SÉRIES DE POINTS ET FAISCCACX DE RATONS
Pour la construction, on élèvera donc, en l'un des foyers (i) [fig. 7), une perpendiculaire à l'axe X, on la coupera en A par un cercle décrit autour de O avec a pour rayon, et l'on élèvera sur OA une perpendiculaire qui déterminera en B le point d'intersection de la directrice avec Taxe X. La seconde ligne de cette espèce est
Fig. 7.
parallèle à la première et à égale distance du centre : elles comprennent la courbe au milieu d'elles (CO = OB).
Ces relations apparaissent d'une manière tout à fait semblable dans l'hyperbole (m^i); seulement les directrices sont alors situées dans l'espace intérieur, de telle sorte qu'elles ne rencontrent pas non plus la courbe. Si, en effet, nous posons, pour passer à l'hyperbole, — h- au lieu de b"^ dans les équations qui ont lieu pour l'ellipse, nous obtenons pour la distance de la directrice à l'origine
le demi-grand axe est donc encore moyen proportionnel entre la distance da foyer et la distance de la directrice au centre : d'où résulte une construction simple pour cette dernière ligne, ainsi que cela a lieu dans le cas de l'ellipse.
Il nous reste à examiner le cas où m = i, et oii, par suite, le point mobile demeure également éloigné du point et de la droite ßxes. Notre équation originaire devient alor§
jr^ — 2/>x H- /> (/J -f- 2 a) ^ O ; si donc on pose
elle se transforme en
y^ :=z apJC',
c'est encore une courbe du deuxième ordre, la parabole, dont l'équation ne renferme pas x au carré {fig. 8). Ensuite la forme de l'équation montre que x ne peut pas devenir négatif. La courbe est donc située d'un seul coté de l'axe Y et s'étend à l'infini de ce côté en commençant à l'origine comme sommet. La propriété de ia parabole dont nous sommes partis donne une construction
Fij. 8.
JL
Va \
simple de cette courbe : on décrit autour du point fixe {^a foyer de la parabole) un cercle d'un rayon quelconque (r), et l'on coupe ce cercle par une parallèle à l'axe Y, dont la distance à la droite fixe (la directrice de la parabole) est égale à la longueur du rayon ; les deux intersections seront des points de la courbe.
4. On demande de calculer l'aire du triangle déterminé par trois points ßxes .
Supposons que l'origine des coordonnées soit placée en l'un des points donnés. On tracera par chacun des deux autres (i et 2) une parallèle à l'axe X et à l'axe Y {fig. 9), et l'on verra immédiatement que l'aire du triangle en question est donnée par la formule
Jï— Jl,
■yi'i]
Désignons maintenant par 0:0 > J'o les coordonnées du troisième
CO.'tSIDÉBATIONS PRÉLIMINAIRES. — SÉRIES DE POINTS ET FAISCEAIX DE RATONS. I7
point; il suffira d'écrire dans l'expression précédente a-, — jto, ^ — Fig. 9.
T, 2 Xi-xt <a-i.y,)
j-o — ^otjx — J)'o> JK2 — Jo au lieu de j:i, 0:2, Ti et jo» et l'on obtiendra ainsi
^ = -[{-^i — -^o) [Xi —lo] — (-Ï-2— -^oKri — jo)]
L'expression que nous avons sous les yeux est particulièrement digne d'attention à cause de la disposition de ses termes; elle est ce qu'on appelle un déterminant. On comprend en général sous ce nom une combinaison algébrique d'un nombre carré d'éléments, formée d'après une certaine loi, et dont la nature sera expliquée par des exemples mieux que de toute autre manière. L'exemple le plus simple nous est fourni par le déterminant binaire à quatre éléments
ab' — ba' , que l'on écrit
et tous les autres déterminants composés d'un plus grand nombre de termes peuvent être ramenés à celui-là par voie récurrente. Le rang suivant dans la série est occupé par le déterminant ternaire à neuf éléments
Toutefois, dans un déterminant, c'est-à-dire dans un tableau tel que celui que nous avons sous les yeux, il est avantageux d'affecter,
Clebscu. — Géométrie, I. 2
OJAPITRE I.
pour plus de clarté, la môme lettre à tous les éléments, et de les distinguer par des indices supérieur et inférieur, dont l'un exprime la ligne verticale, l'autre la ligne horizontale à laquelle chacun appartient dans le tableau. On écrit, par suite, un déterminant ternaire sous la forme
La loi de formation de l'expression algébrique ainsi représentée peut être énoncée de la manière suivante :
Le déterminant est égala la réunion des termes que l'on obtient en peiinutant dans le terme formé avec la diagonale du tableau précédent les indices supérieurs [ou les indices inférieurs), et en changeant à chaque permutation d'indices le signe du terme correspondant ; naturellement aucun terme ne doit se rencontrer deux fois. Nous avons d'après cela
I tt m
m I it I
Une règle analogue a lieu pour les déterminants dont les termes sont à n facteurs, et dans lesquels 7i[n — i) (« — 2). . .3.2. i permutations seront nécessaires. Un raisonnement simple montre qu'on obtiendra toujours un nombre égal de termes positifs et de termes négatifs. Nous ne voulons point d'ailleurs approfondir ici la théorie des déterminants ('), et nous nous contenterons de donner quelques propositions dont nous aurons à faire usage plusieurs fois dans ce qui suit.
Remarquons d'abojrd que notre développement du déterminant
(') La théorie des déterminants a été si souvent traitée de nos jours, nit^me d'une manière élémentaire, qu'il est bien superflu de la reprendre une lois de plus; pour les Sections suivantes de ces Leçons, nous pouvons renvoyer aux Ouvrages sur le sujet. Consultez spécialement : Hkssf., Die Determinanten elementar behandelt; Leipzig, «871 ; Hattcxdorf, Einleitung in die Lehre von den Determinanten ; Hannover, 1872; puis les Ouvrages détaillés do Baltzer, Theorie und Anwendung der Determinanten:
CONSIDÉRATIONS PRtLlMINAlRtS, — SÉRIES DE POINTS ET FAISCEAIX DE RAYONS. IÇJ
ne varie pas si l'on permute les indices supérieurs et inférieurs dans chacun des termes, c'est-à-dire que le déterminant conserve la même valeur si l'on échange entre elles les lignes horizontales
et les lignes verticales :
n (Il
En second lieu, le développement d'un déterminant présente une propriété caractéristique, c'est que dans chaque terme ne se trouve quun seul élément de chaque ligne horizontale ou verticale; nous pouvons d'après cela, ordonner les termes dont il s'agit suivant les éléments d'une ligne, écrire par exemple
I I II m m '' \ Il I III ' I iii\
Il = a («„",„— «,/-„,) -4- « \"„",„— a^a^)
m I I II II 1 \
I \ Il III II ml
Un coup d'œil sur ce développement montre que l'indice (inférieur) des éléments de la ligne occupant la première place ne se rencontre plus dans les facteurs qui les multiplient, et que ces derniers sont eux-mêmes des déterminants binaires, et l'on peut semblablement, à l'égard des déterminants d'un plus grand nombre de termes, effectuer, en répétant le même procédé, leur réduction à des déterminants moindres, qui sont eux-mêmes décomposablcs de la même manière. On désigne ces déterminants inférieurs, considérés par rapport au déterminant donné, sous le nom de déterminants mineurs; il en correspond un à chaque élément de R : c'est le facteur par lequel cet élément apparaît multiplié dans le développement. Nous désignerons les déterminants mineurs par une lettre majuscule à laquelle nous ajouterons les indices qui appartiennent à l'élément correspondant. Nous pouvons réunir les
Leipzig, 1870 (traduit en l'rançais par M. Hoiiel sur la 2° édition; Paris, 1861), et DosTOR, Eléments de la théorie des déterminants ; Paris, 1877; enfin les Sections consacrées aux déterniinantâ dans l'ouvrage de Serret, Cours d'Algèbre supérieure, et dans celui de Salmon, Lessons introductory ta the higher Algebra (dont il a été publié une traduction française abré(jée; Paris, 1868). Les propositions dont il est fait usape dans la première Section sont seulos données dans le texte.
ao TOME I. — CnAPITRE 1.
neuf déterminants mineurs ainsi formés dans le tableau suivant :
"m ^m ^ifi
où, par exemple,
En vertu de notre définition des déterminants mineurs, nous pouvons engendrer R par leur intermédiaire, en multipliant respectivement les éléments d'une ligne par les dé te/minants mineurs de la ligne correspondante et en ajoutant les produits. Nous obtiendrons ainsi, en ordonnant suivant les lignes horizontales,
R = «, A, H- fl, A, H- <7, A,
f .1 II ,11 III . III
=: a A -t-«/A H-aA
Il II ' Il II nu
et en ordonnant suivant les lignes verticales
Il H II m III
A l'égard des déterminants ternaires, il est possible de donner une loi mécanique simple, propre à faciliter la formation des déterminants mineurs, et par suite le développement du déterminant principal. Ecrivons une seconde fois les deux premières lignes verticales à droite du déterminant de la manière suivante :
nun
Cl^ O
et joignons les éléments par des lignes menées en diagonale comme cela a été fait ici. Trois termes situés sur chaque ligne de cette espèce multipliés les uns par les autres donnent un terme du déterminant, et ce terme sera positif si la ligne dont il s'agit va de
C058IDÉRATI0:<S PRÉUMI5AIRES.
