CHAPITRE I

trie. En introduisant ce qu'on a appelé les coordonnées (^ ), il créa un instrument au moyen duquel, ainsi qu'il s'exprimait lui-même, on avait la possibilité de résoudre tous les problèmes de Géométrie, c'est-à-dire de trouver d'après des règles fixes une formule qui répondît à chacun d'eux. Et encore aujourd'hui, cette énonciation définit exactement le caractère de la Géométrie analytique, principalement par opposition aux méthodes de la Géométrie .y nihclique moderne, que nous effleurerons plus tard.

Le principe fondamental de la Géométrie analytique consiste donc, d'après ce qui vient d'être dit, dans l'invention d'un moyen qui nous met en état de caractériser chaque point du plan par des nombres, et ce problème se résout d'une manière simple par des procédés analogues à ceux de la Trigonométrie. En Trigonométrie, nous définissons chaque point d'un cercle décrit avec l'unité pour rayon par deux segments, le sinus et le cosinus, qui doivent constamment satisfaire à la condition que la somme de leurs carrés soit égale à l'unité. Laissant de coté cette équation de condition, nous pouvons caractériser chaque point du plan par deux segments : sa distance à une droite fixe, distance que nous appellerons Vordonnée du point, et la portion comprise entre un point déterminé de la droite fixe et le pied de l'ordonnée, portion que nous désignerons sous le nom ai* abscisse. Si maintenant on suppose de nouveau, à l'égard de ces deux grandeurs, qu'elles réalisent la condition d'avoir la somme de leurs carrés égale à l'unité, on obtiendra tous les points d'un cercle décrit avec le rayon i autour du point considéré. Conformément à la symétrie que présentent aux yeux l'ordonnée et l'abscisse, on prit plus tard deux droites se coupant perpendiculairement en un point arbitraire du plan regardé comme origine : ce furent les axes de coordonnées, et l'on caractérisa »n point par ses distances aux deux axes choisis, distances que l'on appela ses coordonnées. Par suite de ces conventions, à chaque point du plan appartiennent deux coordonnées déterminées; mais à l'inverse un point n'est pas déterminé sans ambiguïté si l'on donne ses deux coordonnées, car il existe quatre points qui ont pour coordonnées les mômes grandeurs, conformément à la division

(') L'ouvrage de Dcscartks, où sont posés les principes, parut en 1637, sons le titre do Géométrie.

COXSIDÉRATIOMS PRÉLIlli:«AIRE$.

StMES DE POIXTS ET FAISCEACX DE RAYO:«S.

du plan en quatre quadrants par les axes. Il doit y avoir un moyen de séparer ces quatre points, et l'on y parvient encore comme dans la Trigonométrie, en faisant précéder les segments de signes diflférents. On distingue les deuK parties de chacun des axes des coordonnées qui s'étendent de chaque côté de l'origine en partie positive et partie négative, et Ton regarde chacune des coordonnées comme positive ou négative suivant que la projection correspondante se trouve du côté de la partie positive ou de la partie négative de l'axe parallèle. Les deux axes se distinguent en axe X et axe Y ; les perpendiculaires abaissées sur les axes à partir du point à déterminer sont appelées respectivement la coordonnée X et la coordonnée Y, et on les désigne généralement par xetr (ßg- i)- Le système de coordonnées ainsi établi, dans lequel chaque couple de coordonnées définit, en tenant compte des

Fig. I.

-t-yi

signes, un point unique du plan, est encore à l'époque contemporaine employé exclusivement dans les branches appliquées des Mathématiques, et spécialement en Mécanique; pour nos spéculations purement géométriques, au contraire, nous nous servirons d'un système de coordonnées plus général. Il n'est d'ailleurs pas difficile d'établir une série illimitée de systèmes différents : il s'agit seulement de choisir le plus convenable de ces systèmes pour chaque problème qui se présente.

A la détermination par coordonnées exposée ici s'en rattache immédiatement une autre dans laquelle un point est défini non par les deux grandeurs x et y, mais par sa distance r à un point fixe pris pour origine, et par l'angle a compris entre la droite sur laquelle est comptée cette dislance et entre une droite fixe passait

ff TOME I. — CHAPITRE I.

par l'origine. On doit alors prendre /• avec un signe déterminé et faire varier a entre zéro et 3()o**, si l'on veut qu'à chaque point appartienne un couple unique de coordonnées. Le passage de ce système, appelé système de coordonnées polaires, à notre système rectangulaire se fait d'une manière simple; car on a, pour la distance d\in point X, j à V origine.

et Yangle «, compté à partir de l'axe X, est déterminé par les équations

(2J reosa == X, rsinK=:j, tanga=— •

Ces relations nous apprennent à exprimer les coordonnées x, j, par les coordonnées polaires /•, a, et réciproquement.

Quelque système de coordonnées que l'on puisse du reste choisir, rfeMj: grandeurs sont toujours nécessaires pour déterminer un point unique. Si une seule de ces grandeurs est donnée, c'est-à-dire si l'on n'impose à un point qu'une seule condition, il existe un nombre infini de points qui satisfont tous à cette condition, et qui dans leur ensemble représentent un lieu géométrique, une courbe. Prenons, par exemple, la direction a comme fixe, et laissons la distance /• indéterminée; le point dont les coordonnées satisfont à la dernière des équations (2) décrit une droite qui passe par l'origine. Supposons, au contraire, que la distance r soit fixe, et laissons a indéterminé; l'équation (i) représente un cercle dont le centre est situé à l'origine et dont le rayon est égal à /• : c'est Véquation de ce cercle, tout comme l'équation (a) est Yéquation d'une ligne droite passant par l'origine. De môme, les é([uations

dans lesquelles y, puis x, restent successivement indéterminés, représentent respectivement Jl'axe Y et l'axe X, tandis que

est l'équation d'une parallèle menée à l'axe Y à une distance a de cet axe.

L'idée de lieu géométrique, dont les exemples précédents donnent un premier aperçu, est fondamentale en Géométrie ana--

C0!(SID£R.VTI0<(S PnÉUMIuAIRES. — SÉRIES DE POIXTS ET PAISCEACX DE RATOXS. 5

l^lique, et nous pouvons dire que l'étude des lieux géométriques, c'est-à-dire, en ce qui concerne le plan, l'étude des courbes et de leurs propriétés, est l'objet propre de cette branche de la Science. En effet, une courbe est formée de tous les points satisfaisant à une condition unique que nous supposerons donnée par une relation entre leurs coordonnées. La notion fondamentale du lieu géométrique se confond d'après cela avec l'idée d'une équation entre les coordonnées x, y, en d'autres termes, une équation

représente une ligne dans le plan, et la classification des courbes revient à celle des équations. La Géométrie plane actuelle se restreint d'ailleurs essentiellement à l'élude des courbes algébriques, c'est-à-dire de celles dans les équations desquelles ne figurent que des puissances entières et positives de x et àej. Quelque intéressantes que soient certaines courbes transcendantes par leurs propriétés, quelque importantes qu'elles puissent paraître pour certaines applications, la vraie nature des fonctions transcendantes nous est encore trop cachée pour que nous puissions traiter dans leur composition intime les courbes qu'elles représentent; au contraire, des progrès essentiels ont été faits dans la connaissance des fonctions algébriques, spécialement à la suite de recherches modernes, de sorte que là un terrain étendu, mais pénétrable aux principes généraux, est ouvert aux spéculations purement géométriques.

On divise d'abord les courbes algébriques d'après leur ordre, c'est-à-dire d'après le plus grand nombre des facteurs x o\xj qui figurent multipliés les uns par les autres dans l'équation de la courbe (la dimension la plus élevée de cette équation). Pour calculer ce nombre, nous devons préalablement disposer l'équation au moyen d'une multiplication convenable, de manière que son premier membre devienne une fonction rationnelle entière de x et de y. Ainsi, par exemple, le cercle est, d'après (i), une courbe du second ordre, la ligne droite est, d'après (2), une courbe du premier ordre. Les courbes du premier et du second ordre doivent d'abord faire l'objet principal de notre examen; mais nous n'entrerons cependant plus en détail dans leur théorie qu'après nous être dans ce qui suit familiarisés par quelques problèmes prépara-