I.NTRODCCTION A LA THÉORIE DE.S FORMES ALCÉBMOCBS. 3oi

que par suite on ait les équations

rtçrt, — a] = O, Oqü^ — «,«,=: o,

rto«i -f- 2 «,«3 — Söj = o,

ce qui donne

et

Alors tous les invariants et covarianls de /* s'évanouissent, la représentation symbolique devenant la représentation réelle. On en déduit que : Si H s'évanouit identiquement, f est toujours la quatrième puissance d^ une expression linéaire, et réciproquement.

Le système des groupes quaternaires

x/H-5iH = o

présente des relations particulièrement dignes d'attention avec les quatre points^et les groupes covariants. Ces relations s'obtiennent en établissant, pour la fonction composée du quatrième ordre y.y-f-XH, les formes H, T, i, j, ainsi que nous l'avons fait auparavant pour la forme y. Nous désignerons ces formations invariantes respectivement par Hx)., Tx),, i%\, jxi- On a alors, d'après le théorème de Taylor,

(y, f].2 étant égal à H par définition, tandis que les composés [ff H)2, (H, H )2 s'obtiennent au moyen des équations (i5) et(i6). L'introduction des valeurs qui ont été trouvées à l'endroit cité donne

Nous pouvons mettre cette formule sous une forme plus élégante à l'aide de la fonction

il vient en effet

I /„ àa ^ôa\

L'introduction de la fonction Q. facilite aussi le calcul de Hx). ; car cette forme est définie suivant (3) comme le déterminant fonctionnel de x/-t- XH et HxX divisé par 16, c'est-à-dire que nous avons

dxi dxi

dH da dxi dx

df da dxi dX

df dH dn da df da dx2 ' ' dx^ dxj dx d^i dX

df dH

djTj dxi

da da ~" dX Ta

df du

dx^ dx^

Mais le premier des déterminants qui figurent ici dans le second membre a la valeur 3û(x, X), l'autre la valeur 16 [f, H)| = 16T, et l'on a par suite

Géométriquement cette équation donne le théorème suivant: Les trois J acteurs quadratiques de T sont avec tous les groupes quaternaires du système )c/'4-XH = o dans la même relation qu avec le groupe quaternaire f = o. autrement dit, l'inv'olution du quatrième ordre ^f-\- T^H = o peut se résoudre de trois manières différentes en deux ins^olulions projectiles du deuxième ordre, dont les groupes sont en correspondance réciproque. Deux involutions projectiles de cette sorte ont toujours un couple de points T = o pour points doubles communs; le second de ces couples Jorme les deux éléments doubles du second groupe des involutions en question, le dernier couple les éléments doubles du troisième groupe ( ' ) .

(') Dans la considération des trois collinéations possibles qni transfürniont les ijuatre points a, b, c, ci d'une forme binaire biquadratique les uns dans les autres et qui sont définies par

{abcd) projectif relativement à ( badc)

» » ( cdab )

» M ( dcba )

les trois couples de T apparoisscut respectivement comme les éléments doubles de ces

IMTRODCCTIOM X LA TBÉOBIE DES FOBMCS ALGÉBRIQCES. 3o3

A cette relation des points de T avec chaque groupe ît/*-t- XH nous rattacherons immédiatement les remarques suivantes. 11 existe (p. 25^) six pôles 0 = 0, dont les systèmes polaires, relativement à y et H, et, par suite, relativement à tout groupe quaternaire xÀ -+- XH, ont un point commun en l'un des six points de T. Or le système polaire relativement à un couple de points doubles se décompose toujours en ces points et en un point quatrième harmonique par rapport à eux et par rapport au pôle (p. 254 et 205). Le couple de points situé à la fois harmoniquement par rapport à deux couples de points de T a par conséquent la propriété que, si l'on considère un de ses points comme pôle, l'autre devient un point du système polaire du premier relativement à chacun des deux autres couples de ï, et par suite aussi relativement à tous les groupes xy*-f-XH, parce que ces groupes peuvent être composés linéairement avec deux couples de T. Le troisième couple en question appartient donc aussi bien à T qu'à 0, et nous avons, en conséquence, le théorème suivant :

Les points 0 = o sont identiques avec les points T = o, de telle

collinéations. On arrive par là, en ce qui concerne^Ia représeatation sur la sphère (iwiVIes notes des pages ai6 et 368}, aux résultats suivants. On peut se figurer les trois couples de T comme déterminés par trois diamètres de la sphère situés à angle droit. L"n groupe quaternaire du système x/-+-iH:=o est alors représenté par les sommets (l'un tétraèdre symétrique dont les arêtes respectives sont divisées par le milieu par les trois diamètres précités T = o. [Voir sur ce sujet et sur les autres applications de la Géométrie de la sphère, en outre du travail de Kleix, cité p. 316, les Mémoires du même auteur : Ueber binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst {Math. Annalen, t. IX), et Ueber das Ihosaeder {^Ibid., t, XII).] La construction géométrique des points H := 0, au moyen des points f=^o, a été donnée par Wedekind i^Ibid., t. IX). Les relations développées dans le texte sont également visibles géométriquement si, comme représentation du champ des valeurs binaires, on prend pour base une conique au lieu d'une droite {voir Hesse : Vier Vorlesungen aus der analytischen Geometrie; Leipzig, 1866). Si dans ce but, on introduit les trois facteurs quadratiques y, <p, y^àeT comme variables ternaires, l'équation de la conique est donnée par ('io). Les six points de T sont, par conséquent, déterminés par les côtés d'un triangle polaire. Si, l'on emploie deux de ces côtés comme éléments doubles d'une Involution de rayons, deux rayons correspondants de cette Involution déterminent, d'après (21), une forme du faisceau x y -+-ji H sur la conique. Aux différentes manières dont on peut employer les trois sommets du triangle polaire correspond la triple décomposition du faisceau en involutions quadratiques. L'emploi d'une conique dans ces circonstances est en corrélation étroite avec la représentation typique des formes d'ordre pair au moyen de covariauts quadratiques (p. 4io et suiv. dans l'Ouvrage de Clebsch ; comparez Limdemax:«, Bulletin de la Société mathématique de France, t. V).

3o'| TOME I. — CHAPITRE III.

sorte que, à chaque point de 0 répond celui quijorme avec lui un couple de T. Le résultat de l' élimination des x entre les équations

ala^ — o,

est donc donné par T = o.

En ayant égard à l'équation (3o), relative à T^)., nous pouvons facilement aussi former i^x et jyCK- En effet, pour un groupe quaternaire ît/^-h XH = o, la l'orme T^x se décompose en trois facteurs quadratiques dont les carrés sont, d'après (18), déterminés par les

trois équations

(3i) Aj(y./-f-).H)+/,ll,,= o,

(x-3(/./-i-).H)+/3lI,,= o,

-1, -5, — désignant les racines changées de signe de l'équation

cubique

(32) [i\[kj]\^= /-s— Jii /Y* - -^t P = o.

D'après (3o), ces facteurs quadratiques sont, d'ailleurs, identiques avec les formes ç, 4*» X ^^ lesquelles T se décompose, et dont les carrés sont donnés par les équations (18); ils ne peuvent donc en diffiérer que par un facteur. Mais les expressions (3i) sont, à cause de (29), si nous ordonnons suivant^et H,

et ces formes, si l'on considère z, X comme des variables binaires, proviennent d'une forme x'^-i- X'H, au moyen de la substitution linéaire

k Les valeurs de -t à déduire de l'équation (3a), doivent doncélrc

IXTI10DCCTI05 A LA TBEOBIE DBS FOBMES ALCÉBKIQCES. 3o5

identiques avec celles qui se tirent de l'équation

si Ton y remplace x, X respectivement par les expressions

I da I dii .

3 ôf. 3 dx

Les deux équations ne peuvent donc alors différer que d'un facteur M, c'est-à-dire que nous avons

ou, en développant dans le second membre suivant les puissances de k, /, et observant que le facteur de k^l s'évanouit identiquement,

(33) m(/'- '^iP-i^lA = Pii{x, >} -h - *A/î- 1t/', \ 2 O y 3 o

en faisant

irà^(àny dHi dû. du d'a/dayi

I /d* dn. <;* dii\

Si l'on exprime partiellement dans 4> les premières dérivées au moyen des secondes, d'après le théorème des fonctions homogènes, de telle sorte qu'elles n'entrent plus que linéairement, il vient

— L/ ^ . <^a\ p-g d'D. f d*a\n * ~ 78 V''' dv. "^ ' dX j [ d^ d)J ~ [ô^.) J

Si nous considérons maintenant Q. comme une forme binaire du troisième ordre en x, 1, et si nous désignons par Aq, Qq les formes ù, Q qui lui correspondent, et dont la première a été définie comme étant le déterminant hessien divisé par i8, la seconde comme étant le déterminant fonctionnel de £1 et A divisé par 6, nous obtenons

♦ = 3ft(x, >)Ao,

CtEBScn. — Géométrie, l. "io

3o6 TOME I. CHAPITRE III.

En égalant les coefficients de /r^, 1d-, /' dans (3), nous trouvons finalement

d'où

(34) ,;j = -3ia = "'+2/x^

Ces invariants ont, à l'égard de la fonction composée /f-\-kK, la même signification que i,j à l'égard de la formey. Leur évanouissement donne respectivement des équations du second et du troisième degré en -■> et nous avons en conséquence ce théorème :

// existe dans V Involution y.f-\- À H = o deux groupes quaternaires dont le rapport anhannonique est équianharnionique, et trois groupes dans lesquels ce rapport est harmonique.

D'un autre côté, le rapport anharmonique a d'un groupe de cette espèce est donné d'une manière générale par l'équation du

sixième degré en r- :

// existe donc dans l'inuolution y.f-\- /.H = o six groupes quaternaires de points ayant un rapport anharmonique donné.

Si ce dernier doit être égal à l'unité, c'est-à-dire si le groupe quaternaire doit renfermer un point double, on a nécessairement

'x\ — ßyx\ = o.

Nous pouvons facilement représenter cette expression en i cl j, avec l'aide de la forme Rq= — (i' — Gy^), le discriminant dey. Entre les formes û. A, Q, Il existe en effet l'identité (p. 277)

Qâ = -i(-^i + i^'Rû]»

lüTKODCCnOX A LA THÉORIE DES FORMES ALCÉBRIOCES. 3vj

et de là résulte, à cause de (34) et (35),

(36) il - 6jh = [û(x, l)Y {i*-6f).

Dans le premier membre figure le discriminant de zy+XH; ce discriminant, à cause de l'expression qui constitue le second membre, ne peut, en général, c'est-à-dire tant que R est différent de zéro, s'évanouir, que si l'on a îl(z, X) = o. Mais cette dernière équation détermine les couples de points de T = o, et il suit de là que :

Parmi les groupes quaternaires de l'involution x/*+ XH = o, il n'en existe aucun, en dehors des groupes comptant deux fois deT = o, dans lequel deux points coïncident.

Obser\'ons encore, en terminant, que l'on peut mettre la forme biquadratiquey sous une forme canonique, dans laquelle n'entrent plus que les carrés des variables, à la condition d'introduire, comme nouvelles variables, les facteurs linéaires de l'une des formes quadratiques (^, ^, y^. Gomme chacun des couples de points représentant ces dernières est situé harmoniquement par rapport aux deux autres, nous pouvons, par exemple, poser

Alors nous obtenons, en fait, à cause des équations (21), pour^^ la représentation canonique suivante :

Ici se présente une constante absolue — » constante complètement déterminée par cela seul que l'on demande de mettre^ sous la forme donnée, autant du moins que le permet l'identité de rôle des fonctions ©, ^, Xî ^^f pour préciser, nous montrerons que, dans la même forme f elle peut prendre six valeurs différentes. La valeur de cette constante est donc caractéristique en ce qui concerne les formes biquadratiques , et l'on ne peut transformer linéairement, les unes dans les autres, que celles pour lesquelles la constante dont il s'agit a l'une des six valeurs convenables. Il

3o8 TOME I. — CHAPITRE III.

est visible par là que cette constante est en corrélation étroite avec l'invariant absolu àef, comme nous allons, du reste, le reconnaître tout de suite. Les invariants et les covariants défont, dans la représentation canonique, la forme suivante. On a, en désignant les nouvelles formations par des accents, et en désignant par R le déterminant (^rj) de la substitution :

H = r'H'=(Ç„)*[2py(r' + v;*)-+-2(/?«-37')^?'r,»], De ces équations résulte, pour l'invariant absolu,

ce qui donne la liaison de cet invariant avec la constante -> de

même que l'équation (28) donne la relation du rapport anharmonique avec cette même constante. Nous avons ainsi une équation

du sixième degré en -j qui se réduit néanmoins au troisième par

rapporta^' Aux trois racines de l'expression que nous venons

d'écrire correspond la circonstance que l'on peut indifféremment faire usage des formes <p, j^, ^ pour l'établissement de la forme canonique. A chaque racine -en est d'ailleurs associée une autre

— -» et l'introduction de \J — içr* à la place de l'une des formes

quadratiques conduit à cette dernière si la première correspond à l'introduction de \rt.

Le procédé employé pour la détermination de p, q, les coefficients de la forme transformée, est surtout utile si l'on tient seulement à donner, sous sa forme finale, une représentation canonique reconnue d'avance comme possible, sans fixer son attention sur les équations linéaires de substitution qui fournissent la transformation elle-même. Dans un cas de cette sorte, il suffit d'établir les invariants absolus de la forme au moyen des coefficients de sa représentation canonique, et l'on obtient immédiatement des équa-

ütTBODOCnO!« A LA THÉOUK DES FOHMES ALCÉBRI0CE8. 3og

tions pour la détermination de ces coeßicients, de même que nous avons obtenu plus haut pour - une équation du sixième degré.

La théorie des formes biquadratiques devrait, conformément à la nature des choses, être suivie de la théorie des formes du cinquième ordre et des ordres plus élevés. Nous n'aborderons néanmoins pas ce sujet, parce que nous n'en avons pas besoin pour nos recherches ultérieures de Géométrie algébrique. Pour l'orientation du lecteur dans la théorie dont il s'agit, nous mentionnerons seulement ce qui suit. Dans la mesure où la théorie des formes d'ordre supérieur a été approfondie jusqu'ici, on y poursuit des points de vue essentiellement différents, et l'on y emploie, en conséquence, d'autres méthodes que celles dont nous avons fait usage dans ce qui précède. Tandis, en effet, que nous cherchions les formations invariantes dont tous les autres sont, d'après le théorème de Gordan, des fonctions composées rationnelles et entières, on peut aussi se proposer le problème de donner un système de formes en fonction desquelles toutes les autres soient exprimables /vzfio/znellement seulement ('). On parvient de la manière la plus simple à un tel système Ae formes associées en introduisant deux covariants linéaires d'une forme comme nouvelles variables ; les coefficients de la nouvelle forme sont alors des invariants de la forme donnée, et il entre une puissance du déterminant de la substitution, par conséquent aussi un invariant, dans le dénominateur. Il n'existe pas de covariant linéaire dans les formes d'ordre pair; on se sert, dans ce cas, des polaires d'autres covariants relativement à un point variable y. Désignant par © et «|/ deux de ces covariants, on pose

do df

dp dl

( ' ) Les questions qui apparliennent à cet ordre d'idée ont d'abord été soulevées et traitées par Herxite {Cambridge and Dublin math. Journal, 185^, et Journal de Crelle t. 52) et par BRioscni(v/rtna/i di MaCem. ,t. I), Fo*r pour le développement ultérieur de la théorie l'ouvrage cité de Clebsch, ainsi qu'un Mémoire de Clebscd et Gordan {Annali di Maternât., t. 1, •i" série, 1867) et un de Gcndelfi^ceb [Journal de Crelle, t. 74).

3tO TOME I. — aiAPITRE III.

el ainsi les anciennes variables j'jjjy 2 sont exprimées en fonction

des nouvelles ^, y;, qui, pour^ = Xy se transforment en covariants

de la forme donnée y. On est ainsi conduit à la représentation

typique suivante de f :

,, . Ao?''4-A,r-'>;-+-...H-A„y:« /(ji.rij = p '

D, Ao, A,, . . ., A„ étant des covariants àef, et D étant précisément le déterminant de la substitution, c'est-à-dire, dans notre cas, le déterminant fonctionnel des formes cp et ^. Si maintenant

est un covariant de/", dans lequel a^, ai, . . ., an désignent les coefficients dey, il vient, par l'efTet de notre substitution,

n(ji,jî, «o,«i ,««) = nU, •/:, -^, -.,» •••'jjil»

et si, dans cette égalité, nous posons j= x, on a, d'après le théorème des fonctions homogènes,

c.n{ji,yi,ftQ,ff ,o„]'D'^=U{f, •^, Ao,A,, ...,A„),

c étant un facteur numérique. Tout covariant de y est donc exprimable rationnellement au moyen des n-\- 4 covariants

D, Ao, A,, . . ., A„, fy-i>.

Toutefois, ces derniers ne sont pas indépendants les uns des autres, mais peuvent au contraire être réduits à un nombre moindre. Nous avons, en effet, déjà fait observer (p. 270) qu'une forme binaire ne peut avoir que deux covariants indépendants l'un de l'autre, et que tous les autres peuvent s'exprimer en fonctions de ceux-là, irralionnellement au besoin. D'ailleurs, une forme d'ordren a, en général, n — 3 invariants absolus; car, au moyen d'une transformation linéaire, nous pouvons, par un choix convenable des quatre coefficients de la substitution, assigner des valeurs déterminées à quatre des n -f- i coefficients de la forme d'ordre n, et il reste, par conséquent, seulement n — 3 nombres caractéristiques de la forme ou invariants absolus. Chacun d'eux est nécessairement le quotient des deux invariants, et, pour pouvoir former n — 3 quotients semblables, nous avons besoin de n — 2 inva-

»TRODl'CTION A LA TUÉURIE DES FORMES ALGÉBRIQCES. 3ll

riants. Si nous y ajoutons les deux covariants indépendants l'un de l'autre, nous avons n formes au moyen desquelles peuvent s' exprimer toutes les autres formations invariantes de la forme primitii>e, et la théorie des formes associées apprend à déterminer un sjstème déformations telles que ce résultat puisse être réalisé rationnellement.

Ces remarques peuvent servir à caractériser, en général, le développement ultérieur de la théorie des formes binaires. Des détails plus approfondis ne répondraient pas à notre but actuel, et les résultats qu'a jusqu'ici fournis la représentation typique des formes n'ont d'ailleurs qu'une importance relativement faible.