TOME I

CDAPITRE I.

loires avec les aspects divers qu'elles peuvent présenter. Nous reviendrons plus tard sur le sujet, en nous plaçant à un point de vue plus général et fort différent.

1. Étant donnés deux points [i et 2), on demande de déterminer leur distance r et la direction de la ligne qui les joint.

Nous distinguerons les coordonnées des deux points par l'addition d'indices. Soient donc x^,J^ el x^, ji ces coordonnées; la solution résulte immédiatement de ^^ßg- 2 ; on a

r = )/{xi — X, )* -h [yt — ji )*,

et l'on reconnaît facilement que cette formule reste invariable, même lorsque les deux points ne sont pas situés, comme sur le dessin, dans le quadrant positif des coordonnées.

La direction du segment i — 2 (*), c'est-à-dire l'angle formé

par ce segment avec l'axe X [ßg- 2), est déterminé par les relations

Xj — Xj = rcnsf,

.Jï- 71='- sin y;

d'où

tun;

Si l'on donne non le point a lui-même, mais sa distance au point I, nous n'avons plus qu'une seule condition pour le point 2; ce point décrit par suite un lieu géométrique, à savoir le cercle tracé autour de i avec le rayon /*. L'équation de ce cercle est donc, en

(') Nous distinguons lo segment 1 — a du segmcut a — i, d'après le sens dans lequel nous les supposons parcourus.

C0!(SIDÉIUTI058 PRÉUMIXAIRES. — SÉRIES DE POIÜTS ET FAISCEAUX DE RATONS. 7

écrivant sans indices les coordonnées du point mobile,

Soit donnée en second lieu la direction de la ligne i — 2, mais non la distance /•; si i est supposé fixe, le point 2 doit toujours rester sur une droite déterminée passant par i, et inclinée de l'angle cp sur l'axe X ; donc

[j^ — Xi] cosy — (x — X, ) siny =x o sera Véquation de cette droite.

2. Etant donnés deux points ( i et 2), déterminer le lieu géométrique d'un point tel que la somme de ses distances aux deux premiers soit constante.

Pour la solution de ce problème, nous ferons usage d'un moyen auxiliaire spécial que nous fournit la Géométrie analytique, relativement au choix du système des coordonnées, moyen dont l'application judicieuse simplifie assez souvent, d'une manière importante, la solution des questions posées. Prenons la ligne qui joint les deux points donnés pour axe X, et, par raison de symétrie, faisons passer l'axe Y par le milieu de cette ligne. Soient e la distance de chacun des deux points à l'origine {fig. 3), et 2a la

Fig. 3.

somme constante de leurs distances au point mobile. Désignant enfin ces dernières distances elles-mêmes par /'i et r^j on a pour le troisième point

r, =: 2 fl.

relation dans laquelle

Nous pouvons débarrasser l'équation

des irralionnalités contenues dans /'< et /-o au moyen de la multiplication par des facteurs convenables. Multiplions, en effet,

d'abord par

r, — r, — in :

l'irralionnalilé de /'o disparaît; celle de /', sera également supprimée si nous multiplions encore par

(r, — Tj -h 2«) (r, -h i\ H- 2a).

Nous posons donc, à la place de l'égalité (i), la suivante :

(2) (/"i + /"î — 2«) (r, — Tj - la) [r^ — r^~r- 2«) [r^ + r^-\- la] = o,

ou, en effectuant les calculs,

Cette équation n'est plus l'équation originaire, et elle renferme en outre des facteurs. On peut, par conséquent, se demander si la nouvelle équation représente encore constamment la condition du problème, et, en réalité, il n'en est pas toujours ainsi. Une seule condition est exprimée à l'égard du lieu géométrique représenté par l'équation (2), c'est que le produit des quatre facteurs dont se compose cette équation est nul, ce qui suppose que l'un de ces facteurs soit égal à zéro; mais rien n'indique que ce soit précisément le premier, et cependant c'est le seul dont l'annulation soit exigée par notre problème. Le dernier facteur ne peut pas s'annuler, parce que /•, et /'o sont essentiellement positifs ; donc,

ou bien l'on a

r, -I- Tj = 2«,

ou bien l'un des deux facteurs suivants est nul, c'est-à-dire que

l'on aura

r, — r, = 2a ou Tj — r, = 2a,

ce qui ne diffère pas essentiellement. Notre lieu géométrique représente donc une courbe dans laquelle la somme ou la différence des distances du point décrivant à deux points fixes a une valeur constante et égale à 2a, et nous avons, par conséquent, traité simultanément les deux problèmes. On décide quel est celui des

CO>SIDERATIO!(S PRÉLIMINAIRES. — SÉRIES DE POINTS ET FAISCEAVX DE RATONS. 9

deux cas auquel on a affaire d'après le rapport de grandeur de a« à ae, en faisant usage des théorèmes sur la somme et la différence de deux cotés d'un triangle. Si, en effet, a est ^ e, dans le triangle déterminé par le point mobile et les deux points fixes, la est nécessairement la somme des côtés, parce que leur différence ne peut être plus grande que le troisième côté; si, au contraire, a est <^e, 2a ne peut être que la différence des deux distances, car autrement la somme de deux côtés serait plus petite que le troisième. L'équation ( 3 ) représente donc une courbe telle que la somme ou la différence de chacun de ses points à deux points fixes est constante : la somme si l'on a a"^ e, la différence si l'on a a<^e. Exprimons de nouveau /■,, /o en fonction àe x, j el e; l'équation (3) devient

Si a est ^ e, a- — e- est une quantité positive b-, d'où

Cette courbe porte le nom à! ellipse. Dans le second cas, c'est-à-dire pour a<^e, a- — e- sera égal à une quantité négative — b^, et notre équation devient

On a coutume de désigner cette courbe sous le nom àlijperbole. La forme des deux courbes est évidente d'après leurs équations, qui renferment seulement le carré des variables, de telle sorte qu'elles sont toujours satisfaites par quatre points symétriquement placés relativement aux axes de coordonnées, c'est-à-dire par quatre points dont les coordonnées ne diffèrent que par les signes. Chacune des deux courbes se compose donc de quatre parties égales, et il suffit de les étudier dans un seul quadrant du système de coordonnées.

Pour Vellipse, nous voyons ensuite que x ne peut devenir plus grand que a, ni y plus grand que b, que par suite la courbe est située tout entière à distance finie, et qu'elle est limitée par les quatre droites menées parallèlement aux axes X et Y aux distances aeib respectivement. Nous pouvons aussi construire l'ellipse point

par point d'une manière simple, si nous considérons la similitude de son équation avec l'identité

Cüs*y -h sin'y = 1.

Posons en effet

l-r — acos?.

(j = ôsiny;

l'équation (4) sera satisfaite indépendamment de ^, et nous obtiendrons tous les points de la courbe en faisant varier o depuis zéro jusqu'à 27:. Ce mode de représentation d'un point, dans lequel on fait dépendre ses coordonnées d'une troisième variable ou paramètre, est complètement équivalent à la représentation du même point par Y équation de la courbe qu'il décrit : on revient à cette dernière par l'élimination du paramètre. Cette nouvelle forme, sous laquelle se présente ici un lieu géométrique, nous fournira plus tard un moyen auxiliaire important pour la classification des courbes d'ordre élevé; nous prendrons alors pour base la nature des fonctions qui lient les coordonnées au paramètre.

Les équations (6) fournissent immédiatement pour l'ellipse la construction suivante : Décrivons autour de l'origine O un cercle de rayon a {ßg- 4)> ^^ un second cercle de rayon h, et menons

par O un rayon incliné d'un angle quelconque cf sur l'axe X. On aura alors

OA = X = a ca&tf^

BC =y = ftsin ç;;

C0:<S1DÉBA1I0M PKÉUMI5AIRES. — SÉRIES DB rOIMTS ET FAISCEAI'X DE RATONS. 1 1

par suite D est un point de l'ellipse, et l'on peut tracer de celte manière la courbe dans toute son étendue. La construction des foyersy c'est-à-dire des deux points fixes par lesquels nous avons été conduits originairement à l'ellipse, résulte de la relation

ils seront donc déterminés par les intersections de l'axe X avec un cercle de rayon a décrit autour du point E. La dislance e d'un foyer à l'origine est appelée X excentricité de l'ellipse; si elle est nulle et si par suite a=^b, l'équation se transforme en celle du cercle

Les longueurs a elb sont respectivement désignées sous les noms de grand et de petit demi-eixe de l'ellipse.

Dans V hyperbole, nous avons aussi quatre parties égales ; de plus, comme le montre un coup d'œil jeté sur l'équation, x ne peut pas devenir plus petit que a, tandis qu'au contraire nous ne pouvons assigner aucune limite à l'accroissement de y. Dans la bande obtenue en menant des parallèles à l'axe Y à la distance ± a de cet axe, ne se trouve par conséquent aucune partie de la courbe. Dans le reste du plan, x et r ne sont pas limités en grandeur; l'hyperbole s'étend donc à l'infini.

Pour connaître avec plus de précision son parcours, menons par l'origine une droite inclinée d'un angle quelconque cp sur l'axe X, et cherchons les points de la courbe qui se trouvent sur cette ligne. Si l'on désigne par r la distance d'un point de cette espèce à l'origine, et qu'on pose par suite

X r=: rcosy, y = rsin y,

l'équation de la courbe (5) donne pour /* une équation du second degré

cos' 9» sm-ip

et par conséquent su?" chaque rayon il ^existe en général deux points de la courbe. Si nous faisons croître <j> à partir de zéro, le premier terme du dénominateur devient de plus en plus petit, et le second de plus en plus grand ; c'est-à-dire que r croît d'une

manière continue à partir de a, et atteint pour

sin' y

COS*f

une valeur infiniment grande; tandis que, pour des valeurs plus grandes de y, /* devient imaginaire. Si l'on désigne par a l'angle qui donne la direction des points de l'hyperbole infiniment éloignés, on a

tang«r=:ii: -•

Il existe donc deux lignes placées symétriquement par rapport aux axes des coordonnées et dont la courbe s'approche indéfiniment sans jamais les atteindre; ces lignes ont été appelées pour ce motif les asymptotes de l'hyperbole. Leur liaison géométrique avec les AevLTi foyers (c'est ainsi que nous désignons les points fixes dont nous sommes partis) résulte de l'équation

à l'aide de laquelle nous pouvons construire d'une manière simple les asymptotes [fig- 5 ).

Si nous prenons a = b, nous obtiendrons une courbe, l'hyper-

bole èquilatère, qui est par rapport à l'hyperbole générale ce qu'est le cercle relativement à l'ellipse; elle se distingue spécialement par la circonstance que ses asymptotes sont perpendiculaires l'une à l'autre.

3. On demande de trouver le lieu géométrique d'un point tel que le quotient de ses distances à un point fixe et à une droite Jtxe soit constant.

CO:(SIDÉIUTtO!l8 PBÉUXIXAIBES. — SÉRIES DE POISTS ET FAI8CEACX DE RAY05S.

Nous commencerons par disposer ici encore du système de coordonnées de manière qu'il en résulte pour les opérations analytiques une forme aussi simple que possible. Pour axe X choisissons la perpendiculaire abaissée du point donné sur la droite donnée, et désignons par p la longueur de cette perpendiculaire [fig- 6); prenons d'abord l'origine quelconque, afin de pouvoir

embrasser tous les cas possibles ; supposons-la, par exemple, à une distance a. de la droite, et soit enfin m la valeur donnée pour le rapport constant. L'équation de notre lieu géométrique devient

OU, en faisant disparaître le radical,

-h m^QL- — (/) -4-a)

équation dont l'ordre est le même que celui des équations précédemment données pour l'ellipse et pour l'hyperbole, et qui, abstraction faite du terme en x, est construite d'une manière tout à fait analogue. Or on peut toujours chasser ce terme en choisissant convenablement a, toutes les fois que l'on n'a pas m = i, hypothèse que nous traiterons ultérieurement. En effet, il suffit de poser

pour obtenir l'équation du lieu sous la foriçe qui nous est connue

l4 TOME I. — CHAPITRE I.

c'est l'équation de l'ellipse pour m < i , celle de l'hyperbole pour m>> 1. D'où cette conclusion :

«Si l'on donne un point et une droite, et qu'on suppose un second point assujetti à se mouvoir de manière que le rapport de ses distances au premier point et à la droite soit constant , le point mobile décrira une ellipse s'il est constamment plus rapproché du point ßxe, et une hyperbole s'il est constamment plus rapproché de la droite donnée.

Nous voyons ici un certain point et une certaine droite qui sont dans un rapport étroit avec nos deux courbes du second ordre, et un calcul simple va montrer que le point est un des foyers que nous connaissons déjà. Soit d'abord m<^ i (ellipse); les carrés du demi-grand axe et du demi-petit axe sont donnés par les relations

(• et l'on a par suite

ni^p

Enfîn la distance du point fixe à l'origine sera égale à

égale, par conséquent, à la distance du foyer à l'origine : les deux points sont donc identiques. Il existe aussi naturellement une seconde droite qui joue le même rôle relativement à l'autre foyer, ainsi que l'exige la symétrie par rapport à l'axe Y; ces deux lignes seront appelées les directrices de l'ellipse. Le calcul de la dislance f d'une directrice au centre de l'ellipse (c'est-à-dire à l'origine d'après notre détermination de coordonnées) conduit à une construction simple de cette directrice. On a en effet

Ä' = ep, et, par conséquent,

f=e-hp= = ♦

c'est-à-dire que Is demi-grand axe est moyen proportionnel entre l'excentricité et la distance de la directrice au centre.

CONSIDÉRATIONS PRÉUMIXAIRES.