II V ~" A

non situés aux points exceptionnels , nous donnent seuls les

LA CÉOH^TKIE SCR UME COORBB ALGÉBRIOVE. / ()3

points j^ des couples cherchés x-y \ Les points correspondants x sont les points d'éi^anouissement d'un quotient Jbrmé cor rélativentent : \

n^ av

Nous allons déterminer le nombre de ces points d'évanouissement pour le cas considéré dans (aa).

Le quotient ^ s'évanouit en S, en vertu de (i4)î (22) et (25), à l'ordre de multiplicité

Cl le nombre des intersections simples de ^^ = o avecf^^ o sera égal à

en posant maintenant

a =z nr — t — 7, S = ns — t — 7, *'= /ir'— r'— /, JS' = /w'— /' — /.

Le nombre résultant n'est donc pas influencé par le point fixe des correspondances.

On peut, au surplus, démontrer d'une manière tout à fait analogue que, pour les points doubles de J] par lesquels passent les courbes Q, C^/, le nombre (fc^') apparaît sous la forme

(y/) = ap'-^ Sa' -27/ (/.+./'),

si Ton entend par p le genre dey*et par d' le nombre des points doubles de J qui ne sont pas des points exceptionnels des correspondances. Nous résumerons en un théorème le résultat obtenu, après de courtes explications, sur les deux autres cas mentionnés encore page 87.

2® Nous admettrons, en second lieu, que le point de y ou 7'

(') Ce nombre concorde avec celui qui a été obtenu d'une autre manière par Bull (Matk, Aanalen, t. VI, p. 46).

i/l TOMB lil. — CHAPITftE I.

valeurs respectivfement en X'=^y pour les deux correspondances prend naissance par contact. Ce cas présente de l'inlérêl, en ce sens que, diaprés les considérations précédentes sur la nature de semblables correspondances, nous pouvons préciser beaucoup plus que dans le cas précédent. On peut, en effet, admettre que les deux correspondances soient données sous la forme suivante (cornparer, t. II, p. i85) :

.^ . i ?(-^»r)=*o(-').?o(r)-+-*i(-»-)-?iL)j + ..--+-*Y(-'-)-?7 U) = o» ^""9^ I y'(.r,j)=*i(x).y;(/)^-*;(x).y;fj-)-^-- + *r(^)-?rb)=0'

<Po= o étant la courbe qui détermine sury= o les points de contact des courbes du j**"** ordre ayant un contact d'ordre y — i qui font partie du système

^1 ?i [y) H- \n (r ) + • • • H- \ fAx] = o»

et les autres courbes $|= o, 4>'.= o étant définies de la manière correspondante. Ici, Tordre r des courbes $, ainsi que leur multiplicité aux points communs des courbes f et aux points doubles de y, est complètement donné par le mode d'existence des courbes (f. En fait, la détermination de r par s peut s'effectuer de la manière suivante (*). La courbe de coïncidence d'une correspondance cp(x,j^) = o est (t. II, p. i6i) de Tordre

Donc, en particulier pour 7 = 1, r = 5, la courbe de coïncidence de la correspondance

est de Tordre 2S -h n — 3. Par suite, pour y z=z 2^ dans la correspondance

Tordre r des $ est égal à 25-+- n — 3, et Tordre de la courbe de coïncidence égal en conséquence kZ{s -h n — 3); on trouve ainsi

{*) f^oir aussi la note de la p. i83, t. II.

LA GKOMËTRIE 6CR CXB COCHBË ALGÉBRIQUE. 96

(le même par là Tordre de la courbe de coïncidence dans le cas de y = 3 égal à4*^H — (w — 3)1, et ainsi de suite. En général, l'ordre de la courbe de coïncidence sera égal à

Or les courbes du /•*•"* ordre $/ = o dans (29) sont des courbes de coïncidence d'une correspondance à point de 7 — 1 valeurs en X = 7" ; d'où

Mous avons, du reste, vu (t. II, p. 164) qu'en tout poin^sîmplc de/, où sont situées a intersections fixes des courbes f/, se trouvent y(s intersections des courbes 4>|, sans d'ailleurs qu'il y ait lieu de se préoccuper de savoir si les courbes cp ont à cette place un point commun multiple d'ordre o", ou si elles y ont jin contact dWdre a — i aiwecj*^ tandis que pour l'établissement du nombre vî^'' dans (i4) nous avons admis expressément la première circonstance. Mais le nombre (i4) est également exact pour la seconde. Supposons, en effet, que pour un point simple S, de f (c'est-à-dire pour ai= I ) on ait ti=. i et que les f' aient en ce point un point commun multiple d'ordre t'^ : il faut alors employer une correspondance [^/(y-t- a), (/-h a')] dont le nombre des coïncidences est égal à

'Hv -*-«) + (/ + «')•

Si maintenant les courbes (f passent toutes ensemble par ti — i points ^e J' voisins de S/, il y a /-j- a' intersections de deux courbes homologues 9, (^^ qui se confondent en chacun d'eux. Par conséquent, le nombre des intersections de pareils couples de courbes qui se trouvent réunies en S/ devient égal à

'/ ) Le nombre fi de la correspondance se trouve donc être déjà déterminé par a et y. (^ même résultat peut être obtenu par l'application de la théorie des intégrales abé- Hennés de seconde espèce. ( Foir Liiii>iiia!I2(, Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite, Journal de Crelle, t. 84, p. 3io.)

96 TOME III. — CBAPITRE I.

Il en faut encore retrancher le nombre T pour retrouver pour la multiplicité de D\Ly= o en S/ le résultat exprimé par (i4)-

Un fait analogue a lieu si les 9' ont simultanément en S/ un contact d'ordre t'^ — i avec la courbe primitive, et la question se résont de même pour un point double de y (c'est-à-dire pour ai= 2). 11 suffit, dans ce dernier cas, de remplacer <j par at,-; le nombre y ((7 4- y — i) donne alors encore le nombre des intersections fixes des 9 situées en un point fixe comme celui dont nous parlons.

Les nombres t/, r^- qui figurent dans les formules précédentes (12), (i3), (16), (22), [t.'j) sont donc, pour un point simple de f,

(3l) '^i=ta, i:\=t\i\

pour un point double def,

Actuellement, supposons d'abord /]]>7. Parmi les points d'intersection de deux courbes quelconques tangentes respectivement d'ordre y — i et / — i au même point x de fi, y sont voisins de x; ilfiaut donc (p. 86) prendre r= y dans les formules (i3) à (16).

La détermination des facteurs qui, dans le résultat de l'élimination des X entre (34) et entre fi[x) = 0, se présentent conjointement avec D\Ly et f'^j s'effectue absolument comme dans le cas précédent, et n'a pas besoin d'être expliquée à nouveau.

On doit au contraire remarquer la manière spéciale dont se comporte ici la courbe 3C-j= o, très importante pour l'établissement de l'équation (i 7), et qui détermine sur^par ses intersections les points x pour lesquels un (y-hi)**™® point d'intersection de deux courbes homologues C„ Csf retombe sur x. Mais, comme nous

(') Toute correspondance à point de y valeurs en x=^ pouvant être réduite, à l'aide de /= o {iwir p. 87etsuiv.), à une correspondance comme celle envisagée plus haut, les résultats énoncés dans les formules(3o), (3i), (82) s'appliquent encore au cas que nous avons traité en premier lieu. M. Krey suppose, dans ses recherches relatives à ce sujet {Mathematische jinnalen, t. XII, p. 47^)t <iu^ toutes les courbes C,, Cy, C^, Cfé passent une seule fois au plus par les points exceptionnels qui sont des points doubles de/. Cependant on reconnaît par (3a) que cette hypothèse ne peut jamais être admise que pour les cas de •/ = o et y = i .

LA GÉOMÉTRIE SUR OXB COORBR ALGÉRRIQUE. 97

supposons /]>7» ce (7 4- i)**^*'"* point d'intersection est nécessairement situé aussi sur la courbe y, et le fait n'a lieu que dans deu\ cas : I ** si une courbe Q a un contact d'ordre y (cas où y -h i points consécutifs sont communs), ce qui se produit aux points de coïncidence de la première correspondance ( 29) ; 2° si une courbe 9' a en X un point double, hypothèse où il y a y points communs consécutifs seulement, mais où l'un d'eux compte double comme point de rencontre de (p et ^, Les points de la première espèce, dont chacun doit être compté y' fois (* ), sont, d'après (3o), déterminés sur/ par les points de rencontre d'une courbe de coïncidence Ly= o de l'ordre (7 -h i) .^ H- - (/i — 3)7 I ; les points de la

seconde espèce, dont chacun compte y fois, par une courbe qui se détermine de la manière suivante (^) :

Du premier membre de la deuxième équation (29) doit, pour T = JK> se séparer un facteur^, en sorte que l'on a

Pour les points d'intersection de ï' avec y, le premier membre de celte équation s'annule doublement, c'est-à-dire que la courbe cj/, répondant à l'un de ces points d'intersection, y possède un point double. Par suite, les points mentionnés de la seconde espèce sont découpés par la courbe Y'= o, relativement à l'ordre de laquelle on déduit de (33) le nombre

(34) f rrzr'H-/ — /l=:(/-f-l)s'-f--/(/— l)(/I-3) — /l.

Commençons par admettre encore quey*n'ait pas de point double, et qu'aucun point fixe commun de G^ et Gj/ ne soit situé sur^*; alors intervient, à la place de (17)» l'équation

(35) 0R.j.= (^')t(Lt)t'.dCj.-^ A./.

On trouve par là, comme dans le cas précédent, que l'ordre de DCy

(*) On le reconnaît immédiatement par ce qui a été dit t. Il, p. i5i. (*) Le cas de /= y est tonjours excepté. Comparer l'exemple y'r=. 3, p. iC5 et 1S9 (note), t. If, où Y' devient la jacobienne des trois courbes /g, p'|, ^2-

Clbbsch. ~ Géométrie, 111. 7

9^ TOME III. — CBAPITRB I.

est égal, en vertu de (i3), (3o), (3o)* et {34)> à (36) 1 ^^■"'''^'^'^'('''■^"'[^"^^^t''""^^ I

( = n{rs' + 5r') - 7 (r' H- /) - y'[r ^- s) - -//(/i — 3).

Le reste de la recherche s'efiectue comme au cas précédent: il faut seulement remplacer toujours Texpression X par le produit (Y')y(Ly)ï'. La manière dont se comporte ce produit aux points exceptionnels de la courbe y ou des correspondances (29) est également facile à déterminer, parce que, d'après ce qui précède, on connaît la manière dont se comporte L^, et qu'il est aisé de tirer de (33) ce qui est relatif à V. Les points cherchés j se trouveront fmalement au moyen des points d'évanouissement simples des quotients J^y de la forme (aS), et les points correspondants X par ceux des quotients jÇjc de la forme (26). A l'égard de ces quotients, le nombre (27) reste également exact: il suflit d'y exprimer, d'après (3i) et (32), les nombres t, t' par t, t\

Il est d'ailleurs à observer que le cas où Cj, C^ ni C;-, Cr^ ne passent par un point double de^ne peut pas se présenter ici. Car bien qu'on ait en un tel point t =^ t'= o, nous avons néanmoins, d'après (32),

Or, si nous admettons la survenance d'un point de cette espèce S, il lui correspond deux courbes C, différentes cy,= o, yj/=o, et deux courbes C,/ différentes 9J= o, 9^= o, et à la place de (35), s'il ne se présente pas d'autres points exceptionnels, intervient l'équation

Or de cette identité nous ne pouvons ici rien conclure^ car nous ne connaissons pas encore le mode d'existence de 3\Ly en S. Mais le nombre des points cherchés j^ est égal au nombre des points x, qui forment un couple avec chacun d'eux. Nous pouvons donc, au lieu de DÏLyj employer l'expression 311^:. La multiplicité de cette

LA GÉOMÉTRII SUR U^IB COVRBE ALGÉBRIQUE. <)<)

dernière est, d'après (i6), eu égard k (Sa),

(3 étant égal à /m — 7i (3' à /i/ — /. On a d'ailleurs, d'après (35), (37 ) mu^= (Y')t(Lt)7'DC, h- a/

Mais nous ne savons pas non plus comment se comporte la courbe Y'= o au point double S, de sorte que cette équation ne nous sert à rien. Pour résoudre la question, il nous faut recourir au résultat obtenu sous Thypothèse étudiée en premier lieu (p. 91). Ce résultat doit en effet rester exact pour le cas actuel, comme nous l'avons fait voir au commencement de nos recherches (p. 87). Le nombre des couples cherches sera donc encore donné par (21).

Le cas de 7 = / mérite une mention spéciale. On aperçoit aisément qu'il faut prendre encore ici r= 7, mais qu'il n'y a plus décomposition de la courbe X => o en courbes (y)Tf= o et (L^)ï'= o et que tout demeure symétrique.

3° Enfin, quelques mots peuvent trouver place ici relativement au troisième cas cité plus haut (p. 87), cas dans lequel le point de y valeurs de (^[x^j) an x^=^y est produit par un point y^P^^ des courbes cp, tandis que le point de */ valeurs de ^{x^j) en x-=zy est au contraire produit par un contact d'ordre / — i des courbes <{/. On doit ici prendre r= 7, indépendamment de la circonstance que / est plus grand ou plus petit que 7. D'ailleurs, un autre point d'intersection des deux courbes f , (^' qui appartiennent à X se réunit à x, en premier lieu s'il intervient en x une coïncidence de f (x,j^), en second lieu si la courbe f' tangente en a: a en X un point double. Â la place de l'équation fondamentale (17) se présente alors la suivante :

arUj. = m't ( L^ ]V . DC^. -I- A/,

où L^= o désigne la courbe de coïncidence de ^[x^y) = o, tandis que ^' est défini par l'équation (33). La détermination du mode d'existence des courbes qui se présentent ici aux points excep-

lOO TOMK III. — CBAPITBE I.

tionnels des correspondances se fait encore comme précédemment.

Nous résumerons enfin dans la proposition suivante les résultais obtenus, dans la mesure au moins où nous devons plus tard en faire usage.

Lorsque deux correspondances [a^^)^et (a', (3')w, pouvant posséder des points exceptionnels [fixes) quelconques, sont données par deux équations <f[x^y)^=-o^ cj/(a:, ^) = o, le nombre des . • couples x-y qui satisfont à toutes les deux et sont formés chacun •^■': par deux points séparés est égal à

. ; (-38) (yy' ) = ap' -{-oi'p^ liyy'(p -^D).

s'il existe D points doubles de f par lesquels ne passent pas toutes ensemble les courbes ç, ç' répondant à x {^), Les points j sont ici les points racines simples, non situés en des points excep-

tionnels J du quotient J^ y ==—^9 Yl désignant le produit connu

déterminé par .les points exceptionnels et qui se présente dans \ (23), (azf) comme facteur de 3\Ly La multiplicité de 4Lr> /'our [^ un point exceptionnel d'ordre t ou tf des courbes répondant àx f en vertu de 9 = 0 ou 9' = o, si ce point est un point simple def - est donnée par le nombre (27), lequel devient, en vertu rfe (3i), tfit-h t'a-^— 7y'(f 4-^), (quelques-uns des nombres t, t, t', r^ pouvant être individuellement nuls). De même les points correspondants X sont les points racines simples, non situés aux points exceptionnels, d'un quotient j^x'

(') U faudrait distinguer au premier abord trois cas différents, savoir :

!• * < r et *' < r', r et r' étant donnés en toute hypothèse par (3o)*; c'est à ce cas que nous nous sommes bornés dans les remarques précédentes, en partant des équations (ag). Les courbes qui répondent k jr passent toujours par les points doubles de /. (yoir p. g8 et la note de la p. 96.)

3" j<^r et j'> r'; r s'exprime par Sf d'après (3o)*, mais s' est déterminé par r', en vertu d'une relation analogue.

3» i > r et *' > r.

Néanmoins, il n'est pas nécessaire d'étudier plus h fond les deux derniers cas. car on peut les ramener au premier en se servant de la loi de réciprocité qui existe entre les courbes f, ^' et ^, ^' figurant dans (39). {f^oir t. II, p. l'jS et suiv.)

LÀ GÉOMÉTRIE 8UB CSIE COCRBB ALGÉBRIQUE. 101

Toutefois, au cas où chacune des correspondances (f et o/ reste invariable par permutation de x avec y^ le nombre des couples

de points est égal à -(99'), les courbes 4^^= o et ^= o coi/i-

cidant alors l'une avec l'autre (* ).

Une circonstance où il y a ainsi symétrie se rencontre dans l'exemple d'où nous sommes partis, et dans lequel la courbe OTvy^ JïLx^=o doit être remplacée par la courbe M = o (p. 77 et suiv.). Ici y nous obtenons une équation de la forme

M.n = (•^i,|»,^,).SCj.-l- A/,

dans laquelle la jacobienne du réseau considéré a pris la place de la courbe S^y=z o, et H est une expression dépendant des points

fixes des courbes du réseau. Du nombre -(99') il faut ici retran-

cher encore le nombre -v(v — i) des couples de points x-y,

situés sur ^1 = o, qui satisfont aussi aux deux correspondances (2) (v désignant le nombre des points d'intersection mobiles des courbes du réseau avec y). Le nombre des couples de points cherchés est donc, en tenant compte de a=:(3 = a'=:(3'=v — i,

( =- (v -, )(v - a) --(«-!)(«- a) +rf",

si toutes les courbes ip passent par rf" points doubles de /*, et ce nombre concorde en fait avec celui qui a été trouvé pour y

' (*) Une symétrie de cette nature se présente, par eiemple, si le point /<*** des courbes en x =y prend naissance par le fait que la courbe répondant à x se décompose en y courbes séparées, de telle manière qu'on ait à considérer, par exemple, un système simplement infini de courbes parmi lesquelles y passent par tout point du plan. Les cas non encore examinés dans le texte, et où des branches particulières du point multiple des courbes ^ touchent la courbe/, etc., se résolvent par combinaison des méthodes employées pour les hypothèses séparées. D'ailleurs, le résultat numérique reste toujours le même. {Voir p. 87.)

102 TOHB III. — CHAPITilB 1.

Nous nous proposons de faire usage de la formule établie relativement à (ycp') pour traiter quelques exemples dont plusieurs nous seront utiles incessamment; nous passerons ensuite à Tétabli^ement d^une formule similaire pour trois correspondances. Ces exemples se référeront à la considération rf 'une /«mille linéaire de courbes dépendant de trois paramètres ( ' ), savoir :

(4o) >iY, [x] -H \f'i[x) H- >3?>3(-^) -^ ^inl-») == O.

Nous admettons, pour plus de simplicité, que toutes les courbes de la famille soient adjointes ày{ c'est-à-dire qu'elles passent par les points doubles de /) et qu'elles rencontrent en outre yen M points mobiles. Les diverses propositions que nous allons établir ont été choisies, pour partie, en tenant compte de problèmes que nous traiterons plus tard et qui montreront clairement la connexion, mentionnée en commençant, de ces explications avec la théorie des systèmes spéciaux. Nous distinguerons les différents exemples par des lettres majuscules.

A. Par tout point de^passe un réseau de courbes du système (4o) à M — I points d'intersection mobiles; on peut donc pour tout point de f trouver, d'après (Sp),

couples de points tels que par chaque groupe ternaire ainsi formé passe un nombre simplement infini de courbes du système (4o)'

B. On demande de déterminer le nombre de ceux des faisceaux de courbes compris dans {^o) dont les courbes se touchent toutes en un point et y ont en même temps un contact du premier ordre avec f= o, tandis qu'un autre point de base [lequel est mobile)

(') Les exemples dont il s'agit présentent un intérêt particulier pour la théorie des courbes de l'espace. {Voir Brill, Math. Annalen, t. IV, p. 5aî, et l. VI, p. 5o.)

h\ CÉOMÉTRIB SIR UNE COURBE ALCÉBRIOCB. I03

est situé sur f{^). Nous extrairons d'abord du système (4o) Tensemble des courbes, en nombre doublement infini, qui touchent y) et de cet ensemble doublement infini les deux systèmes simplement infinis qui passent respectivement par deux points fixes A et B non situés sur f. Par A et par un point quelconque de /' passent alors, d'après la formule de la p. 171, t. II , encore 2 (M -h p — 2) courbes tangentes. Les deux systèmes simplement infinis nous donnent donc sur f deux correspondances

et le nombre de leurs couples communs est égal à

Or par A et B passent encore 2 (M -h p — i) courbes tangentes qui sont communes aux deux correspondances; et le point de contact de chacune d'elles forme avec chacun de leurs autres M — 2 points d'intersection un couple de l'espèce cherchée. Le nombre demandé est par conséquent égal à

C. On demande de trouver sur J* le nombre des groupes ternaires de points par lesquels passent les courbes en nombre simplement infini et formant un faisceau du système {4o) dans lequel se rencontre dans un faisceau de cette nature une courbe qui louche f en deux des trois points du groupe ternaire.

A tout point 2 de y répondent, d'après (4')»

couples de points x-j^, en sorte que par Zy x eiy passe encore un faisceau de courbes du système (4o)« Ces 2N points (les points x et

(*) Ce nombre est égal au nombre des tangentes d'une courbe gauche d'ordre M et de genre y? qui rencontrent encore une fois la courbe dont il s'agit, tandis que (40 donne le nombre des cordes triplement sécantes qui passent par un point quelconque de cette même courbe.

les points j^ à cause de la symétrie) sont, d'après ce qui précède

(p. 92), les zéros simples d'un quotient ^^.= — ^dans lequel DC^ et II

dépendent rationnellement des coordonnées du points; car Téquation j^^ = o prend ici naissance par élimination de .r entre y(x) = o et entre le système d'équations

<pi(3) fi{z) ff^{z) ff^{z) Vl(^) fti-^] t3(-^) ?*(•»•)

<fi(r) Ti(r) ?Ax) ?k{x]

Cette observation permet en môme temps de reconnaître que 4^y est sjmétric/ue enj et z. Eu égard à ce fait, nous écrirons 4^^, au lieu de J^y, Cr^^ ^ nous donnant ainsi entre j et z une correspondance en vertu de laquelle à tout point y répondent 2N points z et à tout point z 2N points y^ correspondance dont la multiplicité de valeur en y = z est donnée par le nombre

(44) î(M^2) — 2 — (M — a) = xM — 4.

C'est là une conséquence de ce que, dans (27), on a à poser

il faut alors retrancher, du nombre résultant, M — 2, à cause de la courbe qui passe par A, B et z, A, B étant deux points quelconques du plan introduits, comme précédemment dans un réseau, pour l'établissement des correspondances (p. 79). Or, nous pouvons employer la correspondance à laquelle nous avons affaire, bien qu'elle ne soit pas représentée par Tévanouissement d'une fonction entière de Zj y, de la même manière qu'une correspondance ordinaire, tant que les nombres caractéristiques a, j3, 7 ( ici les nombres respectifs, 2N, 2N, M — 4) ne figurent que linéairement. Si nous désignons en effet ces nombres pour ïKyz par a, i, c, pour II par a', b\ dj on a

oi zrz a — fl', p zn b — b\ y =z c — c'

et puisque ^yz passe par tous les points de rencontre de H avec/, le nombre des coïncidences devient égal à

a-h b -h 2cp^[a'-+- b'-+- 2c'p) = «+ P H- 2yp;

LA GÉOHÉTtlE SUR CXE COCIinE ALGÉBBIOlE. loj

enfin le nombre des couples de points qui lui sont communs avec une autre correspondance («', (3')^/ (*) est égal à

a|5'-+- ^a'— 2C7'/? — a'p'— b' u -h ic' -{ p — aS'-+- fa'— 277'/;.

Nous ferons plusieurs fois usage de cette remarque.

Il existe d^ailleurs dans le système (4o) 2(M-h/? — 3) courbes qui touchent y en z et en un autre point y y ce qui nous donne une correspondance

Comme, d'autre part, nous avons trouvé une correspondance (2N,aN)j|^ représentée par ^^^=0, le nombre des groupes ternaires cherchés devrait être d'abord égal à

= 8N(Mh-/^ — i)— 8(M — 2)(M — 3)-.8(M-6)/?.

Mais dans ce nombre sont compris, chacun comptant deux fois, les groupes ternaires déterminés par (42); car, s'il existe un nombre simplement infini de courbes tangentes en z et passant en outre par X et j , il y a parmi elles, en toute hypothèse, une courbe qui est tangente à la courbe primitive en .r et une autre qui lui est tangente en y. Si donc nous retranchons du nombre trouvé le double du nombre (42), le nombre cherché ici sera égal à

(43) 8N ;M -{~p — i) — ia(M — 2) ( M — 3) — i2(M — &)p.

Ce nombre donne en même temps, comme il est aisé de le voir, le nombre des points x de fpour lesquels deux des N couples de points correspondants ( 4 1 ) sont situés infiniment près les uns des autres. Si en effet une courbe du système triplement infini passe par X et est tangente en j- et z, elle appartient en même temps au faisceau déterminé par^ et à celui déterminé par z -\- dz qui fait

(*) 11 n*est pas non plus nécessaire que cette autre correspondance soit représentable par réTanonissement d'une fonction entière. [Voir la note de la p. iio.)

Dans la circonstance que nous avons reconnu la représentabilité des correspondances qui se rencontrent ici, sous la forme .Ç ^, = o, se trouve précisément la grande utilité des explications qui précédent pour les questions qui s'offrent actuellement; car c'est par U seulement que la formule de correspondance devient applicable. (yoir la note de la page i53, t. II.)

partie du réseau passant par x. Mais ce dernier faisceau a un autre point de base dans le voisinage de y y et ce point doit en même temps être situé sur y, puisque la courbe de ce faiseeau de laquelle il a été parlé passe par le point j^ -4- dy voisin de y sur y. Donc les points j^, z d'une part et les points y-^dy^ z -h dz d^autre part forment un des N couples de points qui répondent à x.

D. On demande d'obtenir sur f le nombre des groupes quaternaires par lesquels passe un nombre simplement infini de courbes du système [A^), c'est-à-dire le nombre des solutions communes du système d' équations

ril-»^) ?i(/) ?i(-) ?i(Ç) Xi

7î(-^) ?t[jr)

fîl--')

Ta(5)

les quantités X/ étant des grandeurs arbitraires, de telle façon que Ton puisse remplacer cette dernière relation par l'évanouissement de tous les déterminants mineurs du déterminant

Zdiç,{x)cf,(j)ys(^)9i(0-

Par tout point z de /passe une courbe 4^^, =: o, qui possède,

d'après(44)) en j = zun point de M — 4 ^^l^^^s et qui, d'après(4i)»

détermine sur/* aN autres points 7 î*\ j^^\ . . ., j^'^*"*. Ces points se

rangent en N couples, tout point ^^'^ formant avec un autre point,

que nous désignerons parj^^^"^*' = x^'\ un couple tel que par j^'s

x^'^ et z passe encore un nombre simplement inifini de courbes du

système {^o). Construisons maintenant pour chaque point j^^'^ la

courbe correspondante ^^(')yi= o, qui est à l'égard de j^^'^ ce qu'est

4^-^ = 0 par rapport à z. Cette courbe s'évanouit M — 4 ^^^^

en y^'^ = n, passe une fois par x^'^ et par z et détermine en outre

sur/par ses intersections 2N — 2 points y? (non situés sur 41 «/ = o)

qui se rangent de nouveau en couples yj, Ç. Désignons par Il^r, k

produit de toutes les expressions ^j^'^yj; alors l'équation

n,, = 41r'*''J- 4Lr<^''î • • • 41rt^''yj 4l*'"ii 4L*'*'v • • 4L*'^'S = « représente une courbe correspondant à z qui s'évanouit M — 4 + *

LA CÈOMlîmE SCA ENE CODIBE ALCfBRlQCE. IO7

l'ois CD tout point ^^'^ et aN fois en Zj et qui de plus détermine sur^par ses intersections aN(2N — a) points n, cl;^acun comptant une fois. Sî l'on prend parmi ces derniers un point Ti et le correspondant ^, on a, en partant d'un point jr^'\ les relations suivantes. Les points z, j^^'^, x^'^ forment un groupe ternaire de l'espèce considérée dans l'hypothèse A; les points j^^'\ y?, Ç forment un second groupe ternaire ainsi défini : toute courbe du système triplement infini qui passe par j^^'^ et z passe aussi par x^^\ et toute courbe qui passe par j^^'^ et m passe aussi par ^.

Actuellement, pour des positions particulières de z, il peut arriver que n coïncide avec z, et alors chaque courbe menée par j^^'^ et z passe aussi bien par x^'^ que par g, c'est-à-dire que les points z, l^'\xf'^, ^ forment un groupe quaternaire de l'espèce cherchée. Toutefois y? ne doit pas ici se confondre avecj^^'\ c'est-à-dire se trouver parmi les points découpés sur /"par ^«rj = o, points par chacun desquels, d'après ce qui précède, 11.,, passe M —*3 fois. Les points cherchés z sont donc les points de coïncidence de lu correspondance représentée par l'équation

correspondance qui, d'après les remarques ci-dessus sur Il^rp possède en 3 = >3 un point de la valeur

2N — (ivi — 3) (M — 4) = 2 (M — 3) - 2/1.

Le nombre de ses points de coïncidence est, d'après les explications données dans l'hypothèse C, égal à

= 2(M— i){M — 2){M — 3)(M — 4) — 4/?{2M*— iiM4-i3)-f 4/;».

Mais si ys coïncide avec z, il peut arriver en môme temps que le point correspondant Ç coïncide avec x^'\ cas où les deux groupes ternaires z, j^'\ x^^^ et j^^\ «, Ç deviennent identiques ; jr^^^ est (ionc alors un des points considérés dans l'hypothèse C, pour lequel deux des N couples correspondants (40 se confondent. Nous avons par suite encore à soustraire du nombre trouvé le nombre (45). Comme d'ailleurs les points z, j", x, \ entrent symétriquement dans chacun des groupes quaternaires restants, il

X08 TOMK 111. — CHAPITRE 1.

nous faut encore diviser le reste par a. 3. 4 = 24. Le nombre des groupes quaternaires cherché se trousse finalement, d'après cela, être égal à

(46) -i(M - 2) (M - 3)'(M - 4) - lp[iM-3) (M- 4) - /, + .].

Ces résultais étant ainsi obtenus à l'égard de deux correspondances simultanées et du nombre de leurs coïncidences, nous en ferons actuellement usage pour la considération simultanée de trois correspondances entre trois points x, j', z de la courbe primitive (p. 77). A ce sujet se rattachera Texamen d'un exemple très instructif pour la théorie des systèmes spéciaux.

Soient donc données les trois équations

(47) Çll-^iJi^j^O» ?«(^,J,2) = 0, ç>3(a:,J,5)i=:0

et

trouver le nombre des groupes ternaires composés de trois points situés séparémenVqui satisfont simultanément àcesj stème d'équations. Supposons que, en vertu des conditions ^i = o, cpa = o, q.3 == o, à tout couple de points x, y respondent respectivement fXi, [i2t p3 points z de f non situés en x ou j^, qu'à tout couple j", z répondent de même respectivement X|, x,, -/^ points a:, et à tout couple z, X respectivement X|, Xj, X3 points j). Admettons ensuite qu'une équation cf/ = o s'évanouisse à Tordre «/ pour^' = z, à l'ordre j3/ pour z = x, à l'ordre y/ poura: = j'. Supposons en outre, pour plus de simplicité, que les courbes répondant à j-z^ z-x ou x-j en vertu des équations (47) passent par tous les points doubles de /= o ( * ) .

L'élimination de x^ y on z entre ^^ = o, yj == " ety=o nous donne d'abotd les équations (-)

(48) ■Ciî(r»2) = o, 4^,j(z,x) = o, ^„(x,^) = o,

(*) Les modifications qu'il sera nécessaire d'apporter dans le cas contraire, principalement aux nombres (^fifti)sry ^^^*> ^^°^ faciles à déterminer, d'après ce qui a été dit p. 91.

(') Sur l'emploi de semblables correspondances représentées par des fonctions fractionnaires, 'voir ce qui a été dit plus haut, problème C.

LA GÉOMÉTRIE SUR t5E COVRBB ALGÉBRIOOE. 109

OÙ les fonctions 4^/;t (comme à la page 92) ne sont pas nécessairement des fonctions entières. Le nombre des points x qui sont associés à un point z en vertu de ^^^[z^x) =.0 est alors égal à (?i<Ç2)arj» ce dernier nombre désignant le nombre des couples de points x^j qui, dans Thypothèse de z fixe, satisfont simultanément aux correspondances ^i = 0,^2 = o» en sorte que l'on ait

C'est également là la mesure du nombre des points j' qui répondent à z en vertu de 4^13 (^, z) = o, et la signification correspondante se retrouvera dans les nombres suivants :

( (?/■?* )r- = Vf**-+- ^'Af*/— ïa/a*/?.

i49) \ {?i?k)zx= l^i^k-^ H''^i'— ^pipkPj

Désignons ensuite par [j^2]/;t la multiplicité de valeur du point y = z dans l'équation ^/^(x, z)=zo, c'est-à-dire dans le résultat de l'élimination de x entre les équations y/ = o, 9/^=0; nous aurons alors, d'après (27),

[zx]ik = Pi^k 4- pk\ — 7/ a* — 7k^n [^j]ik= 7/PA-*- VAf*i — «/?A— «aS,-

Par le point z et par chacun des (7i9a):r/ points x associés à z en vertu de •^^(•^t^j^) = 0, faisons passer la courbe Çs [x,y^z)=zo qui correspond à ce point a: et à ^. Toute courbe de cette espèce a encore X3 autres points d'intersection j^, tandis qu'en outre 73 sont situés en x et «3 en z. Le produit de toutes ces courbes égalé à zéro, ou autrement dit le résultat de l'élimination de x entre t«2(j^,jr) = o, ©3= o et/(j:) = o,

p étant égal à (?i92)ar/? représente alors une correspondance entre / et 5, en vertu de laquelle à un point z de la courbe primitive sont associés (^a-f- y3)(?i^2)x/ points y. Parmi ces derniers, T'(?«?2)x/ sont situés aux points de rencontre x de la courbe •Cl 2 («^j 2) = o avec y*; à cause de ces points qui tombent en X = j, nous aurons donc plus tard à opérer une réduction. En

110 TOME m. — COAPITRB I.

y=^ z la correspondance 13^-2= o a d^ailleurs un point de la mulliplicité de valeurs 0L2{^i^*i)xx' Le nombre des points z qui, inversement, répondent à j^ ne doit pas être immédiatement tiré de l'expression choisie pourllj,, parce que les quantités x^^\ x^'\...^ x^^^ dépendent encore de z, mais ce nombre doit être égal au nombre des couples de points x-z qui, en vertu des équations 4^1 2 (j^, z) = o, ^3= o, répondent à un point j^ donné, et dont Ic-^ points z ne sont pas situés enj^ (les points homologues xne pouvant d^ailleurs se confondre avec z, mais le pouvant avec r), c'e-^là-dire que le nombre en question sera égal au nombre

La correspondance Tlys'=o doit nécessairement être satisfaite pour qu'il existe par rapport à j-, ^ un troisième point x tel que le groupe ternaire Xjjy z satisfasse aux trois équations 9,== o. \}ne seconde correspondance nécessaire de cette espèce entre j^', ^ est donnée par la condition 4^,2{^j^) = o, et cette correspondance est de la forme

Nous trouverons par suite le nombre de leurs couples commun^ à toutes les deux égal à ( * )

(^) On peut au88Îy en fait, employer directement la formule relatiye à (^9') pour la détermination des couples communs de deux correspondances données sous la fonnf

^, 4' passant respectirement par tous les points de rencontre de Y, Y' avec/, tandi» que la réalisation de la division n'est pas possible, à cause des circonstances qai ^ présentent aux points flxes, etc.

Soient, en effet, les correspondances ^, Y, «', Y' respectivement caractérisées par les nombres

il faudra retrancher du nombre des couples communs des correspondances ^. ^'< c'est-à-dire du nombre

(«-ha)(*'-t-/8')-h(a'-+-a')(*-*-/S)-2(cH-v)(c'-f./)^:

LA CtoMÉTRIB ftCR l'XE COVRBB ALCÉBRIQCE. i 1 I

Ce nombre indique combien de couples de points x-^z en 4^12(0:, z) forment conjointement avec un couple j-^ en -dialj) ? ^) un groupe ternaire x-j-z de (^5=0. Mais, pour chacun des (?i^2)x>- couples x-z répondant à z [en vertu de -(Lial-^'j ^) = ^]> il n'y en a qu'un seul, parmi les (çiÇaj^rj couples j-z, qui satisfasse aussi à la troisième équation (48), savoir 41t 2 (-^jj") = <>» c'est-à-dire qui puisse donner lieu à un groupe ternaire commun des trois équations (^/= o. Or, comme nous avons considéré toujours uniformément tous les {^i^2)xx couples, il nous faut conséquemment diviser encore le nombre trouvé par (cf 1 Ça )xy ; ce nombre devient alors égal à

Mais, d'après ce qui précède (p. 109), sont encore compris dans ce total les groupes ternaires pour lesquels x coïncide avecj)'. Cette circonstance ne peut se présenter qu^aux points de coïncidence de Téquation -dia (j^)J^) = o> puisque tous les groupes ternaires trouvés doivent satisfaire à cette dernière, et pareillement aussi chacun de ces

points de coïncidence donnera lieu à un groupe ternaire improprement dit de la nature dont il s*agit, groupe comptant 73 fois à cause du point de y^ valeurs de (fs en x =j^ • On obtient donc le nombre

et enfin, comme ce nombre doit dépendre symétriquement de cpi, 9s, (fi [ce dont on s'assure facilement aussi par le calcul en ayant égard à (49) et (5o)], on a la proposition suivante :

Le nombre des groupes ternaires qui satisfont simultanément

i* le nombre ah' -^ba! — ^cc' p des couples communs de T et T'; 3* le nombre a^'-hbx' — icy* p des couples communs de ^' et Y ; 3* le nombre v! fi-\-V tu. — ic'yp des couples communs de ^ et T'.

n reste tiers de nouveau le nombre ajS' + ^a' — a y//», ce qu'il fallait démontrer.

Ili TOME m. — CBAPITRB I.

aiix trois correspondances (47) et se composent chacun de trois points def séparés les uns des autres, est donné par l'une des trois formules (r, 5, < == i , 2, 3) :

dans lesquelles x,-, 1/, fx/ ont les signijications précédentes, et en

outre (^i<^k)yzi • • •> sont définis par (49)7 [x^J/A? • • m P^^ (^o)- Si en particulier chacune des correspondances est formée symétriquement par rapport à chaque variable, cas ou l'on a nécessairement

'Ai — \i = II,- , a, — Pi z= 7/-,

le nombre des groupes ternaires communs déifient ( * )

Faisons encore observer que la formule (5i) ne cesse pas d'être vraie lorsque les correspondances opi, fa ne sont pas représentées par deux équations particulières^ mais par la coexistence simultanée de trois équations de la forme (48)

♦ (/,3)=io, if'{z,x)=zo, *''{x,jr) = o,

avant respectivement pour nombres caractéristiques

sans qu'il soit nécessaire de les considérer comme le résultat de l'élimination de x, y^ z respectivement entre fz=. o et deux des équations f 1 = 0, 92= o, 93 = o, ainsi que nous l'avons fait auparavant. Actuellement, à chaque point z correspondent m couples x-y qui sont déterminés par 4> = o, 4>'= o, et les deux points de chaque couple sont liés l'un à Tautre par l'équation 4>^= o, etc. Dans l'établissement de la formule (5i)^ nous n'avons efiectivement fait nulle part usage des équations cpi = o, ^3=0, mais seulement des équations (48). Si donc on adjoint à4> = o, <I>'=o,

( * ] Ces formules ont été obtenoes par une autre Toie, ainsi que les formules correspondantes relatives aux groupes quaternaires communs de quatre correspondances! par Bull, Math, ÀnnaUn, t. Vf, p. 56.

LA GÈOMÉTIIB ftOH UNE COOBBE ALGÉBRIQCE. I l3

4)^'= o une correspondance cf =: o (au lieu de cpa dans la démonstration précédente) possédant les nombres x, X, jji, a, |3, y, on obtient encore pour le nombre des groupes ternaires communs la formule

(53) (♦♦'♦*, f) m Ax 4- Ta -h /Wfx — 2^(fla -f- ^p-f c/), en posant dans (5i)

(?l?l)r5=^> (?l?«)x;r==^ (î'lfl)xr='«* [r^llî— «> [2''?]ll=*> X3=X, Xs=>, f*3=/*, «3=»» p3=f3> 73=7»

et dans le cas de la symétrie on déduit de (53) la formule

Cette dernière remarque nous sera précisément utile pour la solution du problème suivant :

Etant donné un système linéaire f/uadruplemeni infini de courbes,

(55) «1?!+ aîfi-+-a373+ «*?*-+- afi7i^= o,

qui rencontrent f en M points mobiles et sont adjointes à f^ on demande de déterminer sur f le nombre des groupes ternaires par lesquels passe un système doublement infini de ces courbes, cest-à^ire de trousser le nombre des systèmes de valeurs x, y^ z satisfaisant au système d' équations qui suit ( * ) :

1 ffx[^) ?î(«) ?3(-) nf-) n[^)

(') En fait, U solution de ce problème est généralement possible (comp. p. 117). A l'aide des formules correspondantes, relatives à quatre correspondances, on trouve traité dans Brill, loc. cit., le problème qui consiste à déterminer le nombre des groupes quaternaires situés sur f, par lesquels passent des courbes en nombre triplement in/ini, faisant partie d'un ensemble linéaire sextuplement infini adjoint k f. Une formule générale, pour le nombre des solutions d'une matrice à K lignes horizontales et R+ i lignes verticales, dans le cas où existent en outre R équations de la forme (5;), a été donnée dans le Mémoire de Brill et Nôthbr. ( Voir la note de la p. 58.)

Clsmch. — Géométrie, III. o

IIA

Nous désignons par (ia345)a le nombre cherché et d'une manière analogue par (1234)3 le nombre des couples de points j-z qui, dans Thypo thèse de x flxe^ satisfont au système

par [(1234)3(345)9] le nombre des groupes ternaires qui satisfont en même temps aux équations ( 58 ) et à Téquation unique

par [(123)3(34)3] le nombre des groupes ternaires qui satisfont aux systèmes d'équations

enfin par (3)3 le nombre des groupes ternaires de valeurs déterminés par le système

c'est-à-dire par 93(0:) = o, ^^{y) = o» TsC^) = o.

A chacun de ces systèmes d'équations, il faut naturellement adjoindre encore les équations (5^), ce que nous ne rappellerons plus expressément par la suite.

Actuellement les solutions du système (56) sont, en toute hypothèse, comprises parmi les [(1234)3(345)3] solutions communes des équations (58) et (Sg), car, d'après une proposition mentionnée plus haut (p. 54), toutes les solutions communes d'une matrice à q lignes verticales et /r lignes horizontales {^q^h) sont comprises parmi les solutions communes de q — /: -f- i déterminants mineurs d'ordre k de la matrice, indépendants les uns des autres. Or, dans notre cas, nous avons y = 5, /r ::= 3, d'où q — ^ A -f- i = 3i

LA GiOMÊTKIK 8CB 0K£ COCRBB ALCiBRIQIJB.

Il5

et le système (58) représente précisément, d'après le même théorème, deux équations indépendantes Tune de Tautre. Parmi les [(i334)s(345)s] solutions précitées, se trouvent encore celles qui satisfont au système (60) sans satisfaire en même temps à toutes les équations ( 56), ainsi qu'on l'établit à l'aide de la proposition en question. Dans les solutions de (60), sont également englobées celles de (61), bien que ces dernières ne satisfassent pas aux équations (58) et (59). Il faut donc retrancher du nombre [(ia34)j(345)8] le nombre [(123)5(34)3] — (3)3 pour obtenir le nombre (ia345)3, c'est-à-dire que nous avons la formule ( *)

(6a) (12345),= [(ia34).(345),] - [(i23),(34),] + (3),.

Nous avons maintenant à exprimer les nombres qui figurent dans le second membre au moyen des nombres M et p. £n premier lieu, (3)3 est égal au nombre des groupes ternaires que l'on peut former avec les M points d'intersection de f 3 = o avec^*, d'où

(3)3=gM(M-i)(M~2).

Dans (60), l'évanouissement du déterminant ternaire nous représente une correspondance symétrique <f{^9y9 z) = o^ à l'égard de laquelle, d'après le mode de notation employé dans la formule (54) > on a

D'un autre côté, l'évanouissement de la matrice est équivalent à deux correspondances qui sont représentées par trois équations ♦ = o, ^^ = o, *" =. o, savoir

Ma

A z, par exemple, répondent, en effet, tous les M — i points

(*) foir, pour l'éUibUsftemeiit de pareilles formules, Sàlmon, Geometrjr of three dimensions. Une formule plus générale a été donnée par Brill, Math, jinnalen, t. V, p. 378 et suiv. Nous avons déjà traité un exemple très-simple, t. II, p. ii3.

1 16 TOHB 111. — CHAPITRE I.

d'intersection de ^s{^)^*{j') — ^a(^)^9{j') = ^ "^on situés en Z; chacun comptant M — 2 fois, puisque chacun de ces points forme avec chacun des autres un couple x-j répondant à z; il faut donc, dans (54)» poser

X=:(M — i)(M — 2), a = M — 2, et il vient, en conséquence (*),

[(ia3),(34).] = ^ (M - i)(M - 2)»-/,(M - 2). Nous avons de même, pour la détermination du nombre

la correspondance particulière (59) possédant les nombres

et deux correspondances représentées par les trois équations

J^ijTf z) = o, par exemple, étant la courbe qui, d'après ce qui a été dit sous les rubriques A et C (p. 102 et suiv.), détermine sury= 0 les couples de points x-y qui répondent à z, en vertu du système (58), en sorte que Ton a respectivement, d'après (40 et (44),

A =: (M — 2) ( M — 3) — 2/>, fl = M — 4,

d'où, suivant (54), [(i234),(345),] = [i (M - 2)(M - 3) ~/.](M - 2) -/>(M- 4). En ayant égard à (62), il vient finalement, pour le nombre des

(*) Mous n'avons pas encore considéré de correspondances appartenant à l'espèce qui se présente ici, où dans le premier membre figurent des puissances parfaites; mais nos formules demeurent exactes, pai*ce qu'on peut faire dériver ces correspondances d'autres correspondances par passage à la limite. On pourrait, du reste, dans le cas du texte, considérer d'abord exclusivement les correspondances données par l'évanouissement de déterminants simples. 11 suflit alors, à cause de la complète symétrie qui existe, de multiplier le résultat par M — a.

LA GÉOHtmiB SUR IJ!<B COCRBB ALG^BBIOVB. 1 T7

groupes ternaires cherchés^

Le problème traité en dernier lieu est un cas particulier du problème plus général formulé plus haut : sur la courbe primitive déterminer R points G*^, tels que les courbes qui passent par eux dans une famille t fois infinie forment une famille q fois infinie (p. 56). Nous avons trouvé comme condition nécessaire pour la résolubilité du problème

et cette inégalité est ici satisfaite en réalité^ car nous avons à poser

Le problème en question présentait un intérêt particulier pour les systèmes de courbes adjointes du (/i — 3y*«n« ordre, et cela comme conséquence de l'applicabilité du théorème de Riemann et Roch aux systèmes d'intersections de ces courbes. De leurs 2p — a points de rencontre, p — i sont déterminés par les p — i autres; nous avons donc à prendre

au moins dans la supposition que Tensemble quadruplement infini donné de courbes G„z ne soit pas en relation spéciale avec la courbe primitive; et cet ensemble est fixé par p — 5 points quelconques de/*. Ces derniers forment avec chaque groupe ternaire de l'espèce déterminée par nous un groupe spécial Gi^ de points, par lesquels passe un nombre doublement infini de courbes adjointes Gff 3, c'est-à-dire que nous avons

Les équations du théorème de Riemann et Roch (p. 59.)

donnent ensuite

Par les ^p autres intersections de ce système doublement infini

Il8 TOME III. — CHAPITIB 1.

passe donc un nombre simplement infini de courbes adjointes C«3, et les groupes Gr= G;,2 forment eux-mêmes un système simplement infini g^p-^\ mais il existe un nombre t fois infini de systèmes de cette dernière espèce, r étant égal à

/? — (^ H- l)(rH-i) =/?— 6.

Inversement, on peut aussi partir du problème où il s^agit de trouver des groupes G^,, par lesquels passe un nombre simplement infini de courbes adjointes C^.s, et ce dernier problème dérive précisément de celui traité (^problème D), pour M = /7-f2 (p. io6 et suiv.). Le système triplement infini donné est ici fixé i^dîT p — 4 points quelconques de /, et ceux-ci forment avec chacun des groupes quaternaires cherchés un semblable groupe spécial G^, tandis que, par les autres p — 2 points, peuvent être menées des courbes C/i 8 en nombre doublement infini. Nous avons traité déjà avec détail cette relation (p. 47)7 et nous avons montré que le nombre des groupea ternaires (63), répondant à p — 5 points fixes, c'est-à-dire (à cause de M = /? 4- 3)

doit se confondre avec le nombre (46) des groupes quaternaires répondant k p — 4 points, c'est-à-dire (à cause de M = p-f-a) avec le nombre

lp{p-^)\i{p-^)[p-^)-{p-^)\

pour T = o. En effet, p étant égal à 6 si t = o, les deux nombres deviennent alors tous deux égaux à 5 ; et pour p = 6^ s'il s'agit de systèmes d'adjointes C„3, les deux problèmes peuvent, en outre, être ramenés l'un à l'autre.

Pour p :r= 5, les deux nombres deviennent égaux à zéro; il n'existe donc plus de groupes spéciaux de l'espèce en question, ce qui concorde avec les résultats obtenus antérieurement.

y. — Sur les systèmes de points d'intersection des courbes algébriques.

La base essentielle de nos recherches relatives aux systèmes de points sur une courbe donnée a été le théorème énoncé t. II,

LA GÉOHtTlIS SCI VUE COIIBBI AIXSÉBRIQOX. IIÇ)

p. i3i, et d'après lequel, parmi les points d'intersection d'une courbe donnée du w'*"** ordre /== o avec une courbe du m^"*' ordre çui doit passer par i points doubles de la première sans y avoir elle-même de points multiples, il y en a

1® dans le cas de m^n — 2, -(/t — i)[n — 2) — ^ au plus,

2® dans le cas de m<in — 2, mn fw(/n + 3) — $ au plus,

qui sont déterminés par les autres.

Si Cm devait passer par tous les points doubles, on en déduisait les propositions relatives aux courbes adjointes, propositions où le genre de la courbe f= o jouait un rôle important. Si nous nous sommes d'une manière générale borné à ces dernières, c'était d'abord parce que beaucoup de questions prennent une tournure plus simple à l'égard des courbes adjointes, mais surtout parce que les systèmes de points d'intersection des courbes de cette espèce présentent le caractère de l'invariance vis-à-vis des transformations uni-déterminatives de la courbe primitive (p. 20), tandis que, àTégard des courbes non adjointes, la même chose n'a pas lieu sans restriction. Si, en effet, dans Tensemble des groupes de points déterminés par de semblables courbes, un groupe renferme l'un des points doubles de la courbe primitive n'appartenant pas aux points fixes du système, en ce point se confondent immédiatement deux points du groupe. Si donc nous résolvons le point double, par une transformation uni-dé terminative, en deux points séparés ^, n d'une nouvelle courbe, à chaque ensemble de groupes de points sur cette nouvelle courbe correspond un ensemble qui présente, par rapport à Ç, y], cette particularité que chacun de ses groupes comprenant ^ comprend aussi nécessairement m et réciproquement. Un système de cette espèce ne peut donc plus être défini qu'à l'aide de nouveaux points fixes ( $ et 13 précisément).

Nous nous proposons maintenant d'utiliser, dans un autre ordre d'idées, le théorème précité, sans nous restreindre aux courbes adjointes. Nous examinerons en particulier de plus près les relations qui existent entre les points d'un système d'intersections, et

nous énoncerons le théorème ci-dessus sous une forme plus générale. A ce sujet se rattacheront différentes applications qui nous ramèneront, entre autres choses, au tracé des courbes par des faisceaux projectifs qui a été donné par Chasles. Nous aurons en même temps Toccasion de formuler d'autres questions connexes à nos précédentes recherches.

Nous ferons d'abord observer que le théorème précédent, d'après la manière dont il a été établi, a lieu indépendamment de la question de savoir si la courbe primitive est ou non réductible. Ainsi on peut, sur toute conique, choisir complètement arbitrairement huit points pour intersections de cette courbe avec une courbe du quatrième ordre; au contraire, sur une courbe du quatrième ordre, se décomposant en deux coniques, trois points d'intersection avec une autre courbe du quatrième ordre sont déterminés par les treize autres. Si donc, dans ce dernier cas, on a pris arbitrairement sur Tune des coniques huit points d'une courbe C4, on ne peut plus choisir arbitrairement que cinq points sur l'autre conique. D'un autre côté, si C4 passe par i, 2, 3 ou 4 points de rencontre des deux coniques, il y aura respectivement 12, 11, 10, 8 points d'intersection arbitraires, et 2, 1,0,0 déterminés respectivement par les autres (^ ).

Notre théorème fondamental peut d'ailleurs s'énoncer sous une forme plus générale, si nous ne supposons pas, comme auparavant, qu'awe courbe Cfi{f = o) soit donnée comme Jixe, ainsi que nous l'avons fait déjà pour m=: n dans la proposition d'après laquelle

toutes les courbes du /i'*'"* ordre qui ont en commun - ;i(/i -h 3) — i

points passent par - (n — i)[n — 2) autres points déterminés (t. II,

p. i33). Si, en général, mn points (m étant plus grand que n) doivent être situés sur une courbe C/2, il existera nécessairement entre

leurs coordonnées mn /i(w-+- 3) équations, car la courbe C»

(*) Lorsque la courbe primitive se réduit à des droites, le contenu de ces propositions sur les points d'intersection peut se formuler dans ce qu'on appelle le tkéO' rème de Carnot, {f^oir Salhon, Uigher plane curves, art. 124, ainsi qu'une remarque dans la Section suivante, sur le théorème d'AbeL)

LA GBOMÉTRU lim ONE COOaBB ALCEBRIOCB. lai

est déjà déterminée par -7i(;i 4-3) points. Si, de plus, les mn points

doivent être situés sur une courbe d^ordre m, on peut toujours remplacer cette dernière, la courbe Cn étant actuellement donnée, par une courbe (t. II, p. i3o) dépendant seulement de

mn [n — \)[n — i) constantes.

Entre les mn points existent donc encore - (« — \)[n — 2) autres relations, en sorte que Tensemble de ces dernières devient égal à

mn /?(«-f-3)H — [n — i)(/ï — 2) = mn — 3/i -H i.

Pour m:=^ny au contraire, nous avons un ensemble infini de courbes C« passant par les n^ points, et conséquemmen t (/i — i )(/i — 2) relations seulement entre les 2/1^ coordonnées des rî^ points; alors,

en effet, -(/i — i)[n — 2) sont encore déterminés par les autres,

comme cela doit être. Nous avons donc le théorème suivant (^) :

«Si mn points sont situés sur deux courbes, l'une d^ ordre m, l'autre d'ordre n, ces points n'étant d'ailleurs assujettis à aucune autre condition et étant des points simples des deux courbes, il existera^ pour le cas de m^n^ entre les iimn coordonnées des mn points mn — 3/i -+- i relations; mais, pour m = n, ce dernier nombre est égal à n^ — 3/1-4-2.

Si actuellement la courbe du /i'*"* ordre est donnée comme fixe, mn /i(/i-f-3) équations seront absorbées par Teffet de cette

circonstance, et il ne reste plus que les - [n — i)(/i — 2) relations

mentionnées en dernier lieu ; cn même temps chacun des mn points ne dépend plus que d^un seul paramètre. Il suit encore de là que

-(/i — i)[n — 2) points sont déterminés par les autres.

(*) Foir Jacobi : De relationibus quœ locum habere debent, etc. {Journal de Crelle t- 15, p. a85.)

TOMI m. — CHAPITM I.

Il est, au surplus, facile d^établir effectivemeut les mn — 3n -f- 1 relations entre les mn points

xi*\ x(*'\ . . ., xi^) [(L étant égal à m/i),

car, si nous désignons par

Tj{x) = o, Y,(x) = o, . . . , V^i(j^) = o I V étant ^al à - /i(/i -H 3) h

les équations de v -4- 1 courbes du ti'*"** ordre linéairement indépendantes les unes des autres, en sorte que, par exemple,

l'ensemble des courbes du ti**"* ordre est représenté dans le système infini d'ordre v

«l'ï'il^) -+- «t'ï'it-a^) 4-. . • 4- av+i^Wi(^) = O.

Par conséquent, les conditions pour que jx = mn points x^^ soient situés sur une courbe C;i sont données par le système surabondant d'équations

'r,^,(:rC))

Wi{xW) Y,(a:(«')) ... T^,(x(»^))

où, dans le premier membre, figure une matrice à v-4-i lignes verticales et fi lignes horizontales. Ce système comprend, en effet, d'après une proposition précédente (p. 54), seulement

H — y = mn /i (tî -f- 3 ),

Jm

équations indépendantes les unes des autres, comme celles, par exemple, qui proviennent de la condition

^.(xe)) ...

Y,{xC))

. yv+,(x('))

. Tw.,(x<")

LA GÉOMfTin m VHB COOIBB âLG<BIIOC«. ia3

si Ton attribue successivement à l'indice i toutes les valeurs depuis I = V -f- I jusqu'à i = ji. Ot ces dernières équations veulent simplement dire que les points x^*^'^\ . . . , j:'*'* doivent être situés sur la courbe C» déterminée par les points x^*\. . ,yX^^\ Soient encore

Xi(j:)=:0, xtW=o, ..., Xj.-KH-iW=o 7rétantégalà^(/f— i)(/i— a)

les équations de [x — tt + i courbes quelconques G^ linéairement indépendantes les unes des autres. Alors l'ensemble des courbes Cm est représenté par le système

(4) «iZi('^)-+-«iZt(j^)H- ..-f-«p«+iZH--«+i(x)-f Av(x) = o,

A étant du (m — «)**"• ordre en x ; et les autres ir ~ - (/i — i) (/i relations apparaissent sous la forme

Zi(^^''>) Xit^^»*^) .-. X^^ii^^^^)

D*après un théorème plusieurs fois cité, le nombre des équations indépendantes les unes des autres est, en fait, égal à ir. Nos mn — Sti + 1 relations sont donc données par les équations (3) et (5).

Lorsque m = n^ ce résultat prend une tournure un peu différente. Si, en effet, n^ points doivent être situés sur deux courbes d'ordre n, ils se trouvent avec un (n^-+- ly*"* point quelconque du plan sur une certaine courbe G/,. Donc, pour m = n^ nous avons lesrelations (voir les équations du problème D, p. 106) :

. '•'^.(xC))

T,(xC))

^.(xfr')

V,(xW) ..

. V^ilxCi*))

Xy+i

OÙ les X|- désignent des quantités quelconques, et où fi = n^. Le

TOUR III. — CnAPITKB I.

nombre des équations indépendantes les unes des autres est, en conformité avec ce qui précède, égal à (/i — i)[n — 2) = /i' — 3/i 4- 2. On est conduit à un système d'équations analogue à celui du cas traité en dernier lieu (en tant que celui-ci exigeait l'évanouissement de tous les déterminants mineurs d'une matrice) par Texamen du problème suivant :

Etant donné un ensemble linéair'e t fois infini de courbes du

on demande de déterminer dans le plan des groupes de R points, tels que par ces points passe un système q fois infini de courbes 0*^ du système donné ( q étant plus grand que t — R ) . Ce problème est exactement analogue à celui qui a été traité page 53, si ce n'est qu'alors les R points étaient soumis à la condition restrictive de se trouver sur une courbe C„ donnée, et il conduit de même à la condition que tous les déteBminants mineurs d'ordre t — q -\- iA\x tableau

soient nuls. Cela fournit (^-|-i)(R — t + q) équations indépendantes les unes des autres entre 'iR inconnues, les 2R coordonnées des R points. Pour que la solution soit possible, il est donc nécessaire que l'on ait

aR^(74-i)(R — r-1-7).

Il n'a pas encore été fait d'étude détaillée sur le nombre des solutions dans les divers cas particuliers ; ces cas devraient d'ailleurs être traités à peu près comme l'exemple de la page 1 13(').

Les modifications que subissent ces considérations lorsque Tune des courbes étudiées passe par des points doubles de l'autre ne

(*) Nous apprendrons incessamment à connaître un exemple concernant la solution du problème posé dans le texte; nous parlerons aussi encore du cas où les m* points de base d'un faisceau de courbes G doivent se trouver sur une courbe fixe C,,(a > m).

LA GÊOMÉTBIE 80a UNE COVBBB ALGÉBRIQCE. ia5

sont pas dlfBciles à indiquer. Si un point déterminé doit être un point double d'une courbe, cela équivaut, comme on sait, à trois conditions (t. II, p. 46). Ainsi, par exemple, si y doit être un point double du système (1), on aura nécessairement les trois équations

I nr 1,2, 3.

Donc, pour j' = x^*^, figurent dans la matrice (a), au lieu de la première ligne horizontale, trois lignes horizontales provenant des premiers membres des équatious (8). En même temps, parmi les fx points du système d'intersections, deux tombent en x^'^,en sorte que nous n'avons plus à considérer que ^ — i points séparés. De même nous n'avons plus, en cas de survenance de i points doubles de C„, que ^ — 5 points séparés ar^'^ A la place de la matrice (a) se présente donc alors une matrice à /ix + <} lignes horizontales etv + i lignes verticales, matrice dont l'évanouissement est par suite équivalent à /tx — v + ^ conditions. Si, en outre, il doit se rencontrer dans le système d'intersections d' points doubles de Cm dont aucun n'est situé en un point double de C», le système en question ne se compose plus que de }x — d — ^ points séparés. La matrice qui figure dans ( 2 ) ne renferme donc alors que ft-f-5 — d' lignes horizontales, et le nombre des conditions représentées par son évanouissement sera égal à

De même à la place de (5) se présente une matrice à jix -h J — ^ lignes horizontales et fx — ir + i lignes verticales.

Le nombre des conditions figurées par l'évanouissement de cette dernière matrice sera donc égal à

Par conséquent j dans le cas considéré ici, le nombre total des conditions qui existent entre les mn — 5 — ^points est encore égal àmn — 3 72 H- 1 . Si la courbe C,i est de nouveau donnée comme

ia6 TOMB m. — CHAPITRE I.

courbe fixe, mn 7i(«-4-3) + ^ conditions sont considérées

comme satisfaites par là même ; il reste donc encore

relations; ce qui redonne le théorème cité en commençant.

Corrélativement aux théorèmes concernant les intersections de deux courbes algébriques, et par déduction de ceux-ci, on peut établir de nombreuses propositions relatives aux intersections de trois courbes ou plus. Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples présentant un intérêt particulier à cause de leurs applications. Ces dernières se réfèrent au problème d'engendrer une courbe algébrique donnée par des faisceaux d'ordre inférieur, d'après le procédé de Chasles que nous avons déjà abordé pour les courbes du troisième ordre. l^Foir t. II, p. gS et 269.) Nous démontrerons d'abord le théorème suivant ( * ) :

Une courbe du n}^^^ ordre dans laquelle on a n>p et n>(j, mais n<C. p + (}, et qui passe par

pq — -{p -^ q - n — i){p -h q — n — 2)

intersections de deux courbes Cp et Cq d^ ordre p et d' ordre q comprend aussi les autres -[p'\' q — « — i)[p — q — 1 — 2)1/1terscctions de ces dernières (^).

Pour le démontrer, nous prendrons sur C^-(n — q){n ~"?"^^)

points arbitraires, et nous ferons passer par ces points une courbe C/i-y d'ordre n — y, ce qui est toujours possible si l'on an — q <,p]

nous ferons également passer par -(/i — p){^ — P'^^) points de

(*) Ici, comme ea général dans ce qui suit, nous excluons le cas où aux points d'intersection se trouvent des points doubles des courbes considérées; ces dernières pouvant d'ailleurs avoir autre jtart uu nombre quelconque de points doubles ou moltiples, et même se décomposer en courbes d'ordre moins élevé.

(') Foir Cayley, Cambridge and Dublin Math*. Journal, t» III, i843, p% 3ii.

LA CÉOMÉTRll ftCR ONE COUaBB ALCltBBlQUB. 137

Cq une courbe C„^p d'ordre n — p. Nous avons ainsi deux courbes du Al**"* ordre se composant Tune de C^ et Cn^q l'autre de G;, et Cn^p courbes par les n^ intersections desquelles doit passer

toute courbe du /i**"* ordre qui comprend -/i(/i4-3) — i de ces

intersections. Mais on a

(9) \ =a-h i (/!—/?) (//—/) -f- 3) -h i(« — ?)(/! — 94-3) «ëtant égal h pq [p -^ ^ — ^ — ^){p '^ 9 — " — ^)*

Toutes les courbes d'ordre n qui passent par a des pq points donnés et par les points arbitrairement choisis sur C^ et C^ respectivement, passent donc aussi par les pq — a intersections restantes de C^, et C^. Mais ce sont là toutes les courbes du /i**"* ordre qui passent par les a points en question, car le nombre des paramètres linéaires pour l'ensemble complet de ces courbes est égal à

et notre construction précédente nous fournit un nombre y fois infini de faisceaux différents de courbes C/i,

7 étant égal à-(/i— p)(/i— -/>-h3)-*- - (n -- q){n — q -^3) L

et conséquemment en tout un système y + i fois infini de courbes Cfli on a en effet, en vertu de la relation (g), y -f- i = j3. Toutes les courbes Cn menées par les a points passent donc bien par les pq — a points restants, ce qu'il fallait démontrer. Nous avons supposé dans cette démonstration n — q <[p,d'où aussi n — p <^qou ^<^P'^qj ainsi qu'il a été indiqué pins haut. Au surplus, pour n^p-^q — I ou7i = ;>H-y — 2, notre théorème n'énonce rien. Pour n<^q ou n<^p, la construction des courbes C«^ ou Cy,^ cesserait d'être possible.

Il résulte de là en particulier, au cas de p =:^ q ^= //i, que :

Si, parmi les m? points de base d'un faisceau de courbes

d^ ordre m,

a=: m^ ( 2/fi — « — I ) [2m — n — a)

sont situés sur une courbe d'ordre n, n étant plus grand que m, mais égal ou inférieur à 2 m, les autres ni^ — a points de base de ce faisceau sont aussi sur la courbe du /i'*"** ordre.

Avant de faire usage de ce dernier résultat pour des applications subséquentes, faisons observer que dans ce qui précède se trouve renfermée une solution spéciale du problème précédemment posé: déterminer dans le plan Q points tels que par ces points passe un nombre /* fois infini de courbes d'un système linéaire t fois infiai donné. Nous avons en effet ici

/=-/i(/i-i-3), Q=^pq9 r=-/i(/i-h3) — a.

Un groupe ainsi composé de Q points sera précisément donné par tout système complet d'intersections de deux courbes du|i**"*et du y**°** ordre, sous les conditions /i> y, n'^p, n ^p -H y ; au contraire, par un système quelconque de /7^ points passerait un nombre

moindre, et seulement 1 - n(n -\- 3) — pq\ fois infini, de courbes €«.

La proposition énoncée en dernier lieu pour le cas de p = q = m est importante pour la question de savoir s'il est toujours possible, dans le cas de m<^n, de déterminer sur une courbe donnée Cn m^ points tels que par eux passe un nombre simplement infini de courbes Cm, question particulièrement intéressante pour l'étude du tracé des courbes donné par Chasles (t. II, p. 9G). En effet, pour /i<2m, il suffit, d'après cette proposition, de se demander s'il est

possible déplacer a = m'^ (2m — n — i)(2m — n — 2) points

de base d'un faisceau de courbes C^ sur une courbe G/« donnée, les autres points de base étant nécessairement alors sur cette même courbe. Or les conditions nécessaires à remplir pour cet objet sont données par l'évanouissement des déterminants mineurs à t dimensions du Tableau (7), si l'on fait

LA GiOMÉTKlB St'R VRB COOBBB ALGÉBBIQL'E. rag

ce qui donne a (a — £ 4- i) relations entre a inconnues (les a points étant assujettis à se trouver tous ensemble sur G»}. Parmi ces derniers,

iz::~[(2TO — Il)*-h3/î — 2]

restent donc arbitraires, et l'on peut choisir à volonté un pareil nombre des points a sur la courbe G/,.

Si, au contraire, n est plus grand que luiy nous avons dans le Tableau (7)

Ri-m', f=:-/ii(/w-4-3), <7 = i,

et, par conséquent, /ii^ — 3 m 4- 2 relations, c'est-à-dire que le nombre des points qui restent arbitraires est égal à

Si donc on demande de déterminer sur une courbe du /j'*'"' ordre m^ points [m<Cn) tels que ces points Jorment les points de base d'un faisceau du m^^^^ ordre, on peut en prendre arbitrairement sur G„ - [( 2 w — /i )" -h 3 « — 2] aa cas de nS2m, et im — 2 au cas de n> 2m (*).

Après avoir trouvé, conformément à ce théorème, un faisceau de courbes Cmj on peut toujours obtenir un second faisceau de courbes G«to dont les (/i — m) ^points de base sont de même situés sur G/, et qui est lié projectivementau faisceau de courbes G^, de telle sorte que les intersections des courbes correspondantes des deux faisceaux engendrent G/i suivant le procédé de Ghasles. Les courbes du faisceau du m'*"* ordre coupent en effet G» en

(') Foir Chaslbb, Détermination du nombre des points, etc. {Comptes rendus, 21 septembre 1867) ; Gbeiiora, Théorie der ehenen Curven, p. 77 et suiv., dans l'édition allomaode de Curtze. Pour /i = am — i et n=^2m — a, les deux nombres sont identiques ; en sorte que les indications da texte concordent avec celles de Chasles.

Clebsch. — Géométrie, III. 9

m (/i — m) points mobiles. Si nous faisons actuellement passer par

m(n — m) (m — 0("^ — 2) de ces points d'intersection d'une

courbe déterminée C„i du faisceau une courbe Cn-mj celle^i passe

aussi, par là mémey par les -[m — ^){^i — a ) points restants. Car

si C„ est une seconde courbe de notre faisceau, et que l'on décrive

par - [n — m)[n — w-|-3) des (/i — m) m autres intersections de

Ca et C^ (lesquelles ne sont conséquemment pas situées sur Cm] une courbe Cn my nous avons deux courbes du w**"® ordre : Cn et Cm -f- C„m- Or la courbe C^ comprend

H — (n — '»)('* — f^i -f-3)=: nm [m — i ) ('w — 2 )

points de rencontre des deux courbes; elle comprend par suite

encore - (m — *)(''* — 2) autres intersections, et, comme C« passe

par tous les m^ points de base de l'un des faisceaux, il se trouvera parmi ces dernières

- ( 2 wi — n — I ) ( 2 /// — n — 2 ) points communs à C,, et C^, et conséquemment

-(m — Ol'W — 2) (2w — n — i)(2/w — n — 2)

points qui doivent être communs à C;, et C„m' La courbe Cn-n passe donc, en fait, par toutes les m (n — m) intersections de C'„avec C/i ( * ) qui ne sont pas des points de base pour notre faisceau de

( *) C'est aussi ce qui résulte directement du théorème plus général de Gayley : Sig parmi les intersections de deux courbes C„ etC^{m étant < /? ),

mp (^m-i- p — n — i)(/w -^p — n — a)

LA CÉOHiTftIE SUR UXE COURBE ALCI^BRIOCE. l3l

courbes Cm- Par là il est démontré que Ton peut mener une courbe C„^m par les /n(/2 — m) points où C« rencontre Q„. Cette courbe C„^m coupe C^ encore en

[n — m) n — m[/i — m] .- [n — m)* points.

D'ailleurs C„=o, C';„::=o, C«;,, = o étant les équations des courbes considérées et 0^=0 Téquation d'une autre courbe d'ordre m , comprenant les m^ points de base choisis , on pourra déterminer une courbe C'„„^ = o et une constante y. telles que Ton ait identiquement

car nous n'avons affaire qu'à des intersections simples. Mais alors C'„„^ passe également par les {n — m)^ points qui sont situés sur C„ et C/,m, et non sur C^ ('); en d'autres termes, le faisceau C„w -h i C„to = o est projectif par rapport au faisceau

^ffi "+~ ^ ^/« ^^ o

et engendre C^ de la manière demandée. Dans la démonstration précédente, nous n'avons eu égard qu'au cas de /i 52m; il est facile d y ajouter des considérations analogues pour l'hypothèse contraire. Nous nous bornerons à énoncer les résultats ainsi obtenus dans la proposition suivante :

Si les m^ points de base d'un faisceau de courbes C/» se trouvent sur une courbe C/,, il existe toujours un faisceau de courbes ^n~m projectif par rapport au premier faisceau dont les[n — m)^ points de base sont situés de même sur Cn et engendrant ai^ec

sont situées sur une courbe C {p étant <" ), H Y en a encore

-{m-hp — n — i)(m -hp — n — 2)

autres qui se trouvent sur cette courbe, et les m[n — p) points restants sont situés sur une courbe d'ordre n^^ m.

(*) Ce fait est aussi une conséquence immédiate de notre théorème sur les groupes résiduels. (Foir t. H, p. i38.)

l33 TOME III. — CHAPITHE I.

le premier, par les points de rencontre de deux cowbes correspondantes, la courbe C^ ( * ).

Par les considérations précédentes se trouve en même temps fournie la démonstration complète du fait que /oufe courbe Cn peut être engendrée par deux faisceaux projectifs du m**"* et du [n — /»)**"• ordre n^ayant aucun de leurs points de base en un point double de Q„ î '^ peut d'ailleurs prendre toutes les valeurs depuis i jusqu'à n — i .

Le théorème démontré en dernier lieu est évidemment vrai aussi pour une courbe décomposable. Nous nous proposons, pour finir, d'en faire une autre application qui nous conduira à des cas particuliers intéressants.

Soient C| = o, Co -- o deux courbes d'ordre /i. Ces courbes déterminent un faisceau Ci -f- XC2 = o de courbes ayant n' = p-h{/ points de base. Nous choisirons le nombre q de telle sorte que par q des n^ points de base soit précisément déterminée une courbe K3 = o du [n — /•)**"• ordre, c'est-à-dire que nous prendrons

et, par suitc^

(i i) ^ ::^ ;|î - ry z= ~ « f/î -h 2/- — 3) — - r(r — 3).

Faisons passer par les p autres intersections de C| avec Cj une troisième courbe quelconque du ai**"* ordre Ca=o. Les deux courbes C3 et Kj formeront ensemble une courbe C3 K j = o d'ordre 'À n — r, sur laquelle sont répartis les points de base du faisceau Cl -h xG2= o. D'après le théorème démontré en dernierlieu,ildoil donc exister un faisceau du (w — j.yème ordre projectif par rapport au faisceau C| -h x Cg ^^ o, ayant de même ses [n — /•)* points de base répartis sur C3.K3 = o, et engendrant avec le faisceau C| -f-xC2 = o, par les points de rencontre des courbes correspondantes, la courbe C3.K3= o. Soient maintenant K| = o, K2=o

( » ) Foir CuASLES, Deux théorèmes généraux sur les courbes et les sur/aces géométriques de tous les ordres ( Comptes rendus des séances de t Académie des Sciences, 38 décembre 1867).

LA GÉOXIbTan SCR UNS COCBBB ALCteRIOUE. l33

les courbes du second faisceau qui correspondent respectivement aux courbes ( * ) C^ = o. Ci = o du premier; s'élève ici la question de savoir combien parmi les (n — r)* points de base du second faisceau se trouvent sur C3 et combien surK^.

Or, le faisceau C|-l-xC2 = o coupe Cj en n^ — y» = y points mobiles ; il en est donc de même aussi du faisceau K3 + %. K| = o. Les courbes de ce dernier rencontrent en conséquence C3 encore en X = /i (/i — r) — q points fixes, et par suite ^^=z \n — r)* — X points de base du faisceau sont situés sur Kg ; on a d'ailleurs ici en vertu de ( i o ) et ( 1 1 )

/ ^=(,/r)*->r:rl(/* — r)(/I— 3/'-+-3).

En outre, comme Téquation de la courbe C3.K3 =: o doitrésulter de Télimination de % entre les équations

Cl ~f- X Cj :=: o, Kj-f-xKj^^O,

il existe entre C|, C2, Cj, K|, K2, Kj une identité de la forme (i3) «iCiKi -h «jCiKj-f- ajCaKjE^o,

les ai désignant des constantes. Entre les trois courbes Q et les trois courbes K/ règne, d'après cela, une complète symétrie, etnous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si trois courbes d'ordre /i C| , C^, C3 5e coupent aux mêmes points, elles se coupent encore deux à deux en points et déterminent par là trois courbes ^\ y Ko, K3 d'ordre

(*) Lea indices i, 3 sont choisis de telle sorte que l'équation de la courbe K,C, = o apparaisse sous la forme C,K,— C,K„ et que, par suite, entre C„ C„ C„ K„ K,, K, existe une identité de la forme (i3}.

n — /'. Ces dernières, en supposant X et [jl déterminés comme dans (12), passent par fx mêmes points du plan, tandis que les autres X intersections de ces trois courbes, prises deux à deux, sont situées respectiv^ement sur les courbes C|, Cj, C3 (* ).

Pour 72 = 2, r = 1 , on déduil de là cette proposition connue :

Si trois coniques se coupent en deux mêmes points du plan, elle se coupent encore deux à deux en deux autres points ; les

trois droites déterminées par ces couples passent par un même point du plan { ^ ).

De là encore celle conséquence pour /i rr: 3, r ^^ i^ par exemple :

Si trois courbes du troisième ordre se coupent en sept mêmes points, elles se coupent encore deux à deux en deux points; les trois droites ainsi déterminées forment un triangle dont les trois sommets arrivent à reposer respectivement sur les trois courbes du troisième ordre.

Ces applications et ces exemples suffiront pour caractériser le< puissantes ressources que nous possédons dans les propositions sur les points d'intersection en tant que ces propositions s'élendenl à tout le plan, tandis que dans nos recherches antérieures nous raisonnions toujours sur une courbe fixe. Nous passons maintenant à des recherches d'une autre nature, 011 la notion des courbes adjointes présente de nouveau ime importance particulière.

VI. — Les intégrales qui appartiennent à une courbe algébrique.

Nous avons déjà plusieurs fois mentionné la connexion intime qui existe entre la géométrie sur une courbe et entre la théorie de

(') Pour r = I ei r —if ce théorème a été donné par Oliviek, Journal de Creîle, t. 70, p. i56.

(') Ce théorème n'est autre chose que la généralisation projective de la proposition connue, que les axes radicaux de trois cercles passent par un même point (t. I. p. 193).

LÀ GÉOMÉTRIE 81'B UXB COl'RBE ALGÉBaïQCE. l35

certaines intégrales appartenant à cette courbe; nous avons en particulier suivi cette connexion dans ses détails à Tégard des courbes du troisième ordre : l'intégrale elliptique de première espèce, dont le module était lié d'une certaine façon au rapport anharraonique de la courbe, s'est présentée à nous comme se rattachant très étroitement à la théorie des systèmes de points d'intersection (t. II, p. 355 et suiv.). Le développement général des circonstances qui se présentent dans ces questions va nous occuper maintenant, et pour préciser nous traiterons d'abord les points suivants :

i*' Introduction d'une forme déterminée pour les intégrales algébriques les plus générales;

a** Réduction de ces dernières à certaines formes normales ,-

3** Recherche des infinis de ces formes normales.

Les formes normales obtenues seront ensuite réduites à des types encore plus simples, et il nous restera à établir à l'égard de ces derniers le théorème d'Abel, ainsi qu'à traiter ce qu'on appelle le problème de l'inversion des intégrales abéliennes ( ^ ), pour avoir

(*) La théorie des intégrales et des fonctions abéliennes doit être ici| en général, supposée connue. Les considérations purement algébriques sur les différentielles des intégrales abéliennes et le théorème d'Abel seront seuls donnés avec plus de délai! dans le texte. Pour le surplus, nous résumerons toujours brièTement les théorèmes employés, et nous renverrons pour des détails plus approfondis aux travaux originaux sur la même matière et en particulier aux écrits suivants :

B. RiEMAXM, Théorie der AheVschen Functionen {Journal de Crelle, t. 64, et Œu^ vreSy p. 8i); A. Clebsch et P. Gobdam, Théorie der j4beVschen Functionen, Leipzig, j866; Briot, Théorie det fonctions cdféliennes, Paris, 1879.

Pour les intégrales hjrper elliptiques, voir surtout Weierstrass, Journal de Crelle, t. -47 et 52; C. Negmatiic, Théorie der AbeVschen Intégrale, Leipzig, i865; Pktm, Neue Théorie der ultraelliptischen Functionen (Denkschriften der math, phjrs. Classe der Wiener Académie, t. XXIV, i864) et Théorie der Functionen in einer zweiblàt' trigen Floche {^Denkschriften der Schweizerischen Gesellschaft , t. XXII. Zurich, 1866). D'autres cas particuliers ont été traités par Thomas ( Ueber eine specielle Klasse Ahelscher Functionen, Halle '/S 1877, et Ueber eine specielle Klasse Abelscher Functionen vom Geschlecht 3, Halle «/S 1879), par H. W^eber {Théorie der AbeVschen Functionen vom Geschlecht 3, Berlin, 187C), et par Schottkt {Abriss einer Théorie der Abetscken Functionen von drei Variabetn, Leipzig, 1880).

Les travaux ultérieurs de Weierstrass sur cette théorie ne sont pas jusqu'ici connus d'ane manière générale.

il 36 TO^B m. — CUAPITBB I.

à notre disposition tous les moyens nécessaires aux applications géométriques. Observons immédiatement que les propriétés des intégrales qui se présentent ici conservent le caractère invariant vis-à-vis de toutes les transformations uni-dé terminatives de la courbe, ainsi qu^il sera montré plus tard; on verra de nouveau par là le motif qui nous a autorisé à placer la théorie de ces transformations avant les présentes recherches.

Par intégrale algébrique ou intégrale abélienne, on entend une intégrale dans laquelle la fonction sous le signe d^'ntégration dépend irrationnellement de la variable x^ et cela de telle manière qu'elle soit représentable comme fonction rationnelle de deux ' variables x^y entre lesquelles existe une équation algébrique déterminée (la même pour toutes les valeurs de x)

Cette dernière est précisément V équation de la courbe fondamentale à laquelle appartient l'intégrale. Quant à l'intégrale ellemême, on peut toujours, après Riemann, la supposer sous la forme ( * )

où Y désigne une fonction algébrique rationnelle fractionnaire en x^y tandis qu'entre x, j existe l'équation du n'*"* ordre F = o, où, en d'autres termes, jc, y désignent les coordonnées d'un point de la courbe fondamentale d'ordre n. Néanmoins nous supposons toujours l'intégrale sous une forme un peu différente qui a été donnée par Aronhold ; nous introduirons à cette un des coordonnées homogènes Xj , X2, X3 au lieu de x, j', et ainsi il sera tenu compte à un certain degré, aussi bien des exigences de la symétrie que de la nature projective (ou caractère invariant) de la différentielle. En même temps se trouve indiquée par là une connexion avec l'algèbre des formes ternaires, qui peut être importante powr

( * ) Voir Riemann, loc, cU,, $ 9. Lorsque l'intégale n'est pas donnée sous la forme (1)1 on peut toujours parvenir à cette forme en multipliant le numérateur et le dénomi-

dF nateur de la fonction, sous le signe d'intégration, par -r- •

LA CiOMËTftlE ftCB CXB COllllB JCLGÉDtlQVB. 187

Télude des intégrales. Pour préciser, nous écrirons toujours l'intégrale sous la forme

/» >l2d:r,.r,^/.r, r<{'[cxdx)

ÔJr^ O.r^ 0.c^

OÙ Cfy C2, C3 désignent les coordonnées d'un point quelconque du plan, et Xi, Xj, x^ sont liés entre eux par Téquation d'une courbe (lu /i'*"* ordreyr^ a;= o, tandis que V désigne maintenant une fonction homogène fractionnaire du (n — sy*"» ordre par rapport aux quantités x/. Toutefois, avant d'entrer dans l'examen approfondi de celte représentation^ il sera bon de la développer sur un exemple très simple (cas de « = 2) (*) : les généralisations ultérieures s'obtiendront alors d'elles-mêmes. Nous traiterons l'intégrale

que l'on ramène habituellement à un logarithme au moyen de substitutions répétées; ici, en partant de la notation homogène, nous l'évaluerons de suite directement sous une forme plus générale. Nous la mettrons d'abord sous la forme des intégrales (i) et (2). Nous pouvons, en effet, faire disparaître le radical en liant x à une nouvelle variable y par une équation du second degré. Soit

cette dernière; on trouve, en la résolvant par rapport à j',

= ^^(«„a,3 -«,3«„jx— (aiitttt— "{jj-^*— l"«"33— "îaj-

SI donc nous introduisons les désignations suivantes :

(*) yoir Aroxholo, Ueàer eine iteue algebraische Behandlungsweise der Intégrale irratiottaler Differentiale Don der Form l[{Xfy)dx, in welcher n(r, y) citie beliebige ratioaale Function ist, und zwischen x und y eine allgemeine Gleichung zweiter Ordnung besteht, {Journal de Crelle, t. 61). Nous renvoyons instamment à ce travail (omme introduction aux idées développées dans le texte.

l38 TOME III. — CHAPITRE I.

il vient

Actuellement nous transformerons toutes les fonctions par la substitution

en fonctions homogènes. Notre équation de condition devient alors

/^ llaik'TiXf^z:^ al = o,

et dans V nous devons poser

en sorte que

Dans le dénominateur figure donc encore une fonction linéaire, ce qui était à prévoir, car l'intégrale (3), pour or = oo , y = x , c'est-à-dire pour un point de rencontre de la coniquey= o avec la droite de l'infini, devient elle-même infinie; la même chose doit donc se présenter dans la forme homogène pour le point de rencontre de la ligne Xz = o avec la conique al= o. Maintenant, pour être indépendants de la situation du triangle des coordonnées, nous prendrons pour base de nos considérations, au lieu de V» l'intégrale

(6 , W ^ . f ^" ^ ,^ ::. r.r,riA--^r,rU,^

OÙ

Les intégrales V et W ne sont pas différentes l'une de Vautre dans le sens projectif. Nous arriverons ici à leur évaluation par une mémevoie, tandis que, dansle procédé employé habituellement dans le calcul intégral, les deux cas exigent chacun un examen spécial.

L'intégrale W peut se mettre d'une manière remarquable sous

LA tiÊOMKTfelB 0CII CXB COCRBB ALGÉBKIOCB. ïSg

une forme plus symétrique. Nous avons en effet, par suite de Féquation de condition y= o, en posant /)•= - -—- :

et de là résulte

Nous avons d'ailleurs, en vertu de (6),

d'où aussi, en faisant {xdx)^ = x^dx2 — x^dx^j. . ., et en vertu de la symétrie par rapport aux trois coordonnées suivant (8),

dMV./i,Uj^= [xd.r),y [i = i, 2, 3).

Si Ton multiplie respectivement ces trois équations par les grandeurs arbitraires c/ et qu'on forme la somme des produits, il vient

Nous obtenons donc pour l' intégrale [6) la représentation homogène suivante :

Pour l'évaluation de W, dont la valeur est complètement indépendante des quantités c/, nous devons à présent déterminer d'une manière convenable ces grandeurs arbitraires. Dans ce but, nous ferons usage du tliéorème général suivant :

Le déterminant [cxdx)y divisé par le produit de deux formes ternaires algébriques y, ^y est proportionnel à une différentielle exacte si Von fait les quantités ci proportionnelles aux détermi~ nants binaires formés awec les premières dérii^ées partielles de y

et tp par rapport àxi, Xa, 0:3, c'est-à-dire si Ton fait

df â^ â'p df df d-p

Ôx^ drj ôx^ ôx^ ' ^ dx^ Ôx^

dp df dx^ dr,

df d'it d'i> df

l{0 TOME III. — CnAPITKB I.

La démonstration est excessivement simple. Soit en effet

il vient

d'où, suivant une identité connue (p. 352, t. I, équation V),

et par conséquent

itn\ [cx€Lr) d^ df

ce qu'il fallait démontrer.

Pour notre cas, posons maintenant

(il) ?-~-«x» ^ = ^x«o pci—[ua]iac,

il vient alors, d'après (lo),

p étant un facteur à déterminer. La considération suivante conduit à cette détermination. De (i i) résultent

(i3) Wc==o et «*-— o;

nous avons donc, par V effet de la substitution ( 1 1), choisi pour le point c un des points de rencontre de la droite Ux= o ax^ec la conique y= o. Or il nous suffit de connaître les rapports des c/, car la modification simultanée que ces quantités recevraient de la multiplication par un même facteur n'influencerait que la constante arbitraire de l'intégrale. Toutefois nous devons assigner une valeur déternrîînée à la grandeur p dans (i i), parce que dans les deux membres des équations (i i) figurent les mêmes rapports proportionnels Cl, Co, Ci, En effet, de la multiplication respective des quantités c/ par des grandeurs arbitraires s^i et de l'addition des produits résulte l'identité

p doit donc être une expression du premier ordre par rapport aux

LA GÉOMÉTAIB SCR II!fE COUBBB ALCtfBBiQCB.

Ui et aux Uij^. Actuellement, nous désignerons par c^ les coordonnées du second point de rencontre de la ligne u avec f=:o, de telle sorte que

il résulte alors de (i4) pour i^/= bibct{/= al=i bl) [i5) pb^bcf^^ [abu]ach^^^ •-[abu){acb^— ^c^e] = -[abu]^. D*un autre côté, nous avons, à cause de al = o,

et par conséquent

0" := bçbfj.

Si Ton porte ce résultat dans (i5)y il vient finalement

F désignant comme plus haut (t. I, p. 354) 1^ forme adjointe de/.

F=(flZ^«)^= — 2

'11 «ij "u

SI

ir<

Par là se trouve démontré le théorème qui suit :

Siy dans la supposition que f{oc,j) ^f{x^ , x^, Xz ) = ajf = bi soit égal à zéro, on doit éi^aluer l'intégrale

dx

+ «îr + «»)/'{r)

/'[cxdx]

on prendra pour les quantités Ci un système de valeurs satisjaisant aux équations

ija TOMB III. — CHAPITBE r.

ce qui peut se faire par résolution des équations linéaires { ' )

dans lesquelles F désigne Informe adjointe {abu)^ de f\ on a alors

(16) W = - ^.^^log-^-+-C.

Le signe de i / F doit concorder avec celui employé dans

les équations linéaires et la racine de l'équation f[x^ y) = o à introduire dans l'expression différentielle concorder avec celle choisie pour l'expression de l'intégrale.

Pour donner un exemple de rapplicabilité de la formule ( 16) dans les cas qui se présentent habituellement, soit

d'où

il vient

/=j:î + ^i-.rJ^(^*-HJ»-l),

^u\ 4- u\ — ul «j ^ + «j7 -h "3

les quantités c/ devant se déterminer par deux des équations sviv

vantes (^P = y ~^FJ'

(17) P^i= — ''1^3— «3^ï» p<^j=«8^i+ «i<^3» prj^rtfjCj — tt,r|.

Si Ton pose encore U| = U2 = o, 1/3 = o, il vient p = y — i = t

(*) Sur la détermination des quantités c^, compares ce qui a été dit t. I, p. 107 et X16.

LA GÉOMÉTRIE SUR CNB COURBE ALGÉBRIQCE. I ^3

el, depuis (17), C3 = o, C| = i = icj si Co = i; d'où

I — = — r— r=: -7 log [xi -{- y] = arc sin.r.

Posant ensuite m, = «3=0, 1/3= i, on aura p = i, C2=o, c, = — C3, d'où C| = I , si C3 = — I , et, par conséquent,

/• d.r r flr I -f- .r i I -4- .r

En faisant enfin £/, = i, 112=^3=0, d'où jO = i, C| = o, t'a = C3 = — I , on obtient

— log

Cet exemple suffira pour expliquer l'usage de la forme homogène d'une intégrale algébrique et mettre en évidence ses avantages pour certaines vues générales.

L'exemple précédent a déjà mis en relief le caractère invariant de la différentielle rfW. En fait, on peut considérer toute différentielle dW de la forme (2) comme un invariant fonctionnel simultané de la courbe primitive y = o et des zéros et des infinis de la fonction Y situés surf=i o. Car il est clair, en premier lieu, que l'expression différentielle , étant une fonction homogène d'ordre zéro des x/, ne change pas si les Xi varient simultanément d'un même facteur, et que cette expression, absolument comme pour /i = 2 dans le précédent exemple, est, en vertu des équations (7), complètement indépendante du point c, et est déterminée uniquement parla fonction Y. Mais, à l'égard d'une transformation linéaire quelconque, on a cette proposition que la différentielle dY n'éprouve d'autre changement que V adjonction, comme facteur y du déterminant de la substitution (*). Si

(*) Un fait analogue a lieu pour toute différentieUe binaire de la forme

Une telle expression est un coyariant simultané des formes a^'*, «?'*• Pour m == 2, ce sont là les différentielles hyperelliptiques ; pour m = 2, r = a, on a la différentielle ellipUque, qui doit être considérée comme un coTariant fractionnaire de la forme primitÎTe.

lf^\ TOME III. — CnAPITM I.

nous posons, en effet,

^i.^ «Il ji -+- «/trt •+- ^iiXi^

nous aurons, en désignant par ki les coordonnées du point correspondant au point c (t. I, p. 33 1),

( cxdx] z=z r, ( kjrdr)^ et si nous posons

1 vient

^(cxdr) *{krdr]

Entre autres choses, on peut utiliser ce résultat pour amener rintégrale V à la forme (i). Dans ce but, posons

uv=: iiit -+■ b;x -f- Cfj',

X, r, t désignant les nouvelles coordonnées. Il vient alors

ci^ oy oy n ôy n oy

et enfin

Cj <ïj r -h ^1 J" H- c^y «1 ^// -h ^1 da- 4- Ti ^' c, «,/ -h ^jX -+- r,j^ a^dt -h 6,^j -h c,d[;' r, «3/ -f- 6307 -+- c,7 <7,rf/ 4- ^j^.r -h c^dy

=: [abc).(tdx — xd4)f d'où, faisant entrer [abc) dans $ et posant / = i,

dVr^n

[cxdx] =^

dF

'ici j^ est défini comme fonction de x, au moyen de F = o.

En vertu de /*= o, la différentielle dV dépend naturellement d'une variable unique. Toutefois, pour introduire explicitement cette dernière, il faut en général résoudre des équations d'ordre élevé. Celles-ci ne sont du second degré que pour les courbes hyperelliptiques, comme on va le voir dans ce qui suit.

LA g£0M£TI1B BCB CRB COORBB ALGÉBBIOVB. l45

Nous allons d'abord, pour le cas de /i = 3, où ¥ peut être supposé égal à I , mettre la différentielle ^A^ sous la forme précédemment employée de la diftérentielle elliptique (t. II, p. iig), ainsi que l'a fait le premier Aronhold ( * ). Nous placerons le point c sur la courbe y = o, et nous entendrons par Ua:= o, ^2:=- o deux droites passant par c. Chaque rayon du faisceau

(18) TiU^—Uj.^iO

coupe Cj en deux points mobiles ; les coordonnées de ces derniers peuvent donc s'exprimer en k, X au moyen d'un radical du second degré. Mais il n'est pas nécessaire de les calculer d'une manière effective, et l'on peut arriver au but ainsi qu'il suit. Dans le faisceau (18) sont comprises, comme l'on sait, quatre tangentes de C3, tangentes dont les points de contact ne sont pas situés en c. Les valeurs correspondantes des paramètres "x, X seront données par une équation du quatrième degré, telle que (p(x, X) = o, en sorte que ©(«'jr? Mjc) = o représentera le produit de ces quatre tangentes. La courbe 9 = 0 rencontre C3 quatre fois en c et deux fois en chacun des quatre points de contact ; mais C3 est rencontrée de la même manière par la courbe [a^«c]^== o. On a donc, en choisissant convenablement les constantes qui entrent dans cp,

(19) [«i^cp-î'l'x,"^)-^ A/.

11 vient ensuite, puisque pCi peut être fait égal à (uv)/, et que

aX = «x? ^X = Vjcy

(20) p[C.rclr] —u^v^f^—v^u,f^-7^}(h — A(a), 7 [c'a:, "x) ~ «^^yi-^» >),

d'où (2)

(crdr) 1 Iffy. — z^A d\ ^=

'jc'^'c

On obtient d'ailleurs immédiatement l'expression écrite en dernier lieu sous la forme demandée, dans laquelle figurent les invariants S, T, si l'on place en particulier le point c en un point d'in-

(') Monatsberichte der Derliner Akademie, 25 avril 1861.

C) Les points de contact des quatre tangentes sont donc les points de ramification de la surface de Riemann qui répond à l'intégrale.

Clbbsch. — Géométrie, III. 10

l46 TOHB III. — CHAFIimS I.

flexion de C3, de manière à avoir simultanément

f[c)=a\z=io, A(c)=«J — o.

Actuellement, le produit des quatre tangentes menées de c à Cj est donné par Téquation (t. II, p. 2a6)

(21) 3(D/)«~4/Dy=o, où

Parmi ces tangentes est nécessairement comprise aussi la tangente d'inflexion de c, et du premier membre de l'équation (21) doil pouvoir se séparer un facteur T>^f. Pour eflectuer cette séparation, il faut faire usage des propositions d'après lesquelles la courbe y= 0 peut être considérée c omme la hessienne de trois autres courbes du faisceau xf — XA =:= o déterminées par l'équation (t. IL p. 258 et 3oo)

(22) Gj(x, — )i) = x»— iSx>.«-*-iT>»~o,

et la hessienne est toujours touchée par les tangentes d'inflexion de la courbe primitive {*), Il ressort de cette dernière remarque que les trois tangentes menées de c ày*= o en dehors de D*y= 0 sont précisément les tangentes d'inflexion de c par rapport bu\ trois courbes primitives correspondant à f= o, en vertu de (22). Ces tangentes sont donc déterminées par (22), si en même temps

xDV— >D*Az=o,

D^A étant égal à «x «J; le produit de leur équation est, par suite.

(23) Gi(D'A,-DV) = (D«A)»-is.D«A.(DV)* + iT(Dy)»r:::0.

Or le produit de l'expression qui figure au premier membre dans D^y doit se confondre avec l'expression qui figure au premier

(*) C'est là une conséquence immédiate du fait que la polaire linéaire d'un poiat de la hessienne, relativement à la courbe primitive, touche la hessienne en nn certain point (t. II, p. 325), car la tangente d'inflexion de la courbe primitive est précisément la polaire du point d'inflexion {voir aussi la note 3 de la p. 4i6, t. H).

LA GiOmtniE SDR VKI COCKBI ALGtfBRIQCI. 1^7

membre de (21), sauf un facteur constant (M) à déterminer, c'està-dire que nous avons, en vertu def=^ ^ ( *)i

(1^) M.3(D/)*=:Dy.Gi(D'A.-Dyj,

ce qui concorde encore avec Féquation (19)) carie faisceau (18) esl ici remplacé parle faisceau xD -y — XD^A. On voit sur cette équation que M doit être du huitième degré, par rapport aux coefficients de y, et du sixième par rapport aux quantités c/. Mais, comme tout covariant du sixième ordre de f peut s'exprimer par un seul covariant de cette espèce et par y*, A (t. II, p. 314)7 nous pouvons, en vertu de a\ = o, a' =^ o, poser

M = y[c)C, 9 étant le covariant unique dont nous avons parlé (t. II, p. Siq),

et C désignant un facteur numérique. La détermination de ce dernier se fait très simplement à Taide de la forme canonique. Pour plus de simplicité, nous prendrons pour y* une courbe à invariant S évanouissant (ce qui est indifférent pour la question présente) ; il vient alors (t. II, p. 3i i et 3i3)

f{c)=z8[c\cl-^clcl-\-c\cl), S=:0, T =. - 6,

ou, si nous choisissons pour c le point d'inflexion ayant pour coordonnées o, I, — I,

De là résulte, par un calcul simple,

3(D/)*^4/.Dy-lD'/[2(Dy)»- (D*A)»].

(*) Cett« équation subsiste d'ailleurs encore si c est un point quelconque de C Alors, en eflet, le sommet du faisceau xD*/ — JtD'A = o est situé au point tangentiel de c, et les tangentes issues du sommet sont D'/=: o, et C, (D*/» — D* A) = o {voir t«l!| p. iiS). Seulement, il faut alors déterminer M d'une autre manière.

l'|8 TOME III. •— > CDAPITKE I.

D'un autre côté, il vient, d'après (23), -pour notre cas,