SEBIE8 DB P0I5TS ET FAISCEACX DE SAT05S
gauche à droite, négatif si elle va de droite à gauche, en commençant toujours par le haut. Cela nous permet de reconnaître immédiatement l'exactitude de la proposition qui suit :
Si l'on permute deux lignes horizontales ou deux lignes verticales, le déterminant change de signe; on a donc
I it
On reconnaît en effet de suite, en appliquant la règle qui vient d'être donnée au développement de R', qu'un terme quelconque situé auparavant sur une ligne allant de gauche à droite, se trouve maintenant sur une ligne allant de droite à gauche, et réciproquement. Une conséquence immédiate de ce théorème est la proposition suivante :
Si dans un déterminant deux lignes parallèles sont égales terme à terme, ce déterminant est nul; car une permutation des deux lignes nécessite un changement de signe, sans que pourtant le déterminant lui-même soit modifié. De là découle immédiatement cette conséquence que, si l'on multiplie les déterminants mineurs d'une ligne respectivement par les éléments d'une ligne parallèle à celle des éléments correspondants, la somme des produits est constamment nulle. Ainsi, par exemple,
' .' " ." mm
Et comme corollaire, on obtient la proposition suivante, qui présente souvent de l'importance pour le calcul des déterminants :
La valeur d'un déterminant n'est pas modifiée si l'on augmente ou si l'on diminue les éléments d'une ligne, d' un multiple des éléments d'une ligne parallèle. On a ainsi, par exemple,
rt -f- TOO,
a^-\-ma^
ti
car, si l'on développe suivant les termes de la première ligne ver-
ticale et suivant leurs déterminants mineurs, les termes multipliés par m donnent un total nul.
Une des plus importantes applications de la théorie des déterminants est la résolution d'un sjstcme d'équations linéaires, résolution qui peut être ainsi effectuée d'une manière simple. Nous nous contenterons ici encore de traiter le cas de trois équations linéaires à trois inconnues x^, X2, x^. Supposons ces trois équations données sous la forme
a\ .r, -f- r/ rj H- a^.T^ — ^\
et posons
Nous obtiendrons immédiatement la solution des équations précédentes ainsi qu'il suit. Multiplions-les respectivement par les déterminants mineurs A^ , A", A^, et ajoutons; tous les autres termes disparaissant d'après une proposition énoncée plus haut, il ne reste plus que la relation
On obtient de même, en multipliant par A' , A" , A"' et A' , A* , A** respectivement,
et notre problème est par conséquent résolu.
La formation des seconds membres de ces expressions s'effectue donc en remplaçant dans R les éléments de la première, de la deuxième, de la troisième ligne verticale respectivement par j^, )^', y ' . Si l'on donne en particulier^' = o dy" = n, on aura
COuUDÉaàTIOXS PREUÜIÜAiRES. — SÉRIES DE POISTS ET PAISCEACX DE lATOXS. 33
d'où résulte
j:, . X, . Xj = A, .A, , A^,
équation qui a lieu indépendamment de la valeur de j)'".
D'après cela, si l'on donne seulement deux équations linéaires homogènes à trois inconnues
a^ X, -r- /7^ Xj — a^ Xj = o,
nous ne pouvons pas déterminer les inconnues elles-mêmes, mais seulement leurs rapports, qui sont égaux aux déterminants mineurs correspondants, ainsi qu'on le trouverait également en considérant les équations données comme deux équations non homogènes dans lesquelles — i — seraient les inconnues. Les déterminants
.l-j Xj
mineurs qui ont l'indice supérieur 3 dépendent aussi uniquement des constantes qui figurent dans les deux premières équations.
Enfin, si ^"'est également nul, nous avons, après division par X3, trois équations à deux inconnues qui, en général, ne seront pas satisfaites simultanément ; pour qu'elles puissent avoir lieu ensemble, il est nécessaire qu'une condition soit imposée aux coefficients ; cette condition consiste dans l'évanouissement d'une certaine fonction des coefficients appelée leur résultant ; on obtient cette égalité au moyen des trois équations par élimination des inconnues. Étant donné en effet le système
», J"i -+- a'^ Xi-¥- a'^ X3 = o, rt' X, -(- ö][ Xj -f- al X, = o,
ih m m
o^ Xj -+- «^ Xj H- a^ Xj = o,
nous trouvons, en vertu de notre solution générale des équations linéaires,
Rx, = o, Rxj .-= o, Rx3-==o;
par conséquent, on a
solution par laquelle, comme cela va de soi, toutes les équations de l'espèce considérée sont satisfaites, ou bien
a^ TOME I. — CHAPITRE I.
celte dernière est ce qu'on nomme le résultat de l'élimination des inconnues entre les équations données. Les choses se passent d'une manière tout à fait analogue pour n variables et pour des déterminants à termes de n facteurs; d'où cette conclusion :
Si n équations linéaires homogènes entre n variables doivent exister simultanément, le déterminant de leurs coejßcients est nécessairement nul.
Au moyen de la solution générale trouvée pour trois équations non homogènes, et dans laquelle les quantités x étaient exprimées par les quantités y, nous devons naturellement pouvoir calculer les X au moyen des y en suivant un chemin inverse, et en employant un procédé tout à fait analogue. A la place du déterminant R, nous aurons besoin du déterminant formé avec les déterminants mineurs A, à savoir :
qui sera le déterminant du système adjoint; car, sous cette expression, on désigne le système des déterminants mineurs A par opposition au système des éléments originaires a. Distinguons ensuite les déterminants mineurs de S par des indices supérieurs ou inférieurs; posons, par exemple.
et nous obtiendrons comme solution les équations
Comme ces dernières doivent être identiques avec les équations primitives, il en résulte
Mais, d'après le théorème général sur la multiplication des
COMIVÉBATI0X8 PRÉUMUtAIBES. — SÉIIIBS DE POCTTS ET FAISCE^CX DE BATOÜS. a&
déterminants, dont nous allons bientôt parler, on a
et nous obtenons par suite les relations
S;=:R«;, S'^^Kal, Sl=Ka^,
Maintenant le théorème dont nous venons de faire usage consiste dans ce qui suit :
Etant donnés deux déterminants dont les éléments sont désignés par a et b, leur produit
j Ht j trt .m
est lui-même un déterminant, à savoir : ab,->r-ab-\-ab ab-^ab-hab a b -\- a b -^- ab
Il II' Il /»■ lu in I in I m I m
t .1 ir.ir m, m 1,1 «r.ir m ,m 1,1 »i» *• ,m
ab-r-ao-rao ab-*^ab-*-ab a b -t- a b -\- a ü
Kl m I ni II m n a ' a n m m m m »m
I fi »F» m ,m I ,t H ,11 m ,m 1,1 n .a m ,m
m t m 9 m t Ut W Ut It Ut U Ut Ut ttt Ut in Ut
Les éléments du déterminant résultant se composent des sommes des produits que l'on obtient en multipliant les éléments d'une ligne de l'un des déterminants par les éléments correspondants d'une ligne de l'autre. Pour le démontrer, on divise le grand déterminant en une somme de déterminants particuliers formés d'une manière simple ainsi qu'il suit. Développant d'abord suivant les éléments d'une ligne verticale, nous obtenons évidemment, puisque chacun des trois éléments se compose d'une somme de trois grandeurs, une somme de neuf termes, que nous pouvons écrire aussi comme somme de trois déterminants, de manière que dans chacun d'eux la première ligne verticale se compose de l'une des trois espèces d'éléments partiels réunis dans la première ligne verticale du grand déterminant, tandis que les deux autres lignes verticales ne sont pas modifiées. Résolvant encore celles-ci en plusieurs sommes de nouveaux déterminants, nous obtiendrons
TOMB I. — UIAPITBE I.
finalement une somme de vingt-sept déterminants ternaires particuliers. Nous pouvons admettre qu'on les obtient en réunissant, de manière à former un déterminant, chacune des lignes verticales (partielles) du grand déterminant à deux autres de ces lignes qui, dans le développement total, se trouvent multipliées par la première. On se convainc maintenant facilement que tous ces déterminants partiels s'évanouissent à l'exception de six, tous les autres renfermant deux lignes identiques d'éléments. Les six déterminants dont il s'agit s'obtiennent en réunissant de manière à former un déterminant, parmi les trois lignes verticales du grand délerminanl, une première, une seconde et une troisième colonne (ne renfermant que des produits simples ab). L'un de ces déterminants sera, par exemple,
Il , H
Dans les cinq autres termes aussi bien que dans celui-ci, on reconnaît que l'un des déterminants primitifs, celui des a, est facteur. On voit de plus très-simplement que la réunion des autres facteurs n'est autre chose que le déterminant des h sous forme explicite, si l'on fait en particulier les hypothèses
Le déterminant des a devient par là égal à l'unité, et le grand déterminant qui précède se transforme directement en celui des h, ce qui démontre notre théorème de multiplication. Si maintenant, pour employer ce théorème à la démonstration de la proposition précédente, nous mettons à la place des éléments h les déterminants mineurs A de R, nous obtiendrons
car tous les autres termes du déterminant s'évanouissent d'après un théorème précédent, et de là résulte effectivement
C0MIDÉKAT10NS PRÉUIIINAIBES. — SÉUES DE POIMS ET FAISCEACX DE RATONS.
n. — La courbe du premier ordre on ligne droite.
Nous revenons actuellement à l'expression trouvée pour l'aire d'un triangle donné par ses trois sommets, expression qu'on reconnaît pouvoir être écrite sous forme de déterminant. On a en effet
•'o Jo
•*i Xi
Xx Xx
-(•roJl+rjJo+'K>'j-
•^tfjï— '■lJo■
■•ïrl)•
Maintenant, la condition que l'aire du triangle soit nulle est évidemment identique avec cette autre, que les trois points donnés soient en ligne droite. Donc, si nous laissons le point j:o,Jo indéterminé, l'évanouissement du déterminant nous donnera l'équation de la droite déterminée par les points i el i, c'est-à-dire
Cette forme d'équation est du premier degré comme celle précédemment obtenue d'une autre manière. Le fait que la ligne passe par les points donnés résulte immédiatement de l'un des théorèmes précédents sur les déterminants, si l'on substitue les coordonnées de ces points à a: et y.
Au lieu de déterminer la droite par deux points, nous pouvons aussi la déterminer par les segments a et Z» qu'elle intercepte sur les axes de coordonnées à partir de l'origine ; nous avons pour cet objet à introduire dans (i) les coordonnées a, o et o, h du point d'intersection de la droite avec les axes. Nous obtenons ainsi
T^ ab — bx — 7 1",
OU
équation d'une haute importance pour la théorie de la ligne droite, et spécialement pour les développements généraux que nous donnerons ultérieurement. L'équation d'une droite pouvant toujours
être mise sous cette forme, les segments qu'elle détermine sur les axes s'obtiendront immédiatement. L'équation (i), par exemple, ainsi transformée, donne
Ji -^i — Jt -^1 Ji-^i— r»-^i /i— Jt X, — X,
Une droite déterminée par les points i et 2 intercepte donc sur les axes de coordonnées des segments déGnis par
.y\ ^t — Xi "^1 7 X\ '^i — X* ^\
a =r ) U rr: •
Celte représentation met spécialement en relief les cas où la ligne passe par l'origine, ou bien est menée parallèlement à l'un des axes. Dans la dernière hypothèse, nous devons prendre« ou b infiniment grand suivant que la droite est parallèle à l'axe X ou à l'axe Y. Nous obtiendrons alors, ainsi qu'il a déjà été observé, les équations respectives
Enfin, si la droite passe par l'origine, nous pouvons la déterminer uniquement par sa direction, c'est-à-dire par une ligne qui lui soit parallèle. Or une parallèle à une droite donnée sous la forme (2) intercepte sur les axes, à cause de la similitude des triangles ainsi formés, des segments ayant pour grandeur ma, mb ; et nous obtiendrons, par conséquent, toutes les lignes parallèles à (2), si dans l'équation
nous considérons la quantité m comme un paramètre, c'est-à-dire si nous lui attribuons successivement toutes les valeurs possibles : cette représentation d'un système de droites sera souvent employée dans la suite. En posant m = o, on obtient toutes les droites passant par l'origine, lesquelles seront alors complètement déterminées par la direction du système de leurs parallèles.
Pour la fixation de cette direction, nous pouvons évidemment aussi employer, au lieu des segments a et h, l'angle formé par la droite avec l'axe X, angle que nous désignerons par ». Gela
COXSIDÉaATIOXS PKÉU]f»AiaES. SÉRIES DE POIXTS ET FAISCCAIX DE lATOXS.
revient à indiquer les coordonnées d'un second point appartenant à la droite, à savoir le point infiniment éloigné où se coupent toutes les parallèles de la direction dont il s'agit. Or ces coordonnées sont ce que deviennent rcosa et rsïna, pour /- = oo , r désignant la distance qui sépare le point de l'origine : leur rapport seul a donc une valeur finie. Substituons ces valeurs au lieu de x^ > 2 dans l'équation (i), divisons par r et prenons ensuite r infiniment grand ; nous obtiendrons
cosa sina o
ou, après développement,
(4) {x — j:,) sina — [y — jj]cosa = o.
Nous avons en commençant rencontré l'équation d'une droite sous cette forme, et nous l'avons alors décomposée en deux autres équations, savoir
: X, -+- / cosa.
r étant un paramètre (p. 6).
Les équations (i) à (5) nous donnent les différentes formes sous lesquelles se présente habituellement l'équation d'une droite suivant le choix de ses éléments déterminateurs. Ce qui leur est commun à toutes, c'est la dimension à laquelle entrent les variables; toutes sont du premier ordre, et la question suivante s'impose à l'esprit : Toute équation du premier ordre représente-t-elle une ligne droite? Nous allons voir qu'il en est en réalité ainsi. En effet, étant donnée la forme la plus générale d'une équation linéaire
A jr -h Bj -t- C = o.
on peut aussi écrire cette équation de la manière suivante :
Or c'est là, d'après (2), l'équation d'une droite qui intercepte
res-
3^ TOME I. — CBAPITHE I.
peclivement, sur les axes de coordonnées, les segments
par conséquent :
Toute (ûf nation du premier degré entre x et j représente une ligne droite.
Si une droite représentée par la forme générale (6) doit passer par l'origine, il faudra poser C = o; si elle doit être parallèle à l'axe X ou à l'axe Y, il faudra annuler respectivement A ou B.
Tandis que jusqu'ici nous avons employé deux points pour la détermination d'une droite, que ces points fussent du reste quelconques ou qu'ils eussent des situations particulières, par exemple sur les axes ou à l'infini, nous pouvons aussi caractériser une droite par deux autres éléments. En choisissant pour cet objet la distance p de la droite à l'origine et la direction de ses normales, c'est-à-dire l'angle qu'elles forment avec l'axe X, nous serons encore conduits à une forme d'équation particulièrement importante. Les segments déterminés sur les axes sont alors, comme on le voit facilement sur une figure,
CCS« sin a
et ainsi, d'après (2), l'équation de la droite est
(^) jc cos x-\- y sin X — pz=o;
c'est la forme qu'on nomme Jhrme normale de liesse (* ), et dont un exemple nous fera immédiatement reconnaître la haute portée. La comparaison de cette forme avec la forme générale (6) amène à examiner la question de la réduction de l'une à l'autre. Or l'équation (7) est spécialement caractérisée par ce fait que la somme des carrés de ses deux premiers coefficients est égale à l'unité. Nous multiplierons donc (6) par un facteur tel que la même propriété existe
dans cette dernière équation, c'est-à-dire par — s le signe
du radical devant être choisi de manière que le dernier terme de
(•) Comparez ici comme pour tout ce Chapitre : Hesse, Vorselungen aus der ana~ fytischen Geometrie der geraden Linie, des Punktes und des Kreises in der Ebene; Leipzig, 1873.
CO.NSIDÉIATIO.NS rBÉLIMIM AIRES. SÉBIES DB PO^TS ET FAISCEAUX DE BATONS. 3l
l'équation «oit négatif [comme dans (7)]; de là résultent, pour la transformation demandée, les équations
(8) cos"' ^ • ^
Suivant la nature d'une question posée, nous nous servirons de l'une des formes d'équation de la ligne droite indiquées ici, de manière à obtenir la solution le plus simplement possible ; quelques problèmes nous apprendront à reconnaître ce qu'il convient de faire.
I . Trouver la distance d'un point (xo, j^o) à une droite [cette dernière étant supposée donnée sous la forme normale (7)]- — Soit P la distance cherchée; l'équation d'une parallèle menée à la droite par le point donné sera
jr cos « -f- Y sin v. — p — P ;= o,
si le point est situé d'un autre côté de la droite que l'origine. Puisque la droite doit passer par ce point, il en résulte
j-Q cos a -h ^0 sin a — p — P = o , d'où
P = j-„ cosa -\-ja sina — p.
Nous pouvons énoncer ce résultat ainsi qu'il suit :
Si, dans la forme normale de l'équation d'une droite, on substitue les coordonnées d'un point quelconque, le premier membre donne la distance du point à la droite, immédiatement si le point est d'un autre côté de la droite que l'origine ; dans le cas contraire, le signe serait à changer. Le signe ne sera indéterminé que si la ligne passe par l'origine (c'est-à-dire si p = o), parce qu'alors la direction de la normale est ambisruë.
Si l'équation de la droite est donnée sous la forme générale, il faut, pour trouver la distance, diviser encore par la racine carrée de la somme des carrés des premiers coefGcienls et substituer les coordonnées du point; on obtient ainsi
p Aj,-<-BroH-C
± Va' h- b»
2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites. — Les équations des droites données étant
Ax-h BjH-C = o, Mx -¥■ B'j 4- C— o,
nous avons à en tirer la valeur de x et de j. Pour plus de symétrie dans le résultat, nous donnerons aux équations le caractère de riiomogénéité; nous ajouterons pour cela au troisième coefficient un facteur que nous supposerons égal à l'unité, comme il
suit :
A'ar^B> + C'.l=o,
et nous calculerons, au moyen de ces équations, les rapports de x, y, I . Il vient alors
x:y:\=: BC - CB' : CA' — AC : AB' — BA',
d'où
