ou covariant TM'après une notation précédente (du troisième degré et du sixième ordre)

T... [cn)clEl=[ahY{cb]cla'J^ = l'^

16 \Oxi dxj Oxi ôx^j — («J'^a — 3«o«i«'ï -+- 2«J).r«

-t- (rtJrt^H- 2«o«i«3— Q'^'o«! -i- 6aJ^î).rf .r, -'- 5(rt'o^i«* — Sfl-ort-j^j-t- '2.a\o^]x\x\

\o[a\a^ — aQa\)x\x\ -> 5( — fl'o'^s^* H- 3rtifli«4 — 2rt,r/*).r*.r*

\ 1- (Srtjajflri — rt,rt| — 2«»)./*;

(' ) Pour la théorie de ces formes voir surtout, en outre des Mémoires plusieurs fois cité« de Cavley, Hesse, Journal de Crelle, t. 41, Uermite, ibid., t. LU, cl Brioscui, ibid., t. LUI.

(*) Ce covariant, que nous avons en (général désigné par A, sera ici, suivant l'usage, désigné par H, de manière à le distinguer de la formation correspondante relative aux formes cubiques.

UTTRODDCTIOX A LA THÉOME DES rORMES ALCÉBBIOCES. a85

enfin le quatrième composé de f avec H (invariant du troisième degré)

/ y='[cH)*"= [abY{acY[bcY

Tous les autres composés et par conséquent, d'après le théorème de Gordan, tous les autres invariantsei covariants dey^peuvent se ramener aux précédents, ainsi que nous le démontrerons occasionnellement à l'égard de quelques-uns. Il en est ainsi en particulier pour les formes $ et 0 dont l'évanouissement nous fournit des groupes de quatre et de six points en relation connue avec ceux de H = o ou de T = o (p. 256). Dans notre cas, ainsi que nous le verrons plus tard, le groupe 0 = 0 est identique avec le dernier cité; d'autre part, le covariant $ apparaît comme combinaison linéaire des formes/* et H, comme le montre le calcul suivant. L'évanouissement de $ donne les points dont les premiers groupes polaires renferment un point compté deux fois; ^£ lui-même est donc le discriminant de la forme cubique

a^al =i ul^=pl^= . . . ,

c'est-à-dire que nous avons [comparez l'équation (i i), p. 278] [5) ^= («/5)*{7^n«7){^] = [abY[cdY[ac][bd]a,b,c,d,.

Pour la transformation de cette expression nous ferons d'abord usage des deux identités (p. 240)

- [ab){ca)b,c, = i \jabYc^-i-{^c)Hl-[bcYal],

— {ab][btl]a^cl^= l [(«^)*'/i+-{/''^^)*«! - W;*^l]-

Après avoir substitué dans (5), on trouvera, en effectuant la multiplication, deux fois deux termes égaux et de signes contraires, parce qu'ils dérivent l'un de l'autre, au signe près par permutation, de a et de ô ; et il reste, si nous remplaçons deux fois deux autres termes qui n'ont d'autre différence que la position des symboles a, h,

a86 TOME t. — CHAPITRE III.

par le double de l'un d'entre eux,

/ - /î^=z{ahy{cd)*c^iC — 2{bc)*{bdy{cd)^a^ (6) + :,[cd]^ac)*{bd)^alb'^

.( = m — ay/H- 2 {cä)* [ac]* {hd)*a* b^.

Nous pouvons facilement aussi exprimer le dernier terme de

cette formule au moyen dey* et H, en effectuant sa formation de la

manière suivante. En élevant au carré l'identité II (p. 240), on

obtient

/ [ab]^ [acY b%cl h- [ba]^ [bcYa^cl -4- [caf {cb)*a^b^

'^^^ j =^[ai[bc)^ H- /4H* ^ 4(«i)*],

et. si nous considérons ici a, h, c comme symboles à signification identique d'une forme biquadratique, cette expression devient, en remplaçant b par d,

(8) H«(crf)««lrfl = l («rf)V* = i//.

On obtient ensuite, par formation polaire,

2[caY{cdy{a%d-^dy. -\- dlo^Oy] z=z É^[ca)^[cd)^a%d^dyZ=:i liclcy.

et

(9) (crt)*(c^/)* (2 a^Uyd^dy + ald\^^ = - /r*cj..

Maintenant on a identiquement, ainsi qu'il résulte de l'élévation au carré de l'équation (IV), p. 240,

a,o,d^d,. == i ]^aldl + ««4 - {rulY (.rr)« j

OU, puisque dans notre cas a et d sont permutables,

(10) a^a^d^dy. = ald* — - {ad)* [xy]*.

On tire ainsi de (9)

3{cd)*{caYaidl =. l iclcl.+ {ca)*{cdY{adY{xy)»=l «•>•; -i-y(xr)«.

Si l'on pose enfin dans cette formule j», =Z>2, 12 = — b^ et qu'on multiplie dans les deux membres par ä^., le terme qui était encore à transformer dans l'équation (6) apparaît dans le premier

IXTRODCCnO!« A LA TBÉOME BES FORMCS ALCÉBSIOTBS . 387

membre; on a en effet

(11) (c^)«(«c)«(irf)'a«6* = i i[bcYclh% -H i/^i = ^ /H -+- iy/,

et nous trouvons d'après cela, pour le covariant cherché,

(12) .te=.^(3/H-2y/).

Les points dont le premier système polaire relativement à f= o renjerme un point double Jorment donc un des groupes quaternaires du système v.f-^ XH, donné par l'équation

3/H — 2jf=^ o.

Avant de pénétrer plus avant dans l'étude de cette dernière involution du quatrième ordre, nous nous proposons de rechercher la position des points T = o. Ces considérations se rattachent essentiellement à une équation identique qui, conformément à une observation précédente, doit exister entre les formes yj H, T. La même équation résulte aussi du théorème d'après lequel le carré du déterminant fonctionnel de deux formes est représentable comme fonction quadratique de ces formes elles-mêmes. Nous avons par conséquent, dans notre cas, en désignant de nouveau par (o, /)r le r'*"* composé de o avec -^ (p. 277),

(iS: T^ =. /, H;f = - ^ [-/^/lîH* - 2(/, H),/H -i- (H, H),/»,],

relation dans laquelle les composés [f, Hjo et (H, H)2 sont encore à calculer. Dans ce but, partons des polaires de la forme H. On a

ou, puisque les deux membres se changent l'un dans l'autre par permutation de a et de ô,

B.l^y. = [abya^a^bl,.

De là résulte ensuite pour la seconde polaire de j

ou, d'après l'équation (10),

(l4) B.-'^=[abYa].b% - ^/(.rr)«.

Posant maintenant ytz=:c.,,ji =' — ^t et multipliant par c^., nous obtenons ^

OU, en ayant égard à (8),

Le second composé de H avec lui-même se forme d'autre part de (i4) si l'on y remplace j)o JTa respectivement par H',, — H', et qu'on multiplie par H^ : on obtient alors

(H, H), = (HH')MilH'J r^ {aby[aW^^Ù-^H'J - ^iHj.

Maintenant, de l'équation identique (y), si l'on écrit H' au lieu de c et qu'on ait égard à la permutabilité de a et b, résulte

2(«i»p(«H')^6^H'i -f- («n')^(Mr)-^«i^i= ^ [(«äj^h:,* -t- 2(./H')''/.^].

et nous obtenons par suite

Le dernier terme de cette expression se déduit de H'/H'^" si Ion remplace de la manière connue les z par les symboles a, \es j par les symboles è et qu'on multiplie par «^^^; donc, en vertu de (i4)>

n'J \l\' = [cd]^ cl dl — -, r( :,y)\ il vient

{H'a)^{H'bYn^J^l = {cd)^ca)^dby-n^,bl~-^m

ou, à cause de (i i),

Si nous portons enfin ces résultats dans l'expression donnée pour (FI, H)2, nous obtiendrons pour le second composé de H avec lui-même

ce qui évidemment donne ce théorème que la forme hessienne de

nTRODlCTIQN A LA THÉUBIE DES FOBMES ALCÉBBIQIF.S. tS\}

la forme hessienne fjorme un groupe quaternaire de l' Involution xf-h^H, comme cela doit être si le système de formes cidessus est complet.

Nous avons ainsi formé tous les composés qui entrent dans (i3), et cette équation, par suite des résultats obtenus, se transforme en

L'équation T- = o peut donc être considérée comme une équation du troisième degré par rapport a la quantité -r;; et par conséquent, si — m,, — /Wo, /«s — sont les racines de celte équation cubique, l'expression (17) doit pouvoir se représenter sous la forme

T^ = - ^ (H -h mj) (H -4- m,/) (H 4- m,f].

Le premier membre est un carré parfait; il doit donc en être de même du second. Mais aucun des trois facteurs biquadratiques n'a en général de facteur linéaire commun avec les autres ; car un facteur semblable serait en même temps facteur commun de J' cl de H. Or cette dernière circonstance n'a pas lieu en général, ainsi qu'on peut s'en convaincre par l'exemple suivant.

Soit

Il vient alors

Donc chacun des facteurs ( H -f- ntij^ est nécessairement le caiTc parfait d'une expression du second ordre dont les coefficients peuvent être déterminés à l'aide de la méthode des coefficients indéterminés par l'extraction d'une racine carrée. Nous pouvons, en conséquence, supposer connus ces facteurs quadratiques de T, que nous désignerons par 9, ']>, ;(, et admettre qu'ils soient déterminés par les équations suivantes :

( H -hmJ= — 7./^,

V>9} T = 2cr|X.

ou le signe de deux formes a été choisi arbitrairement, tandis

Clebscb. — Géométrie, I. '9

ago TOME I. — CHAPITRE III.

que celui de la troisième est déterminé par la dernière équation, et où m,, nii, m^ sont les racines changées de signe de l'équation

La possibilité d'appliquer ce procédé fait de T une forme du sixième ordre d'un caractère tout spécial, car dans les formes générales de cette espèce une décomposition en facteurs quadratiques au moyen d'une équation cubique n'est pas possible ( * ), Entre les points de T existent, en effet, des relations particulières correspondant à la division en trois couples. Ainsi les fonctions 9, ^, -^ satisfont à la condition suivante, qui se tire de (18) par élimination de H et/:

vJ

ou, si nous développons le déterminant,

(20) (/«î — '«3)?*-+- ["H — ithY-f -+- ('«1 — ^«îjx' = o-

Cette équation exprime que chacun des trois couples de points (p = o, t^ = o, X^^*' ^^^ situé harmoniquement par rapport aux deux autres. Si nous formons, en effet, successivement les premiers composés des formes 9, (j;, ^ avec l'expression (20), nous obtenons (p. 263), puisque le premier composé de toute forme avec elle-même est nul,

et de là résulte d'abord que chacune des formes 9, tp, % est proportionnelle au déterminant fonctionnel des deux autres. Or chacun de ces déterminants fonctionnels représente les deux points doubles de l'involution déterminée par les deux couples de

(') Sur les conditions auxquelles doit satisfaire une forme binaire du sixième ordre pour pouvoir Mre considérée comme le covnriaiilT d'une forme biquadratique, voir Cledscii, loc. cit., p. 447» et Journal de Crelle, t. 67.

nTRODccno!« a la tnÉoiiE des formes alcébmqcbs. 391

points en question (p. a68); et nous avons par conséquent ce théorème :

Les six points T = o peuvent être divisés en trois couples, tels que chaque couple est en même temps situé liarmoniquement par rapport aux deux autres ou, ce qui est la même chose, tels que l'un des couples représente les points doubles de l' ins^olution quadratique déterminée par les deux autres.

Les six points considérés présentent d'ailleurs une relation importante avec le groupe quaternaire donné. Des équations (18) résulte en effet

/»j — /ïij nti — mj /»j — rni

c'est-à-dire que la forme y| si <p, «p, -^ sont connus, est décomposée en deux facteurs quadratiques, et cela de trois manières différentes : les quatre points de^sont alors représentés par chaque couple des équations

^ i -f- ;^ =z o, 'j — /=Oy

On peut maintenant, au moyen de ces relations, calculer rationnellement les coordonnées des quatre points primitijs, et Ton obtiendrait ainsi la résolution complète de l'équation du quatrième degré y=o; mais nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet.

La portée géométrique de cette relation entre les couples de points de T = o et ceux àef=z o résulte d'ailleurs également de nos précédentes considérations sur les involutions quadratiques. Suivant ces considérations, tous les couples de points '| -f-Xo = o sont situés harmoniquement par rapport au couple qui est donné par l'évanouissement du déterminant fonctionnel de 9, i|/, c'està-dire par rapport à

Mais ce déterminant fonctionnel est, d'après un théorème qui vient d'être démontré, proportionnel à la troisième forme yr^; donc le couple de points que représente cette dernière est situé harmoniquement par rapport à tous les couples de l'involulion t^ -f- 3lo =1 o,

et par suilc en particulier par rapport aux couples

Un fait analogue a lieu pour les autres formes (22), et nous avons par conséquent le théorème suivant :

Si l'on partage quatre points donnés en deux couples suivant les trois manières possibles, et qu'on cJierchc chaque fois le couple harmonique en même temps à deux couples, les trois couples qui ont cette origine sont aussi harmoniques entre eux. Si les quatre points primitifs sont donnés par V évanouissement d'une forme biquadratique f, les points dont nous venons de parler seront déterminés par le covariant du sixième ordre T.

Ce théorème nous apprend à construire les points de T, si ceux de^sont donnés, comme on l'aperçoit immédiatement.

Les covariants de J sont ainsi complètement interprétés géométriquement. Il nous reste encore à chercher la signification géométrique des invariants!, 7. Leur évanouissement doit, d'après nos considérations générales (p. 245), donner une relation pour le rapport anharmonique des quatre pointsy = o, et de même l'invariant

absolu — est nécessairement en corrélation étroite avec ce rapport

anharmonique. Or ce dernier (a) est, suivant la manière dont nous partageons les points donnés en deux couples, déterminé par l'une des équations suivantes (p. 269) :

(9.3) I DV(a — l)* — DîD';(a4-l)«=0,

( D'/{«-i)'-DaD'3{«-hi)» = o.

Ici D| , D2, D3 désignent respectivement les invariants des formes quadratiques «p-hx> X"!" ?' ? "^'1'' ^"1» ^-^2» ^"t respectivement les invariants des formes ^ — 5^, ^ — ?> ? — '^\ et D, , D'^, D'^ respectivement les invariants simultanés de chacun des couples des formes quadratiques (22). Des racines de chacune de ces équations l'une est la valeur inverse de la valeur de l'autre, et les six racines ensemble nous donnent les six valeurs du rapport anharmonique qur l'on peut former avec les quatre points de f, c'est-à-dire, si « est