ITTRODCCTIOX A LA THÉORIE DES FORMES ALGÉBRI0CE
une de ces valeurs,
I la — I «
Par la multiplication des équations (28) nous obtenons donc pour ce rapport anharmonique une équation du sixième ordre, dont cinq racines s'expriment en fonction de l'une d'entre elles de la manière indiquée, et pour la formation de laquelle les formes ç, t|/, 'f sont employées symétriquement. Cette équation devient, en
posant
fo/î
si l'on fait, pour abréger,
A , = Df D'^ D, d; -+- d;^ d;- Di d", h- d/ d;^ d, d; , A2 = D7 D, D3 d; d; 4- D- D3 Di d; d", + d;^ d, Dj d", d'; , A3 = 0,0^0,0", d;d'3.
Maintenant les coefficients de cette équation peuvent s'exprimer rationnellement en fonction des invariants i, j. Nous pouvons en effet les représenter comme des fonctions symétriques des grandeurs irif, iii-i, m 3] et par conséquent aussi comme des fonctions des coefficients de l'équation (25) ilfx, >)=•/.» —
donc les racines r sont précisément — /« 1 , — /«o , — iHi.
Effectuons d'abord la première représentation. Nous avons déjà vu plus haut que le premier composé de deux des formes ç, «]/, •/; ne diffère de la troisième que par un facteur numérique. Nous pouvons déterminerce dernier au moyen des formations suivantes, qui se déduisent de (18) et (19). On a
OH
df OH df
OXy OJi UXy UJCy
OH df d\\ df
O.r^ 0.t\ (Jx^ ' Ox^
dH df
«ij — /«,
àXy dXy
dH df
dxi dxi
agi TOME I. — CUAPITHE III.
On peut dans les deux membres négliger le facteur 2<pt|/ et l'on obtient ainsi, en effectuant les formations analogues pour les deux autres composés, les trois équations
2(y, •^), ={w, — /Wj)x.
D'un autre côté (p. 276), il est possible d'exprimer le carré de chacun des composés qui figurent dans les premiers membres au moyen des deux formes dont ils dérivent. On obtient, par exemple,
ou, à cause des relations démontrées plus haut et avec l'aide de l'identité (20),
- (/Hj — Wj) [(m. — Wj ) 0« 4- ( //jj — /?/, ) I« ]
= f^-h -1)2 — 2y} (?> •^)% + •}'(?» ?)t; d'où l'on déduit, en égalant les coefficients de 9-, «|^-, les valeurs des invariants (9, 9)2, (9, ']i)-2, (^j^, ^)2-
Si l'on forme les deux équations correspondantes pour les carrés des composés (^|>, yj^, [y, 9),, on arrive par suite aux résultats suivants :
(26) { (^,if-)2=-(m2 — /«s) (m, — mj),
(^7) (■ï'iX)2 = o, (x,?)î=:o, (y, •]/), = o.
Les trois dernières équations résultent aussi du théorème d'après lequel chacun des trois couples 9, «|/, y^ est situé harmoniquement par rapport aux deux autres. Au moyen de ces relations nous pouvons maintenant représenter les invariants D en fonction des racines /«i, mj, m^. Il vient en effet ('), à cause de l'évanouisse-
(') Foir l'équation (-J), p. ai/}, dans Inquelle il faut prendre /=±i.
IXTtODCCTIOM A LA TSiORK BE8 rOKWES ALCiBRIOCKS. Ï9S
ment des invariants simultanés,
>6;.* { d,=d; = (x,x)î-+- (?.?)î=— ^('"j — '«ij*'
ou, si nous avons égard à ce que, par suite de l'absence de second terme dans Téquation O (x, /.) = o, la somme des racines m,, ni-i, mj est nulle,
Les coefficients de l'équation (24) sont, au moyen de ces relations, représentés comme fonctions symétriques de nity Tn2f mt; pour exprimer ces dernières quantités en i et y, nous devons faire usage des équations suivantes :
Zotj = /n, -I- nij 4- m, =: o,
^iTZiit} = mytrif ■+■ m^m^ -|- m^ni\ r= — — »
On en déduit ensuite les équations ci-dessous :
(2m, ]* — 22/n,/»j = m\ -{- m\ -*- m\ z=: 2m* = /, 2mJ = — Zmjmj = Smim^m, =y, 2mjmj =: (2m, mj)^ — "iminiiniiliniimimi -f- Zm'mj)
2mjm,= __/3-y2
■J(ß TOME I, CHAPITRE III.
Enfin nous devons encore former le carré du produit des dlfTérences m, — Wo, m^ — nis, ma — m,. Ce produit ne diffère, comme on sait, du discriminant R de la forme cubique CL (x, X) que par un facteur numérique, et pour préciser on a (p. 278, note)
R = — (/»i — Wi)*(m, — m3)*(m3— mi)*,
D'un autre côté, on trouve dans notre cas, d'après l'équation (8)
cl de là résulte
(/«, — iHi)- [m, — m^y {mj — m, )* =r - (/' — 6y*).
L'application des l'clations établies et des équations (26)*, (27)* donne, pour les coefficients de l'équation (24), les résultats suivants :
-^i = ^('«j —mir["h — m.i]^{mi — mij^
+ ml [m,— /«jj^i/w, — /«,)* + m] [m.^ — OT, )* (/«, — /n,)«]
+ /M,/njni3(42mJ — 22/«jmj + S/^im^/Mj)]
{.■«TSODl'CTION A LA THÉORIE DES FORIIES ALCÉBRIOl'ES. I97
Si nous portons les valeurs ainsi trouvées dans l'équation (24)» celle-ci se transforme, abstraction faite du facteur — -; fi' — 6/*), en
OU, en ordonnant autrement,
2 Pq Upq — %* - 9pA -f- 3/ {•27/)*+ 2jp^q -h gpq"' + q"" ) = O; .
d'où l'on déduit la valeur de l'invariant absolu, c'est-à-dire
ou, si nous introduisons de nouveau le rapport anharmonique a,
c est-a-dire si nous posons — =
q i«-hlj^
^ ' j- ^ (l + aj^(a — aj^[l — 2aj*
Cette équation représente la relation cherchée entre le rapport anharmonique des points primitifs et l'invariant absolu. Elle nous permet aussi de reconnaître immédiatement le sens de l'évanouissement des invariants i, y". Si, en effet, le rapport anharmonique a doit être équianharmonique, il faut nécessairement que a- — a -+- i soit nul, c'est-à-dire que le numérateur soit nul dans l'équation (28). La condition de la situation équianharmonique est donc
Cette situation est d'ailleurs caractérisée d'après l'équation (16) par la circonstance que la forme hessienne de la forme hessienne de fest identique avec la forme primitive. Si, au contraire, les quatre points f= o doivent être situés harmoniquement, on a
a = — 1,-1-2 ou H — , et dans chacun de ces trois cas le dénomi-
nateur de la formule (a8) s'évanouit. La condition de la situation
harmonique est donc
La valeur du rapport anharmonique sera enfin égale à l'unité deux des quatre points primitifs coïncident. Si donc on pose dans
398 TOME I. — CBAPITRC III.
( a8) a = I, on obtient comme condition pour que l'équation du quatrième degré /= o ait une racine double
Le discriminant R de la forme cubique Q. [x.,X) = o est donc en même tem ps le discriminant def.
Les considérations précédentes souffrent plusieurs modifications en cas d'évanouissement de R. Dans cette hypothèse, m-j, peut être égal à m^ et au contraire m^ et mj rester distincts : on a alors en premier lieu
et par suite
En vertu de (18), on a d'ailleurs ^z=z-^, et en vertu de (26) {^^,:^).y= o; par conséquent, 4^ = X ^^^ ^^ carré d'une expression linéaire ^ et il vient
L'identité (27) (ç, t|/)2 = o se transforme ici en ((j)|)*=: o; par conséquent, cp s'évanouit aussi si l'on pose Xi =^2? J^2 = — |i> c'est-à-dire que l'on a
yj étant une expression linéaire dijßcrente de ^; car, d'après notre définition des composés (p. 203) et d'après (26),
(?.?).= ^ m) M - wi^- '- [^?=- \ ("'. - "'.)*'
et est par conséquent différent de zéro. Si maintenant on porte les valeurs indiquées de ///j, m<i dans les équations ( 18), on trouve
T = 2ç^t:, ce qui donne le théorème suivant :
Z-orj^MeR s'annule, le facteur double $ de fest déterminé par
HTRODCCTION A LA TBÉORIB DES FORMES ALCÉBRIQCES. ^99
l'équation i\\ — //= i^* î et ce J acteur est en même temps Jacteur double de II et facteur quintuple de T.
Mais cette détermination de la racine double devient illusoire lorsque i est nul en même temps que R; alors, comme on a
y est aussi nécessairement nul. ft devient par là égal à x^. Les trois facteurs quadratiques de T sont par suite identiques : cf = ^ = y^, et tous sont égaux au carré d'une expression linéaire 'i ; car de (26) résulte (ç, çj>)2=o. D'ailleurs, suivant (18), puisque
/», = m, = m^ = Of
H devient égal à la quatrième puissance de cette expression linéaire, et T proportionnel à sa sixième puissance
Maintenant, suivant (i5), si i = o, on a aussi (y, H)2 = o, c'est-àdire
indépendamment des x, et par conséquent (a^)* = o : y renferme alors le facteur i^^. Posons en conséquence
et formons de nouveau la fonction (y, H)*. Il viendra
et par suite aussi (a|)'' = o, et la continuation du même procédé montre que nous devons poser
f SI y
yj étant une expression linéaire différente de ^. Il suit de là inversement que si f=Pn et que conséquemment H= — ö(E^)$'>
i et J sont toujours nuls; car, à cause de iH — j\f= ^V f /est nécessairement égal à zéro, et alors il en est de même de i à cause deR=o.
Si donc H est une quatrième puissance parfaite, on a i = o, 7=0 etfa un facteur triple, de même que dans ce dernier cas H
est réciproquement le carré d'un carré et que l'on a i =o,j = o. Mais la détermination de la racine double de/ par l'équation ^ = y^=ziH — yy*=o devient également illusoire si chacun des coefficients de cette équation est nul. Dans ce cas x= ^ s'évanouit identiquement et nous avons
iH-J/=o, Tr=o.
D'ailleurs la première des équations (i8) donne
Si, rcciproquement,y est le carré d'une forme du deuxième ordre /■= {oc^y dont l'invariant est D = (aß)*, on a
i=lB\ y=^D% H=iD/,
et l'on obtient ce théorème :
*Si H ne diffère de J que par un facteur constant [i}i=jj], alors et alors seulement f a deux Jacteurs doubles différents^ autrement dit f est le carré d' une Jorme quadratique.
Ce cas n'est plus caractérisé, comme les deux précédents, par l'évanouissement d'invariants, mais par l'évanouissement identique du covariantill — ;[/(p.2i6). Cela conduit à cinq équations entre les cinq coefficients de/, tandis que l'existence de deux racines doubles implique la détermination de deux constantes seulement. Nous avons donc un nombre trop grand d'équations, mais aucune d'elles n'est superflue, et leur coexistence n'est rendue possible que par la dégénération mentionnée de notre groupe quaternaire f=i o. Nous rencontrerons encore plusieurs fois des circonstances semblables dans la théorie des coniques et des courbes du troisième ordre ; nous n'attirons l'attention sur celle que nous venons de traiter que comme sur un premier exemple ( * ) (l'o/r aussi ci-dessous p. 339 et suivantes).
Enfin il peut encore arriver que H s'évanouisse identiquement,
(' ) I.o cas d'une raciiio triple dans uiio équation cubique (p. »83) nous a sans doute l'uurni un exemple de l'uvanouisscinent identique d'un covariant (A) ; maison obtenait ainsi le mi'^me nombre d'cqiiations d(> condition que celui auquel donne lieu la présence d'une racine triple, c'cst-à-diro deux.
