VI. — Les collinéations sur le terrain ternaire

La théorie des formes binaires, telle que nous l'avons développée dans ce qui précède, tire son principal intérêt géométrique des applications qu'on peut en faire à la géométrie du plan ; en effet, nous exposerons ultérieurement un principe qui permet de déduire de toute proposition relative aux formes binaires une proposition semblable relative au domaine ternaire, c'est-à-dire à la géométrie du plan, principe dont l'extension à un plus grand nombre de variables ne souffre aucune difficulté. D'un autre côté, nous avons acquis dans l'étude des formes binaires certains points de vue dont la poursuite et le développement fournissent naturellement aussi des résultats importants en ce qui concerne la théorie des formes ternaires. Néanmoins, nous serons conduits parle principe connu de dualité à des idées essentiellement nouvelles en nous élevant aux fonctions homogènes de trois variables. Dans la géométrie des séries de points, le point (dans la géométrie des faisceaux de rayons, la droite) était le seul élément générateur; dans la géométrie du plan, au contraire, le point et la droite interviennent visà-vis l'un de l'autre comme jouant un rôle semblable ; nous avons d'après cela à considérer aussi bien les formes ternaires dont les variables sont des coordonnées points que celles dont les variables sont des coordonnées lignes, et c'est seulement en tenant compte simultanément des deux formations que l'on peut espérer d'arriver à traiter complètement la théorie des formes ternaires. Cette branche de l'Analyse a pour objet l'étude des propriétés d'une forme

3l3 TOME I. — CBAPITHE III.

ternaire, qui ne sont pas détruites par une transformation linéaire (à déterminant différent de zéro) ou, en exprimant la même chose géométriquement, l'étude des propriétés d'une courbe algébrique (ou d'un système de courbes de cette nature) qui sont indépendantes de la situation du triangle des coordonnées, soit que l'on considère les figures comme composées de points, soit qu'on les considère comme composées de droites.

Conformément à celte manière de concevoir la théorie des invariants, nous nous occuperons d'abord dans ce qui suit des transformations linéaires, et nous aurons surtout en vue l'explication claire et complète de leur signification géométrique.

En traitant des formes binaires, nous avons reconnu que la transformation linéaire, primitivement employée à représenter un changement des points de base, pouvait aussi être regardée comme l'expression la plus générale de la relation projective entre deux séries de points ou faisceaux de rayons. D'une manière analogue, la transformation linéaire sur le terrain ternaire se prête aussi à une double interprétation : elle peut d'une part, et jusqu'ici nous l'avons considérée ainsi exclusivement, être regardée comme une transformation de coordonnées; elle peut aussi, et cette considération correspond dans une plus forte mesure à la conception géométrique de la théorie des invariants, être regardée comme une relation entre les points de deux plans différents, que ces plans soient séparés ou réunis.

Imaginons d'abord que les deux plans soient réunis (infiniment voisins) et que leurs points soient rapportés au même triangle de coordonnées. Si l'on désigne les coordonnées des points de l'un des plans par la lettre x, celles de l'autre plan par la lettre y, les équations linéaires suivantes :

l pj, = a^^x^ -\- a^,x^ + «,3X3,

(l) j pj, = tf j, Xj -f- fl-jjXj -\- rtj5*3,

( OÙ a,f, n'est pas nécessairement égal à a/d) établissent entre les deux plans une affinité linéaire ou collinéation (*), de telle sorte

(') 1,08 collinéations ont d'abord été traitées par Môbics (Barycentrischer Calcul, Leipzig, 1817, p. a6() et suiv.), puis par Magms {Aufgahen und Lehrsätze aus der ana- Ijtisc/ien Geometrie. Berlin, i833). Foir aussi Cuaslks, Aperçu historique, note 4.

nTRODCCTIOü A LA TnÉORIE DCS FORMES ALGÉBRI0CE8. 3l3

qu'à chaque point j: de l'un des plans correspond un point^( point image de x) dans l'autre plan. Cette relation n'est pas en général immédiatement réciproque ; au point j^ ne correspond pas de nouveau le même point x, mais le point correspondant du premier plan se détermine par la résolution des équations (i), en supposant que leur déterminant ne soit pas nul, au moyen des formules

(TjTj = A„ j, -f- Aj, jï -+- A3, Ja, (rjr,= A,^, 4- Aijjî 4- Ajjjj,

(TX3= A13J, -h AjjJî H- A33J3,

les Ai/t désignant les déterminants binaires formés avec les a,* de la manière connue. Les formules sont donc les mêmes que celles de la transformation des coordonnées (p. 87) ; mais, tandis que là le même point était rapporté à deux systèmes de coordonnées, ici deux points différents sont rapportés au même système.

Si l'un de ces points parcourt une courbe f[xi, X2, X3) = o, son point image en parcourt une autre t (jTnjTsjjTs)» ^ étant formé dey au moyen des équations (2). Comme ces dernières sont linéaires, on a le théorème suivant :

yi une coiu'be algêbj'ique correspond toujours dans une affinité linéaire une autre courbe du même ordre.

Maintenant les deux courbes auront entre elles certaines propriétés communes qui ne sont pas troublées en général par les collinéations, et ces propriétés doivent être précisément les mêmes que celles précédemment caractérisées par leur indépendance du système de coordonnées, car la transformation des coordonnées et l'affinité linéaire sont deux manières différentes de considérer la même opération algébrique. Ces propriétés seront donc données par le mode d'existence des invariants appartenant à la forme ternairey(j:i, x^, x^) (') et nous nous trouvons avoir acquis pour ces derniers un nouveau et important point de vue dont la signification géométrique complète sera développée dans ce qui suit.

(') Des propriétés de cette espèce peuvent être révélées non par l'évanouissement d'invariants, mais par révanouissement identique de covariaiits, ce dont nous avons donné des exemples relativement aux formes binaires (p. 3oo). Nous étudierons ultérieurement ce sujet plus en détail (p. 33g et suiv.).

3l4 TOME I. — CHAPITRE III.

Considérons d'abord une ligne droite ayant pour coordonnées u

«, r, 4- «j .rj -+- «3 X3 = O ;

il lui correspond dans le plan image une droite parcourue par les points Y, dont les coordonnées v» sont données de même que dans la transformation des coordonnées par la substitution transposée de (i), c'est-à-dire par les équations

Ces équations ont la même forme que celles qui ont lieu pour les coordonnées points et de là résulte le théorème suivant, qui est au surplus une suite directe du principe général de dualité :

Deux courbes qui se correspondent par collinéation sont de la même classe.

Exprimons un point de la droite u par deux points fixes de celle-ci au moyen d'un paramètre X : nous avons, comme on sait,

(7 .r-i = Cil -\- ). hi ;

soient ensuite a, ß les points images correspondant aux points a, h ; la série de points parcourue par^ sur v sera donnée par

relation où

Ppi = «/l ^1 -4- "hJ^i -+- «/3^3.

Or, dans les deux équations entre le même paramètre X, et de là résulte que :

Si un point parcourt une série, le point correspondant décrit une série projective par rapport à la première, et une propriété analogue a lieu pour les faisceaux de rayons.

A ce théorème se rattache la réponse à une question qu'il est urgent pour nous de résoudre : comment construit-on le point image d'un point donné? Cette réponse est rendue possible par la détermination purement géométrique d'une collinéation, détermination énoncée dans le théorème suivant :

Si à quatre points, parmi lesquels il ne s'en trouve pas trois en ligne droite, on fait correspondre quatre points parmi lesquels il n'en existe pas non plus trois en ligne droite, l'affinité linéaire se

I^TRODCCTIOX A LA THÉOBIE DES FORMES ALCÉBBIQrES. 3lS

trouve par là complètement déterminée. En effet, si les équations

PJi = «/t -^i -+- Ö/1 -Tî -+- a/3 Xj

doivent avoir Heu pour les quatre points a:**, x^, x", x"' et pour les quatre correspondants j°, i', j", j'", on peut déterminer sans ambiguïté les coeflîcients aïk ; car on a pour ces coeHicients douze équations linéaires entre treize inconnues entrant d'une manière homogène (les neuf grandeurs aïk et les quatre facteurs de proportionnalité p», j6', p", c'"). En effet, au moyen de trois des quatre équations

p(*)j^*) = a,,;r'f) + a,,4*>-ha,,x'A', (Ä= 1,2, 3,4),

nous calculerons les coeflîcients a/,, a/o, a/3. D'un autre côté, on peut éliminer ces derniers entre les quatre équations précitées et l'on obtient par là respectivement

o = o».>^ X» — o'y'i X' -\- o"j] X" — r/'y'JX'".

Ici les quantités X^^' désignent les quatre déterminants composés avec les x : par exemple, on a

Ces déterminants ne sont pas nuls, parce que nous avons supposé que, parmi les quatre points, il ne s'en trouve pas trois en ligne droite. Au moyen des trois équations ainsi obtenues pour les facteurs p (t = I, 2, 3), nous trouvons pour les rapports de ces quantités les expressions suivantes :

où les Y sont des déterminants composés avec les j^ de telle sorte qu'on ait, par exemple,

/l fî /s

y' A ri

et où m désigne un facteur qui reste indéterminé . Les rapports des p seront donc calculés au moyen des équations (6) et ensuite

3l6 TOME I. — CHAWTRE in.

ceux des aih au moyen des équations (5), et notre théorème se trouve ainsi démontré (*).

Actuellement, dans l'hypothèse où l'on donne quatre points de l'un des plans correspondant à quatre points de l'autre, on construira le point j^f'"', qui correspond à un cinquième point quelconque j:" de la manière suivante. D'après un théorème récemment démontré, le faisceau des quatre rayons allant de x" à a/, a/', x"'f x'" est projectif par rapport au faisceau dirigé de jo sur j/, y") y"'i 7" et le faisceau des rayons allant de a/ à or", x", x^", x^^ est projectif par rapport à celui des rayons qui vont de }' à j^, y", y, J^''- On peut donc, d'après des propositions connues, construire les rayons j^'j^"' ei j' j'", de sorte que j" se trouve connu, comme étant leur intersection. Cette construction, ainsi que le calcul correspondant, peut toujours être effectuée, à moins que trois des points x ou trois des points j ne soient en ligne droite.

Dans ce qui suit nous nous occuperons en détail d'un cas particulièrement remarquable de la collinéation, appelé perspective centrale. Ce qui en fait l'importance, c'est que, comme nous le verrons, on peut imaginer que toute collinéation en dérive géométriquement, et cela de la même manière que la relation générale entre deux séries projectives se déduit de la relation qui existe entre deux séries placées perspectivement. Les équations linéaires (i) ou (2) se rapportent à un triangle de

(') La détermination d'une collinéation par quatre points et parleurs quatre correspondants peut être aussi envisagée de la manière suivante : A la ligne qui joint deux points de E, correspond, dans chaque cas, la ligne qui joint les points correspondants de E„ et au point d'intersection de deux droites de E, le point d'intersection des droites correspondantes de E,. Joignons entre eux les quatre points donnes «ur E, ; les six lignes de jonction déterminent trois nouveaux points, dont les correspondants sur E, sont donnés immédiatement par la construction analogue. Prolongeons maintenant les lignes de jonction respectives des trois nouveaux points sur E, jusqu'à leur rencontre avec les six lif^nes do jonction des quatre points originairement donnés; et, continuant cette «iiisii u. tic n. luuis ohiiciidrons toujours de nouveaux points de E, dont les corresponchmis mii' 1'., sont imiuciliatement donné«. Finalement, le plan entier sera couvert pai un nscau de dr.iics. aussi nombreuses que l'nii vdiidi-a, cl l'on <I(iii()iiti(> (|iic, par le i cssci iiiucril coutinu des mailles de co réseau, on pcul aniviT iiiliiiiiuiiit |uis diiii point <|ii(1c(Miiiui' deE,. Si l'on imagine que le roseau corresiionilant soit .11 m. me Irnips construit sur E,, la corrélation respective des points individnels dis d, u\ |.l.nis < si établie par ces deux réseaux, et, en eonséqiience, la <-<illln<':iti<»t est coinpléu-inent déterminée {voir, sur co sn jit, MÔBICS loc. cit., p. 373).

»TBODCCTIOn * LA TirttMIB DES FOSIfES khCÈBtUQfXS. 3i^

coordonnées quelconque; leurs coefficients prennent d'autres valeurs si ce triangle vient à changer. Si, par exemple, nous partons d'un système de coordonnées rectangulaires, elles prennent la forme (nous conservons les mêmes coefficients pour plus de simplicité)

p X = rt„ X -f- a„7- -+- rt,j,

p Y = «,, X -h «„ j -4- r/jj,

^ «3jr -^ «J3»

ou

«»i-c-H«3î^-t-«jj

«Jt ^ -»- «31 J -^ «33

et inversement

A„X-f-A,,Y-+-A3, ■^•"AjjX-h-AjjY-hAjj'

A,, X + A, s Y -f- Aj,

Au Xi- A,j Y -+- A33

L'équation

est celle d'une ligne droite dont les points correspondent aux points de l'image (X = 00 , Y = 00 ), lesquels sont à distance infinie, et de même les points de la droite

A,jX-hA,jY4-A33 = o

sont les images des points du premier plan qui sont à distance infinie (j:= 00 , j'= 00 ). En effet, nous pouvons admettre que tous les points du plan infiniment éloignés sont situés sur une ligne droite (p. 86) ; or une ligne droite ne peut se transformer par collinéation qu'en une ligne droite.

Les deux lignes droites que nous venons de mentionner sont désignées sous le nom de lignes de Juile ; la perspective centrale peut être caractérisée par la situation spéciale qu'elles occupent l'une relativement à l'autre. Nous imaginerons que l'un des deux plans infiniment rapprochés (E et E') tourne, par rapport à l'autre, sans s'en éloigner, de manière que les deux lignes de fuite deviennent parallèles. Alors l'intersection P à distance infinie des deux lignes de fuite f et J' se correspond à elle-même, car, en tant qu'elle est située sur f, il lui correspond nécessairement un point infiniment éloigné sur le plan E', et, en tant qu'elle est située surf, un point infiniment éloigné sur le plan E; or ceci ne peut avoir lieu à la fois que si le point d'intersection coïncide

CHAPITBE III.

avec celui qui lui correspond. A un autre point quelconque A def correspond, au contraire, sur E', un point infiniment éloigné qui est donné par la direction a conduisant de A vers ce point {Jig. 33);

ya

à ce point infiniment éloigné, considéré comme point de E, correspond de nouveau un point A', situé sur f, et tel que sa ligne de jonction avec le premier point à l'infini soit parallèle à a. Si nous partons de même d'un point B sur y, nous serons, d'une manière identique, conduits sur f à un point B', tel que deux parallèles b et b'f partant respectivement de B et B', déterminent le point infiniment éloigné, qui présente, en ce qui concerne B et B', la relation énoncée. Au i loyen d'un déplacement parallèle des deux plans l'un par rapport à l'autre, nous pouvons, en particulier (•), disposer les choses de telle façon que a eX, al,b et b' coïncident respectivement et déterminent, par leur intersection O, un point qui se trouve ainsi signalé à l'attention; de plus, cette coïncidence peut avoir lieu de deux manières, parce qu'il est toujours possible de faire tourner l'un des plans de 180 degrés sans modifier le résultat. Les lignes de fuite restent parallèles l'une à l'autre dans le déplacement et n'éprouvent de changement que dans leur distance respective.

(*) Les déTeloppemenU analytiques qui suivent prouTcnt également que cela est toujours possible.

ürnoDCCTiox a la théobie des fobmes alcébrioies. 3 tg^

La relation dans laquelle les plans viennent d'être mis est ce qu'on appelle la situation perspective des systèmes plans; le point O se nomme le centre de perspective ou de collinéation. Ce point est caractérisé par le fait que non-seulement les rayons a, b coïncident avec leurs rayons correspondants a', b'j mais encore que tout rayon qui y passe se correspond à lui-même. Cela résulte immédiatement de ce que, même en dehors des rayons a, b, la ligne qui joint le point O au point de la ligne de fuite infiniment éloigné P coïncide avec le rayon qui lui correspond, et que, par suite, les deux faisceaux des plans E et E' qui passent par O et qui sont projectifs l'un par rapport à l'autre doivent entièrement se confondre (p. 6^).

Dans cette situation perspective, nous pouvons construire trèssimplement le point A' qui, sur E', correspond à un point A de E. Ein effet, le point cherché doit d'abord être situé sur la ligne AO, puisque cette dernière se confond avec A'O. Deux séries de points projectives et en situation perspective sont alors déterminées sur ce rayon. L'un de leurs points doubles tombe au centre de collinéation O (fig- 34) ; d'ailleurs, au point à distance infinie de l'une

des séries correspond le point'd'intersection F' de AO avec y, et au point d'intersection F de AO avecyie point à distance inCnie, en tant qu'il appartient à l'autre série : la projectivilé est fixée par cette corrélation. La distance du second point double O' au point d'intersection F' avec la ligne de fuite est la même que celle de O

3aO TOME I. CHAPITRE III.

à F; en effet, le rapport anharmonique que ce point forme avec les trois points mentionnés de l'une des séries est égal au rapport anharmonique qu'il forme avec les trois correspondants de l'autre série, c'est-à-dire égal à

n désignant la distance FF, m la distance FO = O'F'.

Le point O' se correspond donc à lui-même, et il en est ainsi de tout point de la parallèle menée par O' aux lignes de fuite. Cette parallèle (c dans la ßg. 34) est appelée axe de collinéation. Nous avons alors les théorèmes suivants :

Lorsque deux systèmes, qui sont en afßnite collinéaire, sont placés perspectivenient.

Tout rayon passant par le centre de collinéation se correspond à luimême.

Tout point situé sur l'axe de collinéation se correspond à luimême.

Les points du plan subissent donc, dans ce cas, par l'cjfet de la transformation, un déplacement le long du rayon qui passe par O, et les lignes du plan une rotation autour de leurs points d'intersection avec l'axe de collinéation. Avec le secours de ces théorèmes, nous pouvons maintenant effectuer la construction du point A', homologue du point A, même sans faire usage des lignes de fuite, en supposant donnés le centre (O) et l'axe de collinéation (c), ainsi que deux points correspondants (B, B') (dont la ligne de jonction passe par O), ou deux droites correspondantes dont le point d'intersection est situé sur l'axe. En effet, les lignes qui joignent B et A, B' et A' doivent aussi, comme lignes correspondantes, se couper sur l'axe (* ). Si donc nous joignons à B' le point d'intersection S de la ligne AB et de l'axe, celte ligne de jonction sera coupée par le rayon OA au point cherché A'.

La relation perspective considérée ici donne une idée claire des

C) Dans la fig. 3.} on a choisi pour B un point sur/, et, par suite, pour B' le point de OB à distance infinie.

i:<TKODCCTIOM A LA TOÉOIIE DES F0H1IE8 ALCÉBKIQCES. 031

modifications produites en général dans une figure plane par une transformation linéaire. En effet, de même que dans les séries de points et dans les faisceaux projectifs de rayons, on a le théorème suivant :

Deitx systèmes collinéaires peuvent toujours être, par un changement convenable de position , amenés à être perspectifs.

En premier lieu, il est visible que la relation projective peut être établie par la construction non plane qui suit, et au moyen de laquelle nous serons immédiatement ramenés à la situation perspective. Nous rapporterons l'un à l'autre deux plans faisant un angle dans l'espace en les considérant d'un point extérieur, c'est-àdire que nous regarderons comme correspondants deux points dont la ligne de jonction passe par un point (Ol de l'espace, déterminé, mais choisi d'ailleurs arbitrairement. Em effet, les séries et les faisceaux qui se correspondent dans les deux plans sont alors projectifs. On le reconnaît immédiatement en faisant passer par le point O un plan quelconque : ce plan cdupe les plans donnés suivant deux lignes qui ont immédiatement entre elles la relation perspective.

Amenons maintenant, successivement, les deux plans à se confondre en faisant tourner l'un autour de sa ligne d'intersection avec l'autre; cette dernière droite devient l'axe de collinéation, et le point O se trouve sur l'un des plans qui, maintenant, compte double; on aura ainsi le centre de collinéation. Les deux systèmes plans se trouvent, par conséquent, placés perspectivement. Le théorème énoncé plus haut sera donc démontré, lorsque nous aurons fait voir que l'affinité collinéaire la plus générale peut être obtenue par la construction dans l'espace que nous avons indiquée. Ce dernier point se prouve de la manière suivante. Nous pouvons toujours, dans chacun des deux plans E, E', avoir deux séries de points correspondantes, qui soient conformes l'une à l'autre. Supposons, en effet, les équations de transformation sous la forme

[ ^ ff,i-r-t-ffn.v-hff,3 A \ a^iX-^ a^^r -i- a^^ C

j ^ «il -r -+- «îî r -•- «j j B

pour tout couple de points de l'une des séries dont nous parlons,

Clcmcu. — Géométrie, I. 21

et pour le couple correspondant de l'autre série, l'équalion

doit nécessairement avoir lieu. Si nous prenons maintenant les points x,j et J^ ,y' sur une droite parallèle à la droite C = o (l'une des lignes de fuite), c'est-à-dire si nous posons

nous obtenons la relation

= [aii[x' — .r) -f- *,2(j' — j)r + [«2i(^'— -r) + ö«(/ — j)]*, qui est évidemment satisfaite pour

j:' — x=rcosa, j> ' — j-=rsina, si nous prenons

k^z= («jiCOSK 4- <?,2 sinaj'-f- («j, cosk + «jj sina)*;

et cela indépendamment de la valeur de r. Il existe donc, dans chacun des deux plans , deux droites placées parallèlement et symétriquement par rapport à la ligne de fuite, et dont les séries ponctuelles sont conformes à celles de la droite correspondante. Maintenant, dans la construction précédente, les plans sont placés l'un par rapport à l'autre, de telle manière que les deux séries conformes se confondent avec la ligne d'intersection des plans, et que leurs points correspondants se recouvrent. Pour fixer l'affinité des deux systèmes ponctuels plans par la corrélation de quatre points, nous pouvons donc, sans nuire à la généralité , prendre deux couples de points coïncidents sur la ligne d'intersection des plans E et E', les deux autres étant choisis arbitrairement, mais dans un troisième plan ('). Les lignes qui joignent les points correspondants de ces derniers couples déterminent alors le point fixe O, et le fait que tout rayon partant de ce point traverse les plans

(') Cela est nécessaire, parce que la ligne qui joint les points du couple de E coupe la ligne d'intersection de E et do E' en un point qui coïncide arec son correspon ■ dant, et qui peut, en conséquence, être obtenu de même par la ligne de jonctioo du couple de £'.

I5TR0DCCTI0N A LA THÉOUE DES FORMES ALUEBKIQCES. 3a3

E, E' en des points correspondants se reconnaît facilement, par suite de l'égalité des rapports anharmoniques qui se rencontrent dans la figure ainsi construite. Si, en particulier, on mène par O un plan parallèle à l'un des plans, ce plan coupera l'autre suivant sa ligne de fuite. On reconnaît par là que, lors du rapprochement graduel des deux plans, le centre de coUinéation O tombe en un point qui est à une distance de l'une des lignes de fuite égale à la distance de l'axe de collinéation, c'est-à-dire de la ligne d'intersection des deux plans, à l'autre ligne de fuite. Cette longueur [m) et la distance respective des deux lignes de fuite («) sont donc, à l'égard de la position perspective, spécialement caractéristiques; elles la déterminent avec précision et d'une manière complète. En effet, les coefficients de nos équations de transformation (7) peuvent s'exprimer au moyen de ces grandeurs /n, w ; il suffit, pour le reconnaître, de fixer convenablement le système des coordonnées. Faisons coïncider l'origine avec le centre de collinéation, et prenons l'axe Y parallèle aux lignes de fuite. L'équation de l'une des lignes de fuite G = o devient alors

D'ailleurs, le point {pc, y) et le point (X, Y) sont nécessairement situés sur une droite passant par l'origine; nous avons, par suite,

et les équations de transformation prennent, en conséquence, la forme

X — ni — n

Pour X = 00 , Y = ^ - on doit obtenir l'équation de l'autre ligne de fuite, c'est-à-dire que X doit devenir égal à — /n. Il faudra donc

poser

pz=z — m.

Si nous introduisons encore une nouvelle constante a = m-hn, la collinéation dans le cas de position perspective sera repré-

3a4 TOME I. — CHAPITRE III.

sentée de la manière la plus générale par les équations

Les équations qui expriment une affinité linéaire doivent pouvoir, d'après ce qui précède, se ramènera cette forme, par Tintroduclion de nouvelles coordonnées rectangulaires, c'est-à-dire par rotation et par translation. Pour effectuer les transformations dont il s'agit, partons des équations (7). Nous déplacerons le plan des X, Y en attribuant au système de coordonnées précédemment réuni à celui de l'autre plan les translations p, q et la rotation cp. Le point correspondant k x,j (qui était précédemment X, Y) a alors pour coordonnées X', Y', et l'on a

X' = /> H- X cos'f — Y sin sp, Y' =; 7 H- X sin f + Y cos».

11 s'agit maintenant de déterminer p, q, ^ de telle sorte que la condition de la coïncidence d'un point (X', Y') avec un point {x,y), conduise à une équation linéaire en j:,^', laquelle représente alors l'axe de collinéation. Si donc on porte dans les dernières équations les valeurs de X, Y tirées de (7), les équations obtenues pour X'= Xf Y' := y, à savoir (r étant facteur de proportionnalité) :

r[j: — p) = [a^ix •+- «1,7+ ^,3) cosy— 'a^x -h ««j -f- r/^j) sin y, "^[y— ?)— ('^li-^-t-^iîJH-^'n) sin(j!-f- («■,,. r +v/„j -+- «jj) cos y,

T = (l3i.V H-rt-saJ-f- «33,

doivent se réduire à l'équation unique

Nous avons donc d'abord

T se déterminant au moyen des deux premières équations par comparaison des coefficients. On trouve

«7n cosy — On siny — 7 /?,, /i,, sin^) + /z,| cosf a^i

INTKODl'CTION A LA THÉORIE DES FORMES ALCÉBRIOCES. 3a5

OU, si l'on introduit les déterminants mineurs.

IAi, sm y -f- A,5 cosy = — Ta,,, — A,j cosy + A,j sin y = t«,,.

On a donc, pour la valeur de t,

les grandeurs;?, q, <p s'obtiennent alors linéairement; il existe donc deux manières d'arriver à la position perspective, ainsi que nous l'avons déjà reconnu par des considérations purement géométriques (p. 3i8).

Vient ensuite la question de savoir quels sont, dans la collinéation générale, les points qui coïncident avec les points correspondants. Nous trouverons leurs coordonnées au moyen des équations

p },= rt„ X, -f- ff/jU-, -T- <7,3 X..,

en posant 77 = xi. On obtient ainsi

( ("il — PJ-^i+ «u-'ä-^- «13-^3 =o,

(8) ' "jt *I -+- (^'îî PJ-^i-^- «43-^3 =0,

' Ö3lJ"l-+- «3Î-Ï"i -♦- («33— P)-*"3=0»

él l'élimination des or donne pour p l'équation du troisième degré

«11 — ? «lî «13

(9) A(P)= "il f'il—? "î3

Il existe donc, en général, trois points qui coïncident avec leurs points correspondants. Il doit de même y avoir trois droites qui se correspondent à elles-menies ; ce sont évidemment les lignes de jonction des trois points, parce que les lignes qui joignent des points correspondants sont aussi des droites correspondantes. Le triangle ainsi déterminé constitue, pour la transformation, un système de coordonnées d'une simplicité remarquable. Comme, en prenant ce triangle pour base, à la ligne Xi= o correspond la ligne ^,= 0, les équations (i) prennent nécessairement alors la

forme simplifiée

(lo) ' p.rj = «j.«-2.

On peut imaginer que ces équations ont été obtenues au moyen des équations (i) en multipliant ces dernières par u,, Ml, «3 et ajoutant, ce qui donne

(il) p ( Wi Ji -f- «2 J2 + «3 J3 ) = ~2 «a- "i ^Uy

puis en déterminant les quantités u de telle sorte que l'expression linéaire qui figure dans le premier membre soit proportionnelle à celle du second, d'où

Les grandeurs u^ sont alors les coordonnées d'une droite qui se correspond à elle-même, et l'élimination de ces quantités entre les dernières équations conduitpoura à l'équation cubique (9). L'équation (11) sil'on fait, comme précédemment, Mx="«^j+«jX2-f-«,iJ?3> se transforme en

c'est-à-dire en l'une des équations (10). On voit donc que a,, «a, «3 sont les racines de V équation cubique précilée.

Les trois points remarquables ainsi fixés sont en général diflerenls les uns des autres ( ' ), et ce n'est qu'à cette condition que l'on peut parler d'un triangle formé par eux. Si deux des points sont infiniment rapprochés ou, ce qui revient au même, si l'équation (9) a deux racines égales, il n'y a plus de triangle proprement dit, et l'on ne peut plus représenter la transformation' sous la forme (10). Au contraire, cette représentation est possible s'il existe un nombre infini de points qui coïncident avec leurs points correspondants, ainsi que c'était le cas pour la position perspective; le fait se pré-

(') Deux do CCS points peuvent aussi devenir imaginaires. Cela arrive, par exemple, dans la transformation qui représente la rotation d'un plan sur lui-même uiitour il nii de ses points. Dans ce cas, doux des points remarquables se confondent avoc les deux points circulaires imaginaires; le troisième est le centre de rotation. Deux des droites remarquables sont imaginaires; la troisième se confond avoc la droite de l'inOni.

ütTRODCCTIOX A LA TDEORIE DES FMMES ALCÉBUOCES 3)7

sente lorsque tous les déterminants mineurs A/* du déterminant (9) sont nuls ; car les coordonnées des trois points satisfont, d'après (8), aux relations

•*"! • -^'î ' -^"a ^^^ -^it • -^12 • "^U

= Aj, : Aj2 : Ajj

un point semblable est donc effectivement indéterminé si, pour une racine de (9), tous les A/* deviennent nuls. Mais cette racine est alors une racine double de l'équation A(p) = o, car on a aussi

Désignons cette racine double par a ; dans la position perspective, en supposant que A (p) ^ o n'ait pas une racine triple ( ' ), les équations (8) ne peuvent différer que par un facteur constant; autrement dit, nous pouvons exprimer les neuj coefficients anf de la transjormation au moyen de six grandeurs ainsi qu'il suit :

«'11 = «ii3i -h T, aii = UiSi, «3, = a,;S3,

«IJ^^îp!» «îi = aj Sj -f- <7, «35 =:Kj^S3,

«I3^«3pl, «Î3 = K3.S!, «33 = «3 .^3 + 'y-

Parla nos équations (i) prennent la forme plus simple

(12) ofi — TXi -h 3,- (a, j:, H- a^Xj + «3^3).

et l'équation cubique devient

o =: i a,|3, «, 3j — (p — 1) ajSj

I «1^3 «i.Sj «spa — (p — 0-]

— 0 — 3-)* [a— 7— S,«, — SjK, — Ôjaj).

Nous obtenons donc effectivement la racine double p = o" et la

racine simple

0 = T -i- a, S, H- «,3^ -r- Vi%.

La racine double, si l'on fait dans (12) xi =jii donne V équation

( ' ) Une étude complète de tous les cas qui peuvent se présenter ici se trouTe dans la dernière partie de «es Leçons.

(le l'axe de collinéation

la racine simple les coordonnées du centre de collinéation

.r, : .r.. : .r, = ^-s, : p, : ^Sj.

L'équation de ce point s'obtient, comme celle de l'axe, par l'éqiialion (12), si nous établissons les équations de collinéation pour les coordonnées lignes ; car celles-ci deviennent

De (12) résulte d'ailleurs, par élimination de p, q et «^r,

et de même de (i3), par élimination de p, a et v^,

Jl

.rj

//, tl, H3

ce qui donne de nouveau les théorèmes déjà démontrés auparavant, à savoir que les lignes de jonction des points correspondants passent par le centre de collinéation et que les droites correspondantes se coupent sur l'axe de collinéation.

Si maintenant nous plaçons deux sommets du système de coordonnées sur l'axe, et le troisième au centre de collinéation, nous obtenons la transformation sous la forme canonique

pj, = T.r,, PJ2 = T.rj, px3 = T-rj,

qui ne se distingue de la forme précédente (p. 3a4) qu'en ce que dans celle-ci la droite de l'infini était employée comme troisième coté du triangle des coordonnées au lieu de l'axe de collinéation. Nous reviendrons plus tard, et à un autre point de vue, sur les particularités qui peuvent se présenter dans la transformation linéaire. Nous mentionnerons seulement ici en quelques mots les affinités ou transforrnatiom dualistiques , dont la réciprocité polaire, ayant pour base une conique, nous a appris à connaître

ÜITRODCCTIOX A L.V TUËOaiE DES FORMES ALCÉBaïQl'ES. 33<)

un cas particulier. Une transformation semblable est déHnie par rinlermédiaire des équations

ou, après résolution,

T.r, = A,/«, -+- Aj/«j -f- Aj, Wj ;

elle fait donc correspondre à chaque point une droite, à chaque droite un point, et peut par suite être considérée comme une expression générale du principe de dualité. On doit surtout remarquer les deux coniques

11 a a r-j-i. = o et 11 A//,, u, «^ = o ,

dont Viiiie est le lieu des points situés sur les droites qui leur correspondent, l'autre est comme enveloppée par ces droites. Les deux courbes sont identiques pour «//, = a^ö et alors SS A/;t m, ma est l'expression en coordonnées lignes de SSrt/ÄJ^/-2^Ä = o. Dans ce cas V affinité dualistique se transforme en réciprocité polaire relativement à la conique SS aïkXiXk = o.

L'affinité dualistique, et spécialement la réciprocité polaire, mérite surtout d'attirer l'attention, parce que c'est par son intermédiaire qu'a été découverte la loi générale de la Géométrie qui est appelée aujourd'hui principe de dualité, et qui trouve son expression fondamentale dans l'emploi des coordonnées lignes. A une courbe du «•*■"« ordre correspond par transformation polaire une courbe de «"^"^ classe K„, qui est appelée X^polaire réciproque àe, G,,.

Cette courbe possède naturellement, si on la considère comme lieu de points, toutes les propriétés (interverties seulement dans le sens dualistique ) qui appartiennent à la courbe G« considérée comme enveloppe de ses tangentes. L'étude de G« comme figure tangentielle revient, par suite, à l'étude de sa polaire réciproque comme figure ponctuelle; par exemple, on trouvera la classe de G« en déterminant l'ordre de K„, etc. Nous aurons donc traité implicitement ce qu'on appelle la théorie des polaires réciproques ( ' ) lorsque, dans la suite, nous aurons étudié une courbe sous les deux points de vue auxquels se réfère le principe de dualité.

(') Voir, par exemple, Salxox, A Treatise on the higher plane Curves, a* éd., Sect. V; ou Herxite, Co(//-f(/'.i^na(^-j«. Paris, 1873, p. 383.