G,(D«A,-DV) = (D'A)'- ?.(DV

A cause de M = (p(c), C = — 8C et, en vertu def= o, il résulte donc de (24) C = — jy et l'on obtient

En conséquence y si c est un point (Vin^exion^ existe y en vertu J6*y{c) = o, A(c) = o, y(j:) = o, l'identité

(26) -|?(r).(D/)'..Dy.G,(D'A,-Dy).

Par là se trouve calculé le dénominateur de notre différentielle en fonction de x == D^ A et X = D-yi Pour le calcul du numérateur, observons que

(27) pr/"-:(«rtr),a«««,

parce que c est le point d'intersection de à],ax=^ o et aJaj=o, d'où aussi

(28) --D»A.r/(DV) — Dy.rf(D«A)

\ -=z xcTk — \d-*.,

La détermination du facteur p s'opère d'une manière identique à la détermination du facteur correspondant dans les équations (11).

Soit c' un point quelconque de la ligne D^A:^Wx=o; nous aurons

De (27) résulte ensuite

d'où, pour i^/= aiacacf= bibcbc*<,

pK^(/— [abu)a\bcb^ — - [abu)[acb^'^ bcac')a^b^

LA GiOMCTBIB 8CK i'XB COGBBB ALGÉBRIQUE.' •!{•

D'aulre part, nous avons, à cause de aj = o,

=z — Vc,a\a^= — IV. 3J b^, et il s'ensuit, par combinaison de ces relations,

Finalement, Téquation (28) se transforme donc en

^^^c).[cjcd.r) ^i^jicù. — \djiy

et nous obtenons ainsi, par suite de (26), le résultat suis^ant

{c.rdx] /*3 xrA — Idv.

ou enfin, pour x = a, >. := i ,

nous avons conséquemment encore la forme trouvée ci-dessus (t. II, p. 419).

L^établissement de celte forme normale pour dV peut encore être effectuée d'une manière différente et fort élégante, d'après la marche indiquée par MM. Hermite et Brioschi, en faisant usage d'une substitution d'ordre élevé ( * ). Cette transformation repose sur une identité qui existe entre les formes iî, 4*» fy ^^ et que nous avons précédemment établie \voir équation (4^*)» ^- Iï> P» 4o7]> savoir

(24)«a«----- 384;»- ii'}S,^-f^ 2T,.^.

Pour y = o, nous avons en particulier (t. II, p. 3o2)

(*) Journal de Crelle, t. 63, p. 3o.

l50 TOME III. «- CHinTIK I.

et il vient) en conséquence,

(29) a4«ft«== 384^^» -^ iîS4»A*-h 2TA*.

On a d'ailleurs identiquement

et de là résulte pour Ui=: [xdx)t'f si nous supposons a^=io, «îflrfa = o,

En multipliant donc ^V, numérateur et dénominateur, par il, il vient, en vertu de (29),

{cxdx) I Id^ — o.^dl

4/16,!;»— iSA*J;-f-^TA«

II sufYit enfin de poser 4^ = ^^i A2 = X pour obtenir le résultat qui suit

0(..-is.>.+ ^TX.j

Celte représentation se distingue d'ailleurs de celle d'Aronhoid, par la circonstance qu'actuellement aux dix-huit points d'intersection de la courbe du sixième ordre xû- — 4^^ = o ^yecf=: 0 correspond une même valeur du paramètre /, \ X, tandis que précédemment une même valeur du paramètre n'appartenait qu'à deux points mobiles du faisceau de rayons xD*y — XD*A = o.

Les intégrales qui appartiennent à des courbes hyperelliptiques peuvent se représenter d'une manière tout à fait semblable, comme fonctions d'un paramètre, au moyen d'un radical du second degré, à la condition d'avoir préalablement amené la courbe à la forme

LA C60MÉTRIB SUA QNB COOBBI ALGÉBMQCB. l5l

normale, c*est-à*dire à la forme (p. yo et suiv )y En effet, on a alors

d'où

^("'Vl)-'^

Dans le dénominateur figure donc la racine carrée d'une expression du {np -h a)*^*"* degré en x. Par révanouîssement de cette dernière sontTeprésentées les tangentes que l'on peut mener du point multiple d'ordre p k Isl courbe Op^f Cette dernière remarque est encore exacte quand on suppose la courbe C^+3 donnée sous la forme

La polaire du point à l'infini sur l'axe Y

coupe en effet G^+i aux 2p 4- 2 points de contact des tangentes issues du point multiple d'ordre p^ tangentes dont l'équation sera donnée par une relation de la forme X2p+i(x) = o, et elle a ellemême au point multiple d'ordre p àef un point de même multiplicité dont les branches touchent celles de la courbe primitive, en sorte qu'il s'y trouve/? {/; 4- i ) points d'intersection. Les intersections

de la courbe ( -y ) =0 avec F = o sont donc les mêmes que

celles de la courbe X2p+a('^) = o 3ivec F = o, c'est-à-dire que Ton peut poser (C étant une constante)

relation analogue à l'équation (19) et ayant les mêmes applications.

l5a TOMX III. — CBAPITRE I.

Nous revenons à l^examen approfondi de noire différenlielle générale

Y(c.rr/x)

rfV =

dans laquelle ^ désigne une fonction algébrique quelconque de Tordre n — 3 par rapport aux quantités j?/. En fixant d^une manière plus précise la nature de cette fonction, nous allons établir d'abord certaines formes normales pour les expressions différentielles que nous considérerons exclusiy^ement plus tard. Suivant la manière dont se comporte la fonction ¥ aux points simples ou multiples de f= o, nous avons à traiter successivement différents cas ; dans tous, nous montrerons qu'il est nécessaire, avant toute chose, de considérer des différentielles (et leurs intégrales) dans lesquelles Y est une fonction entière, ou celles dans lesquelles ne figure au dénominateur de Hf qu'une puissance d'une foncllon linéaire des x/. Nous nous occuperons ensuite de la manière d'être des formes principales obtenues aux points doubles dey= o. Soit maintenant

le, dénominateur étant supposé désigner une fonction entière d'ordre m, et le numérateur, qui sera également une fonction entière, s'élevant par conséquent à l'ordre m -f- w — 3. Les courbes fz=: o, N = o se coupent en mn points, dont l'ensemble peut être représenté par une équation ( * )

Nous désignerons les coordonnées de ces points d'intersection respectivement par

.r(»^, .r(*), jc(3), ..., a:('"''\

en entendant toujours par x^^^ les trois coordonnées x^l\ x[j, x'j •

(') Relativement à une méthode générale pour l'établissement de cette équation sous forme symbolique, 'voir t. I, p. 35o. Si Ton prend en particulier Ci = i| (i= o, ç^= 0, Téquatiou du faisceau de rayons sera obtenue par élimination de x^ entre f=o et N = o. (Foir Glbbsch et Gordàn, op. cit., p. 5 et suiv.). Alors (x-'l)"" ***" pend uniquement de la seule yariable binaire x, : x, (voir la suite du texte).

LA c£0]f£TltlE ftCK L'KB COCRBC ALGÉBIIOL'E. l33

Joignons ces points à un point fixe quelconque (. L'ensemble des mn lignes de jonction sera représentée par (x^ $)""'= ^j ^^ nous pouvons poser

I =zmn

(32) U^i)'"''=--l\[-rO)xVj

Si d'ailleurs nous supposons, ainsi que cela doit arriver d'abord, que les points x^'^ soient tous distincts les uns des autres ( et conséquemment aussi ne soient pas situés en des points multiples de /) l'expression (3a) doit, en toute liypothèse, pouvoir se représenter sous la forme

;33) (xxÇ)""*^c.t/-Mi\,N/

'Ub = o étant une courbe de l'ordre m[n— i), qui passe par tous les points de rencontre des mn rayons avec /'= o non situés sur N = o. En conséquence il vient, poury^= o,

expression où, en vertu de (Sa), figure au dénominateur un produit de fonctions purement linéaires. Mais les lignes représentées par l'évanouissement de ce dernier passent toutes par un même point I, en sorte que le dénominateur ne dépend, en réalité, que d'une seule variable binaire, savoir le paramètre du faisceau de rayons passant par |. On peut donc, suivant les lois de la décomposition des fractions rationnelles binaires, représenter la fonction Y comme une somme de termes particuliers dont chacun n'a au dénominateur qu'une fonction linéaire; la réduction annoncée de la différentielle rfV aux formes normales de l'espèce précédente se trouve ainsi effectuée.

Mais on peut encore obtenir aisément le même résultat sans introduire explicitement la variable binaire du faisceau de rayons, et nous insistons d'autant plus volontiers sur ce sujet que plus tard nous obtiendrons aussi par une voie analogue des développements en série plus compliqués qui, autrement, se déduiraient a l'aide de décompositions répétées de fonctions rationnelles en fractions simples. En même temps nous ferons un pas de plus dans la régularisation de la différentielle, en ce sens que nous dis-

l54 TOME m. — eu A PITRE I.

poserons le numérateur de telle sorte que deux seulement des zéros de la fonction linéaire du dénominateur donnent lieu à des infinis de Pintégrale.

Il est utile pour cet objet défaire coïncider le point Ç as^ec m des points x^'\ par exemple a\fec x^'^'^\ convention qui sera observée dans ce qui suit. L^équation des autres mn — i points x^

étant alors donnée par mJ"*~* = o, nous pouvons poser et à la place de (Sa) et (i53) se présentent les équations

i -zinn — t

(34) (.fr5)'«"-'= JJ (.r(0.r;), (•fr;)'""-* = A/-f.BN;

B est ici une courbe d'ordre mn — m — i qui passe par tous ceu\ des points non situés sur N = o où les rayons issus de Ç rencontrenty*= o, et mn — 2 de ses intersections avec f sont placées au point \ lui-même. On a aussi alors

M ni, MB

Actuellement, pour simplifier la notation, posons

Faisons ensuite passer une courbe G d'ordre [jl -{- n — >, ç;ii+/i-8, Q pgp Tensemble des n(fji-hw — 3) points de rencontre de M ^=: o et B =: o di\ecf=i o; cette courbe présentera également quelque chose de particulier à Tégard des intersections x^'^ de N = o avec y = o. Nous avons d'abord, en toute hypothèse,

( 35 ) cr" '' = >lx ^" ' Bî"'" -^ D ./.

Nous déterminerons d'une façon plus précise la courbe C, ainsi qu'il suit. La ligne joignant un point d'intersection x^^^ au point l coupe la courbe primitive cnn — 2 autres points que nous désignerons par j:'f*'*\j:^*'*^. . .,a:^*'"~2^; nous faisons passer par tous ces points (*) la (/z — i)'*"* polaire du point o:^*^ relativement àC=o,

[^) Commo la polaire en question est d'ordre n — a» on peut précisément eocoro satisfaire à la condition dont il s'agit; la polaire ne pourrait comprendre plus de

LA GÉOXÉTBIB 81*11 0!IB COCRBB ALGÉBRIQCB, l55

en sorle que nous avons les équations

(36) (vijC^^.i,==o, C|^rAÎC|^^*,,--o, .. .,Oj^,C^^,„,,:=:0,

pour toutes les valeurs depuis A =i jusqu'à Ar = fA. Cela donne li[n — a) équations linéaires pour les coefficients de C. Parmi ces

derniers, en vertu de (.35), -a((A — 3) H- i seulement sont arbitraires, savoir les coefficients de l'expression D; et comme la condition

est toujours satisfaite pour m ]> i, il est, en fait, possible, de disposer la courbe C conformément aux équations (35) et (36). Nous reviendrons encore, en finissant, sur le cas de m = i.

Formons maintenant, à Taide de la courbe C, l'expression suivante du {[JL -h n — 3 )'*"• ordre

- Cr'^ C5.:>',(.H«),5) JJ^(.H0a-5) (.>x.(')5)i»-' (|,|) .

Les r,i sont ici les coordonnées d'un point quelconque du plan, et l'indice k adjoint au second signe de produits indique que le produit correspondant multiplié par C|^7a*( -xr^^^/iÇ), c'est-à-dire celui qui se présente dans le A**"* terme de la somme, doit êlre formé de fx — I facteurs seulement, le facteur relatif èi i = k devant être omis; au contraire, dans le premier terme de la différence S, figure un produit defi facteurs. Cette fonclion S s'évanouit d'abord pour tous les points d* intersection de B et f. En effet, pour xcsx^'"'^^, le premier terme s'annule en vertu de y= o, et dans la somme, tous les termes qui renferment le facteur [x^''^ x^'''^^ \) s'évanouissent, puisque x^'"'*^ désigne précisément un point de la ligne joignant x^''^ à ^. Il ne reste ainsi que le terme correspondant

n^i points de la droite sans se décomposer en la droite elle-même et en une

courbe C^,,

l56 TOMB 111. — CB A PITRE I.

dans la somme à k = r; mais ce dernier disparaît également à cause de (36). En outre j S s'évanouit pour chacune des [x intersections de N aifec f. En .effet, pour x = x^^\ tous les termes de la somme figurant dans S qui contiendraient un facteur [x^*"^ X'''' l) disparaissent, et il reste seulement le terme correspondant à Tindice k = r

Or de (35) résulte

et Ton déduit de la première équation (34), par formation polaire, en observant que les autres termes de la somme qui figure d'abord dans le premier membre deviennent nuls pour x = x^''\

(.r('-^ï)fj (.r(0.r('î?)=r:p.(.frC'-)ç)ti-i(.»,^r)

Le terme ci-dessus mentionné qui re^te de la somme figurant dans S devient donc égal à

^m^-'-^b;;^;' H (-frc)?)!.-. (.^,i;,

c'est-à-dire égal, sauf le signe, au premier terme de S pour X = x^^^ ; S lui-même est donc nul, ce qu'il fallait démontrer. L'équation S = o représente, d'après cela, une courbe qui passe par toutes les intersections simples de y= o et [^x^)v^=o. Au point I, d'après notre détermination de B = o, chacun des termes de S (et par conséquent S lui-même) s'évanouit au degré fx — 1 de multiplicité. Mais, comme la courbe (pour /ii>i) n'est pas encore complètement déterminée parles conditions (36), nous pouvons encore disposer de G de telle sorte qu'un /x*^""* point d'intersection de S = o avec/ = o tombe à |. On peut^ pour cette raison, poser

(37) S = P./^-R.(.^.rÇ)^

R = R;-^ désignant une fonction entière homogène du [n — 3)**"*

LA GÉOMÉTBIB SUR UNE COCHBB AL(;ÉBRIQUE. 167

ordre par rapport aux x,-. Si nous divisons enfin dans les deux membres de (37) par le produit

nous obtenons, en vertu de (Sa) et (34), sous la condition/— o, la décomposition suivante de Y en fractions simples :